1. Формальная теория отражения и преломления света строится на основе граничных условий, которым удовлетворяют векторы электромагнитного поля на границе раздела двух сред. Она определяет величины, характеризующие отраженную и преломленную волны, но ничего не говорит о механизме возникновения этих волн. На последний вопрос, а также на более тонкие вопросы дает ответ молекулярная теория. Сначала мы изложим формальную, а затем дадим краткое представление о молекулярной теории отражения и преломления света.
Будем рассматривать все тела как сплошные среды и предположим, что на границах раздела таких сред нет (в сущности, искусственно вводимых) поверхностных зарядов и токов. Тогда на границах раздела должны быть непрерывны тангенциальные составляющие векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$ и нормальные составляющие векторов $\boldsymbol{D}$ и $\boldsymbol{B}$ :
\[
\begin{array}{l}
E_{t}^{(1)}=E_{t}^{(2)}, \quad H_{t}^{(1)}=H_{t}^{(2)}, \\
D_{n}^{(1)}=D_{n}^{(2)}, \quad B_{n}^{(1)}=B_{n}^{(2)} .
\end{array}
\]
Все эти условия являются следствиями макроскопических уравнений Максвелла в интегральной форме, а потому они верны для всяких сред, пока последние можно рассматривать как сплошные. Условия (63.1) вытекают из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\oint \boldsymbol{E} d \boldsymbol{l}=-\frac{1}{c} \int \dot{\boldsymbol{B}} d \boldsymbol{F}, \\
\int \boldsymbol{H} d \boldsymbol{l}=\frac{1}{c} \int \dot{\boldsymbol{D}} d \boldsymbol{F}+\frac{4 \pi}{c} \mathscr{\mathscr { O }},
\end{array}
\]
а условия (63.2) — из уравнений
\[
\oint \boldsymbol{D} d \boldsymbol{F}=0, \quad \oint \boldsymbol{B} d \boldsymbol{F}=0
\]
(см. т. III, §82).
2. Уравнения (63.1) и (63.2) не совсем независимы. Для исследования этого вопроса построим бесконечно короткий цилиндр, образующие которого перпендикулярны к границе раздела, а основания $F_{1}$ и $F_{2}$ лежат по разные стороны от нее (рис. 237). На основании теоремы о циркуляции вектора $\boldsymbol{H}$ получим
\[
\begin{array}{l}
\oint_{L_{1}} H_{l}^{(1)} d l=\frac{1}{c} \int \dot{D}_{n}^{(1)} d F_{1}, \\
\oint_{L_{2}} H_{l}^{(2)} d l=\frac{1}{c} \int \dot{D}_{n}^{(2)} d F_{2} .
\end{array}
\]
В пределе, когда высота цилиндра обратится в нуль, контуры $L_{1}$ и $L_{2}$ сольются в общий контур $L$, а основания $F_{1}$ и $F_{2}$ — в общую площадку $F$, ограниченную контуром $L$. При этом, ввиду непрерывности тангенциальных составляющих вектора $\boldsymbol{H}$, контурные интегралы совпадут между собой, а потому
Аналогично,
\[
\int_{F} \dot{D}_{n}^{(1)} d F=\int_{F} \dot{D}_{n}^{(2)} d F
\]
\[
\int_{F} \dot{B}_{n}^{(1)} d F=\int_{F} \dot{B}_{n}^{(2)} d F .
\]
Отсюда, ввиду произвольности области интегрирования,
\[
\dot{D}_{n}^{(1)}=\dot{D}_{n}^{(2)}, \quad \dot{B}_{n}^{(1)}=\dot{B}_{n}^{(2)} .
\]
Таким образом, граничные условия (63.5), как видно из их вывода, являются следствиями граничных условий (63.1) и уравнений Максвелла для Іиркуляций векторов $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$. В случае монохроматического поля $\dot{\boldsymbol{D}}=i \omega \boldsymbol{D}, \dot{\boldsymbol{B}}=i \omega \boldsymbol{B}$, так что условия (63.5) переходят в (63:2). Отсюда следует, что для монохроматических полей граничные условия (63.2) выполняются автоматически, если только выполняются условия (63.1). Поэтому в дальнейшем можно пользоваться только условиями (63.1), не заботясь о выполнении условий (63.2).
Если условия (62.1) записать в координатной форме, то получатся четыре уравнения, так как каждый из векторов $\boldsymbol{E}$ или $\boldsymbol{H}$ можно разложить на две тангенциальные и одну нормальную составляющие. Таким образом, электродинамика приводит к четырем независимым граничным условиям.
.В старых теориях упругого эфира число независимых граничных условий было шесть: равенство трех составляющих смещений и трех составляющих сил упругих напряжений по обе стороны границы раздела. Чтобы удовлетворить этим шести граничным условиям, вообще говоря, необходимо, чтобы кроме поперечных волн существовали также и продольные. Но опыт говорил против существования продольных волн. Возникшую трудность теория пыталась устранить, наделяя эфир такими свойствами, чтобы продольные волны в нем никогда не возникали (несжимаемый или бесконечно сжимаемый эфир). Однако удовлетворительного решения проблемы таким путем получено не было. Электромагнитная теория не знает этой трудности, поскольку число независймых граничных условий в ней равно четырем. Им можно удовлетворить с помощью двух поперечных составляющих отраженной и двух поперечных составляющих преломленной волн.
