1. Перейдем теперь к исследованию распространения волн в оптически двуосных кристаллах. В общем случае вектор $\boldsymbol{D}$ может зависеть не только от вектора $\boldsymbol{E}$, но и от его пространственных производных. Это явление называется пространственной дисперсией (см. §96). В слабых полях такая зависимость, конечно, может считаться линейной. Для плоских монохроматических волн дифференцирование $\boldsymbol{E}$ по координатам $x, y, z$ сводится к умножению его проекций на $-i k_{x},-i k_{y},-i k_{z}$. В этом случае зависимость от пространственных производных можно учесть прежней формулой (75.2), если диэлектрический тензор $\varepsilon_{k j}$ считать комплексным. Формально так можно поступать и в случае неплоских волн. Однако волны должны предполагаться монохроматическими.

Для непоглощающих сред диэлектрический тензор должен быть эрмитовым, т. е. $\varepsilon_{k j}=\varepsilon_{j k}^{*}$. Действительно, для производной плотности электромагнитной энергии $u$ по времени электродинамика дает
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{4 \pi}(E \dot{D}+H \dot{B})
\]

(см. т. III, §84). В случае монохроматического поля в непоглощающей среде среднее значение этой производной, согласно закону сохранения энергйи, должно равняться нулю. Если пользоваться комплексной формой монохроматического поля, то этто условие запишется в виде $\left(\boldsymbol{E} \dot{\boldsymbol{D}}^{*}+\boldsymbol{H} \dot{\boldsymbol{B}}^{*}\right)+$ ксмпл. сопр. $=0$. А так как мы пренебрегаем различием между $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{H}$, то $\boldsymbol{E} \boldsymbol{D}^{*}+$ компл. сопр. $=$ $=0$. Отсюда с учетом соотношений $\dot{\boldsymbol{D}}=i \omega \boldsymbol{D}, \dot{\boldsymbol{D}}^{*}=-i \omega \boldsymbol{D}^{*}$ получаэм: $\boldsymbol{E} D^{*}-\boldsymbol{E}^{*} \boldsymbol{D}=0$, или
\[
\sum E_{\alpha} \varepsilon_{\alpha \beta}^{*} E_{\beta}^{*}-\sum E_{\alpha}^{*} \varepsilon_{\alpha \beta} E_{\beta}=0 .
\]

Заменим в первой сумме немой индекс $\alpha$ на $\beta$ и наоборот. Тогда
\[
\sum\left(\varepsilon_{\alpha \beta}-\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}\right) E_{\alpha}^{*} E_{\beta}=0 .
\]

Это соотношение должно выполняться для любого поля $E$, что возможно тогда и только тогда, когда $\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}$. Действительно, пусть все компоненты вектора $\boldsymbol{E}$, за исключением одной $E_{\alpha}$, равны нулю. Тогда предыдущее соотношение переходит в $\left(\varepsilon_{\alpha \alpha}-\varepsilon_{\alpha \alpha}^{*}\right) E_{\alpha} E_{\alpha}^{*}=0$, откуда $\varepsilon_{\alpha \alpha}=\varepsilon_{\alpha \alpha}^{*}$. Пусть теперь отличны от нуля две компоненты $E_{\alpha}$ и $E_{\beta}$, а третья компонента равна нулю. Тогда
\[
\left(\varepsilon_{\alpha \beta}-\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}\right) E_{\alpha}^{*} E_{\beta}^{\prime}+\left(\varepsilon_{\beta \alpha}-\varepsilon_{\alpha \beta}^{*}\right) E_{\alpha} E_{\beta}^{*}=0 .
\]

Полагая здесь $E_{\alpha}=E_{\beta}$, получим
\[
\left(\varepsilon_{\alpha \beta}-\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}\right)+\left(\varepsilon_{\beta \alpha}-\varepsilon_{\alpha \beta}^{*}\right)=0 .
\]

Полагая же $E_{\beta}=i E_{\alpha}$, найдем
\[
\left(\varepsilon_{\alpha \beta}-\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}\right)-\left(\varepsilon_{\beta \alpha}-\varepsilon_{\alpha \beta}^{*}\right)=0 .
\]

Из этого и предыдущего соотношений следует: $\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}$. Таким образом, соотношение $\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\beta \alpha}^{*}$ справедливо как для одинаковых, так и для разных индексов $\alpha$ и $\beta$, т. е. для непоглощающих кристаллов тензор $\varepsilon_{\alpha \beta}$ эрмитов. Для поглощающих кристаллов он не эрмитов.

