1. Изобретение лазеров сделало возможным экспериментировать с интенсивными световыми пучками, в которых напряженность өлектрического поля не пренебрежимо мала по сравнению с внутриатомными и внутримолекулярными полями (см. $\S 5$, пункт 3 ). В таких пучках возникают уже нелинейные оптические явления, и притом не только как малые поправки к линейным, но также и как явления крупного масштаба, нашедшие важные практические применения. О некоторых нелинейных явлёния в оптике (увеличение прозрачности среды с увеличением интенсивности света, вынужденное рассеяние Манделышғама – Бриллюэна, вынужденное комбинационное рассеяние) уже говорилось в главе VIII (см. $\$ \$ 91,99,100$ ).

При распространении света в среде все такие явления связаны прежде всего с нелинейной зависимостью вектора поляризации среды $\boldsymbol{P}$ от напряженности электрического поля $\boldsymbol{E}$ световой волны. Среду мы будем предполагать однородной, не будем учитывать ее магнитные свойства и пространственную дисперсию. Если поле $E$ еще не очень сильное, то вектор $\boldsymbol{P}$ можно разложить по степеням составляющих вектора $E$ и оборвать такое разложение на нескольких первых членах. Тогда в общем случае, когда среда анизотропна, можно написать
\[
P_{j}=\alpha_{j k} E_{k}+\alpha_{j k l} E_{k} E_{l}+\alpha_{j k l m} E_{k} E_{l} E_{m}+\ldots,
\]

где в соответствии с общепринятой тензорной символикой подразумевается, что по дважды повторяющимся индексам производится суммирование. Здесь тензор $\alpha_{k}$ есть обычная или линейная поляризуемость среды, а тензоры высших порядков $\alpha_{j k l}, \alpha_{j k l m}$,… называются соответственно квадратичной, кубичной и пр. поляризуемостями. Поле $\boldsymbol{E}$ предполагается монохроматическим, а поляризуемости $\alpha-$ функциями частоты ю. Для изотропной среды все тензоры $\alpha_{j k}, \alpha_{j k l}, \ldots$ вырождаются в скаляры.

Если каждая точка среды является центром симметрии, то все поляризуемости четных порядков обращаются в нуль. (Четность определяется числом индексов без первого.) Действительно, изменим на противоположные направления всех координатных осей. Тогда изменятся знаки у $E_{k}$ и $E_{l}$, но $\alpha_{f k l}$ останется неизменным, так как начало координат, как и всякая точка среды, есть ее центр симметрии. Не изменится и весь квадратичный член $\alpha_{j k l} E_{k} E_{l}$. Но знак $P_{j}$ изменится на противоположный. Чтобы соотношение (123.1) осталось справедливым и в новой системе координат, должно быть $\alpha_{j k l}=0$. Так же докажем, что должны обращаться в нуль и остальные поляризуемости четных порядков.

С наличием квадратичной поляризуемости связаны многие нелинейные оптические явления. Из доказанного выше следует, что в изотропных средах нелинейные квадратичные явления невозможны. Тем не менее и при рассмотрении таких явлений можно пользоваться моделью изотропной среды, полагая
\[
P=\alpha E+\alpha_{2} E E+\alpha_{3} E^{2} E+\ldots,
\]

где поляризуемости $\alpha, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots$ являются уже скалярами. Такое упрощение вполне допустимо при качественном рассцотрении возможных нелинейных оптических явлений. Надо только иметь в виду, что в кристаллах в выбранном направлении могут распространяться волны не всех, а только избранных поляризаций. Соотношение (123.2) приближенно применимо к каждой из таких волн, причем для различных волн поляризуемости $\alpha, \alpha_{2}, \ldots$ имеют разные значения. Кроме того, волны разных поляризаций могут нелинейно взаимодействовать, обмениваясь энергией друг с другом. Такое взаимодействие должно иметь место при тензорной связи (123.1) между $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{E}$. Но оно было бы невозможно, если бы эта связь была скалярной типа (123.2). Понятно, что при нашем подходе влияние такого взаимодействия может быть учтено только качественно.
2. Разобьем поляризацию $\boldsymbol{P}$ на линейную и нелинейную части: $\boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}_{л}+\boldsymbol{P}_{\text {нл }}$. Нелинейная часть определяется выражением
\[
\boldsymbol{P}_{\text {н }}=\alpha_{2} E \boldsymbol{E}+\alpha_{3} E^{2} \boldsymbol{E}+\ldots,
\]