Допустим теперь, что среда не обладает пространственной дисперсией или этим явлением, ввиду его малости, можно пренебречь. Тогда величины $\varepsilon_{\alpha \beta}$ вещественны, а потому $\varepsilon_{\alpha \beta}=\varepsilon_{\beta \alpha}$, т. е. тензор $\varepsilon_{\alpha \beta}$ будет симметричен. В дальнейшем мы ограничимся этим случаем. Кроме того, будем предполагать, что все диагональные элементы $\varepsilon_{\alpha \alpha}$ положительны. Только тогда среда будет прозрачной, т. е. плоские волны в ней будут распространяться без затухания. В противном случае возникнет затухание без поглощения, как это имеет место, например, в плазме (см. §87).

Всякий симметричный тензор можно привести к так называемому диагональному виду, т. е. найти такую систему прямоугольных координат, в которой недиагональные компоненты тензора обращаются в нуль. Диагональные компоненты тензора в этой системе координат условимся обозначать через $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$, т. е. характеризовать их не двойными, а только единичными индексами $x, y, z$. В рассматриваемой системе материальные уравнения имеют вид
\[
D_{\alpha}=\varepsilon_{\alpha} E_{\alpha} .
\]

Координатные оси, относительно которых тензор $\varepsilon_{\alpha \beta}$ диагонален, называются главными осями тензора или диэлектрическими осями кристалла, а величины $\varepsilon_{x}, \varepsilon_{y}, \varepsilon_{z}$ – главными диэлектрическими проницаемостями. Эти оси мы и примем за координатные оси, причем названия осей $X, Y, Z$ установим так, чтобы соблюдались неравенства
\[
\varepsilon_{x} \leqslant \varepsilon_{y} \leqslant \varepsilon_{z} .
\]

Так как компоненты тензора $\varepsilon_{\alpha \beta}$ могут зависеть от длины волны $\lambda$, могут зависеть от $\lambda$ и направления диэлектрических осей. Это явление, называемое дисперсией диэлектрических осей, действительно встречается в триклинных и моноклинных кристаллах, характеризующихся наиболее низкой симметрией.

Отметим, наконец, что угол $\alpha$ между векторами $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{D}$ всегда острый. Это вытекает из того, что скалярное произведение $(\boldsymbol{E D})=$ $=E D \cos \alpha$ пропорционально плотности электрической энергии, а она существенно положительна.
2. Обратимся теперь к исследованию плоских волн (75.3) в прозрачных кристаллах в общем виде. Фиксируем направление волновой нормали $N$ и определим, какие плоские волны могут распространяться в этом направлении. Используя материальные уравнения (80.1), перепишем соотношение (75.7) в следующем виде:
\[
\left(v^{2}-a_{\alpha}^{2}\right) D_{\alpha}=-c^{2}(N E) N_{\alpha},
\]

где введено обозначение
\[
a_{\alpha}=c^{\prime} \sqrt{\varepsilon_{\alpha}} .
\]

Разделив на $v^{2}-a_{\alpha}^{2}$, получим
\[
D_{\alpha}=-\frac{c^{2}}{v^{2}-a_{\alpha}^{2}}(N E) N_{\alpha} .
\]

Умножим обе части этого соотношения на $N_{\alpha}$ и просуммируем по $\alpha$. Тогда
\[
\sum_{\alpha} D_{\alpha} N_{\alpha} \equiv(\boldsymbol{D} N)=-c^{2}(N E) \sum_{\alpha} \frac{N_{\alpha}^{2}}{v^{2}-a_{\alpha}^{2}}=0,
\]

так как $(D N)=0$ : Скалярное произведение $(N E)$, вообще говоря, отлично от нуля. Поэтому
\[
\sum \frac{N_{\alpha}^{2}}{v^{2}-a_{\alpha}^{2}}=0
\]

В развернутом виде
\[
\frac{N_{x}^{2}}{v^{2}-a_{x}^{2}}+\frac{N_{y}^{2}}{v^{2}-a_{y}^{2}}+\frac{N_{z}^{2}}{v^{2}-a_{z}^{2}}=0,
\]

а пссле освобождения от знаменателей
\[
\begin{aligned}
F\left(\tau^{2}\right) \equiv N_{x}^{2}\left(v^{2}-a_{y}^{2}\right)\left(v^{2}-a_{z}^{2}\right)+N_{y}^{2} & \left(v^{2}-a_{z}^{2}\right)\left(v^{2}-a_{x}^{2}\right)+ \\
& +N_{z}^{2}\left(v^{2}-a_{x}^{2}\right)\left(v^{2}-a_{y}^{2}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Хотя уравнение (80.8) мы и получили преобразованием уравнения (80.7), в действительности оно обладает большей общностью. Как видно из вывода, при получении (80.7) надо было вводить предположение, что $v^{2}-a_{\alpha}^{2}
eq 0$ и $(N E)
eq 0$. Уравнение (80.7) теряет смысл, когда по крайней мере одна из разностей $v^{2}-a_{\alpha}^{2}$ обращается в нуль. Уравнение же (80.8) остается справедливым и в этом случае, как показывает несложное математическое исследование, которое мы опускаем.
3. Уравнение (80.6) или (80.8) называется законом Френеля для нормальной скорости распространения световых волн в кристалле. Если задать направление $N$, то из этих уравнений можно определить нормальную скорость $v$. Уравнение (80.8) второй степени относительно $v^{2}$. Докажем, что оно имеет вецественные и притом положительные корни. Для прозрачных кристаллов главные диэлектрические проницаемости, а с ними и величины $a_{\alpha}^{2}$, существенно положительны. При этом ввиду условия (80.2)
\[
a_{x} \geqslant a_{y} \geqslant a_{z} \text {. }
\]

Придавая в функции $F\left(v^{2}\right)$ аргументу $v^{2}$ значения $a_{x}^{2}, a_{y}^{2}, a_{z}^{2}$, придем к неравенствам:
\[
\begin{array}{l}
F\left(a_{x}^{2}\right)=N_{x}^{2}\left(a_{x}^{2}-a_{y}^{2}\right)\left(a_{x}^{2}-a_{z}^{2}\right) \geqslant 0, \\
F\left(a_{y}^{2}\right)=N_{y}^{2}\left(a_{y}^{2}-a_{z}^{2}\right)\left(a_{y}^{2}-a_{x}^{2}\right) \leqslant 0, \\
F\left(a_{z}^{2}\right)=N_{z}^{2}\left(a_{z}^{2}-a_{x}^{2}\right)\left(a_{z}^{2}-a_{y}^{2}\right) \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Из них видно, что функция $F\left(v^{2}\right)$ дважды меняет знак: один раз между $a_{x}^{2}$ и $a_{y}^{2}$, другой – между $a_{y}^{2}$ и $a_{z}^{2}$. Следовательно, уравнение $F\left(v^{2}\right)=0$ имеет два вещественных положительных корня: $v_{1}^{2}$ и $v_{2}^{2}$, причем
\[
a_{x} \geqslant v_{1} \geqslant a_{y} \geqslant v_{2} \geqslant a_{z} .
\]

Отсюда следует, что в направлении $N$ могут распространяться две волны: одна с нормальной скоростью $v_{1}$, а другая с $v_{2}$. В частных случаях скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ могут совпадать.