а линейная $P_{л}=\alpha \boldsymbol{E}$. В соответствии с этим и индукция $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{E}+$ $+4 \pi \boldsymbol{P}$ представится суммой линейной части $\boldsymbol{D}_{n}=\boldsymbol{E}+4 \pi \boldsymbol{P}_{\Omega}$ и нелинейной $\boldsymbol{D}_{\text {нл }}=4 \pi \boldsymbol{P}_{\text {нл }}$. Линейная часть, очевидно, равна $\boldsymbol{D}_{n}=\varepsilon \boldsymbol{E}$, где $\varepsilon$ – обычная диэлектрическая проницаемость среды, как она определяется в линейной электродинамике. После этого запишем систему фундаментальных уравнений Максвелла в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}-\frac{\varepsilon}{c} \frac{\partial E}{\partial t}=\frac{4 \pi}{c} \frac{\partial \boldsymbol{P}_{\mathrm{H} \pi}}{\partial t}, \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}-\frac{1}{c} \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}=0, \\
\operatorname{div}(\varepsilon \boldsymbol{E})=-4 \pi \operatorname{div} \boldsymbol{P}_{\mathrm{H} \Omega}, \\
\operatorname{div} \boldsymbol{H}=0 .
\end{array}
\]

Для решения такой системы применяем метод последовательных приближений. В нулевом приближении в уравнении (123.4) отбрасываем правые части. Получатся обычные уравнения линейной электродинамики. В качестве нулевого приближения возьмем плоскую волну
\[
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}=\boldsymbol{A} \cos (\omega t-\boldsymbol{k} \boldsymbol{r}),
\]

где волновой вектор $\boldsymbol{k}$ удовлетворяет обычному соотношению $\boldsymbol{k}^{2}=$ $=\varepsilon \omega^{2} / c^{2}$. Для нахождения первого приближения в (123.3) отбросим кубичные и высшие члены, а в квадратичном члене $\alpha_{2} E \boldsymbol{E}$ поле $\boldsymbol{E}$ заменим его выражением (123.5) в нулевом приближении. После этого снова получатся линейные уравнения, но уже неоднородные, с известными правыми частями. Эти правые части могут быть истолкованы как добавочные источники волн, обусловленные нелинейной частью поляризации среды. Каждый элемент объема $d V$ среды переизлучает волны как диполь Герца с добавочным дипольным моментом $\boldsymbol{P}_{\text {нл }} d V$. Эти излучения, накладываясь на волну (123.5), и создают волновое поле $\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}_{1}$ в первом приближении. Второе приближение находится так же. Для этого выражение (123.3) обрываем на членах третьей степени, заменяя в оборванном выражении вектор $E$ на $E_{0}+E_{1}$, после чего вычисляем поле $E_{0}+E_{1}+E_{\mathrm{a}}$ во втором приближении, и т. д.

К изложенному надо еще добавить, что следует понимать под 8 в уравнениях (123.4), когда среда обладает дисперсией. Ответ заключается в следующем. Если взять какое-либо приближение, то в правой части уравнений (123.4) появятся слагаемые не только с исходной частотой $\omega$, но и с частотами $2 \omega, 3 \omega, \ldots$ Могут появиться и другие частоты, как, например, при параметрической генерации света (см. $\S 126$ ). Надо $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ искать в виде суммы монохроматических полей с теми же частотами. Уравнение (123.4) следует написать для каждой частоть в отдельности, сохранив в правой части только члены той же частоты и понимая под $\varepsilon$ значение функции 8 также при той же частоте. Именно такой символический смысл. имеет система уравнений (123.4).