Если скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ различны, то каждая из волн будет поляризована линейно. Это следует из соотношения
\[
D_{x}: D_{y}: D_{z}=\frac{N_{x}}{v^{2}-a_{x}^{2}}: \frac{N_{y}}{v^{2}-a_{y}^{2}}: \frac{N_{z}}{v^{2}-a_{z}^{2}},
\]

которое получается из (80.5) и в котором под $v$ следует понимать либо $v_{1}$, либо $v_{2}$. Все величины, стоящие в правой части (80.11), вещественны. Значит, между компонентами $D_{x}, D_{y}, D_{z}$ нет сдвигов фаз, отличающихся от 0 или $\pi$, а потому волна поляризована линейно.

Докажем, что если скорости $v_{1}$ и $v_{2}$ различны, то векторы $D$ обенх волн, которые могут распространяться в направлении $N$, взаимно перпендикулярны. Отмечая величины, относящиеся к одной из волн, индексом 1 , а к другой – индексом 2 , из (75.7) получим
\[
\begin{array}{l}
v_{1}^{2} D_{1}-c^{2} E_{2}=-c^{2}\left(N E_{1}\right) N, \\
v_{2}^{2} D_{2}-c^{2} E_{2}=-c^{2}\left(N E_{2}\right) N .
\end{array}
\]

Умножим первое уравнение скалярно на $\boldsymbol{D}_{2}$, второе на $\boldsymbol{D}_{1}$ и вычтем одно уравнение из другого. Так как $\left(D_{1} N\right)=\left(D_{2} N\right)=0$, то в результате получим
\[
\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right) \boldsymbol{D}_{1} \boldsymbol{D}_{2}=c^{2}\left(\boldsymbol{E}_{1} \boldsymbol{D}_{2}-\boldsymbol{E}_{2} \boldsymbol{D}_{1}\right) .
\]
$\mathrm{H}$, очевидно, $\boldsymbol{E}_{1} \boldsymbol{D}_{2}=\boldsymbol{E}_{2} \boldsymbol{D}_{1}$, так как каждое из этих скалярных произведений равно $\sum \varepsilon_{\alpha} E_{1 \alpha} E_{2 \alpha}$. Следовательно,
\[
\left(v_{1}^{2}-v_{8}^{2}\right) D_{1} D_{2}=0 .
\]

Охсюда при $v_{1}
eq v_{2}$ следует $\left(\boldsymbol{D}_{1} \boldsymbol{D}_{2}\right)=0$, что и требовалось доказать. Аналогично докажем, что $\left(B_{1} B_{2}\right)=0$.

Итак, в каждом направлении в кристалле могут распространяться две линейно поляризованные волны, скорости которых, вообще говоря, различны. Обе волны поперечны относительно векторов D и B. Векторы D (а также B) в этих волнах взаимно перпендикулярны. Относительно вектора $\boldsymbol{E}$ обе волны в кристалле не поперечны, за исключением тех случаев, когда вектор $\boldsymbol{E}$ параллелен одной из диэлектрических осей кристалла. Однако деление волн на обыкновенную и необыкновенную возможно только для одноосных кристаллов. В общем случае такое деление смысла не имеет – обе волны в кристалле ведут себя как «необыкновенные».

Чтобы выяснить физический смысл постоянных $a_{\alpha}$, направим вектор $\boldsymbol{E}$ вдоль диэлектрической оси $\boldsymbol{\alpha}$. Тогда $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{\varepsilon}_{\alpha} \boldsymbol{E}$, и уравнение (75.8) перейдет в
\[
v^{2}=c^{2} \frac{\varepsilon_{\alpha} E^{2}}{\varepsilon_{\alpha}^{2} E^{2}}=\frac{c^{2}}{\varepsilon_{\alpha}}=c_{\alpha}^{\alpha},
\]

откуда $v=a_{\alpha}$. Таким образом, величина $a_{\alpha}$ есть нормальная скорость распространения волны, $у$ которой электрический вектор параллелен диэлектрической оси $\alpha$. Эго утверждение становится очевидным, если заметить, что в частном случае, когда электрическое поле параллельно диэлектрической оси, уравнения распространения волн в кристалле не отличаются от уравнений в изотропных средах.

Величины $a_{\alpha}$ называются главными скоростями распространения света в кристалле. Наряду с главными скоростями, для характеристики ойтических свойств кристаллов пользуются также главными показателями преломления, которые определяются выражениями
\[
n_{\alpha}=c / a_{\alpha}=\sqrt{\varepsilon_{\alpha}} .
\]

Для волны произвольного направления показатель преломления кристалла определяется выражением
\[
n=c / v .
\]

Его значение, как видно из (75.8), однозначно определяется направлением вектора $\boldsymbol{D}$ или $\boldsymbol{E}$. Қаждому направлению нормали $\boldsymbol{N}$ соответствуют два значения показателя преломления в соответствии с двумя возможными поляризациями волны.
4. Для исследования уравнения Френеля применим геометрический метод. Из какой-то точки $O$ в различных направлениях будем проводить прямые и на них откладывать отрезки, длины которых равны значениям нормальных скоростей в этих направлениях. Геометрическое место концов таких отрезков называется поверхностью нормалей. В кристалле каждому направлению нормали соответствуют два значения скорости. Поэтому поверхность нормалей в кристалле будет двойной поверхностью, т. е. состоит из двух слоев. Она представляет собой поверхность шестого порядка и имеет очень сложный вид. Чтобы составить представление о поверхности нормалей электромагнитных волн в кристалле, рассмотрим сечения ее координатными плоскостями $X Y, Y Z, Z X$.

Сенение плоскостью $X Y$. Волновая нормаль лежит в плоскости $X Y$, т. е. $N_{z}=0$. Уравнение Френеля (80.8) принимает вид
\[
\left(v^{2}-a_{z}^{2}\right)\left[N_{x}^{2}\left(v^{2}-a_{y}^{2}\right)+N_{y}^{2}\left(v^{2}-a_{x}^{2}\right)\right]=0 .
\]

Из него получаем два значения нормальных скоростей:
\[
v_{2}=a_{z}, \quad v_{1}^{2}=N_{x}^{2} a_{y}^{2}+N_{y}^{2} a_{x}^{2} .
\]

Скорость $v_{2}$ не зависит от направления $N$. Ей соответствует круговое сечение поверхности нормалей (рис. 287). Скорость $v_{1}$ изменяется с изменением направления $N$. Ей соответствует сечение поверхности нормалей, имеющее форму овала. Из уравнений (80.14) следует: $v_{1} \geqslant v_{2}$, так что круг находится целиком внутри овала. Вектор $\boldsymbol{D}$ должен быть перпендикулярен к $N$. Из соображений симметрии ясно, что вектор $\boldsymbol{D}$ одной волны параллелен оси $Z$, а вектор $\boldsymbol{D}$ другой волны параллелен плоскости $X Y$. Первому направлению вектора $\boldsymbol{D}$ соответствует круговое сечение поверхности нормалей, второму – овальное.

Сечение п лоско о т ю $Y Z$. Волновая нормаль $N$ лежит в плоскости $Y Z$, т. е. $N_{x}=0$. Уравненіе Френеля принимает вид
\[
\left(v^{2}-a_{x}^{2}\right)\left[N_{y}^{q}\left(v^{2}-a_{z}^{s}\right)+N_{z}^{s}\left(v^{2}-a_{y}^{s}\right)\right]=0 .
\]

Оно дает два значения нормальных скоростей:
\[
v_{1}=a_{x}, \quad v_{2}^{2}=N_{y}^{2} a_{z}^{2}+N_{z}^{2} a_{y}^{2} .
\]

Скорость $v_{1}$ не зависит от направления $N$. Ей соответствует круеовое сечение поверхности нормалей и вектор $\boldsymbol{D}$, параллельный оси $X$.
Рис. 287.

Сқорость $v_{2}$ изменяется с изменением направления $N$. Ей соответствует овальное сечение поверхности нормалей и вектор $D$, параллельный плоскости $Y Z$. Оно целиком помещается внутри круга, так как $v_{2} \leqslant v_{1}$, как это следует из уравнений (80.15).

Сечение плоскостью $Z X$. Волновая нормаль $N$ лежит в плоскости $Z X$, т. е. $N_{y}=0$. Уравнение Френеля принимает вид
\[
\left(v^{2}-a_{y}^{2}\right)\left[N_{z}^{2}\left(v^{2}-a_{x}^{2}\right)+N_{x}^{2}\left(v^{2}-a_{z}^{2}\right)\right]=0
\]

и дает два значения нормальных скоростей:
\[
v_{1}=a_{y}, \quad v_{2}^{2}=N_{z}^{2} a_{x}^{2}+N_{x}^{2} a_{z}^{2} .
\]

Скорость $v_{1}$ не зависит от направления $N$. Ей соответствует круговое сечение поверхности нормалей и вектор $D$, параллельный оси $Y$. Скорость $v_{2}$ изменяется с изменением направления $N$. Ей соответствует овальное сечение поверхности нормалей и вектор $D$, параллельный плоскости $Z X$.
5. Третий из рассмотренных случаев существенно отличается от первых двух. В первых двух случаях овал и круг не пересекаются. В третьем случае они пересекаются в четырех точках (рис. 287). Это означает, что в плоскости $Z X$ имеются два направления $A A^{\prime}$ и $B B^{\prime}$, симметричные относительно оси $Z$, вдоль которых обе волны распространяются с одной и той же нормальной скоростью. Направления, вдоль которых совпадают нормальные скорости волн, называются оптическими осями второго рода, осями нормалей или бинормалями.

Если в кристалле все три главные скорости $a_{x}, a_{y}, a_{z}$ различны, то в нем существуют две и только две оптические оси второго рода. Действительно, если вектор $N$ направлен вдоль оптической оси второго рода, то должно быть $v_{\mathbf{1}}=v_{2}$. Ввиду соотношений (80.10), это возможно только тогда, когда $v_{1}=v_{2}=a_{y}$. Но тогда уравнение (80.8) дает $N_{y}^{2}\left(a_{y}^{2}-a_{z}^{2}\right)\left(a_{y}^{2}-a_{x}^{2}\right)=0$. Так как по предположению $a_{x}
eq a_{y}
eq a_{z}$, то отсюда следует, что $N_{y}=0$. Это значит, что оптические оси лежат в плоскости $Z X$. Но в этой плоскости, как показано выше, имеются две и только две оптические оси второго рода. Они симметрично расположены относительно оси $Z$ и наклонены к ней под некоторым углом $\beta$. Для нахождения $\beta$ в уравнение $v_{1}=v_{2}$ подставим значения $v_{1}$ и $v_{2}$ из формул (80.16). Получим
\[
a_{y}^{2}=N_{2}^{2} a_{x}^{2}+N_{x}^{2} a_{z}^{2}, \quad \text { или } a_{y}^{2}\left(N_{x}^{2}+N_{z}^{2}\right)=N_{z}^{2} a_{x}^{2}+N_{x}^{2} a_{z}^{2},
\]

откуда
\[
\operatorname{tg} \beta=\frac{N_{x}}{N_{z}}=\sqrt{\frac{a_{x}^{2}-a_{y}^{2}}{a_{y}^{2}-a_{z}^{2}}} .
\]

Теперь оправдан термин «оптически двуосный кристалл», которым мы уже пользовалгсь.

Если две из трех главных скоростей совпадают между собой ( $a_{x}=a_{y}$ или $a_{y}=a_{z}$ ), то оптические оси сливаются в одну ось, параллельную оси $Z$ (когда $a_{x}=a_{y}$ ) или оси $X$ (когда $a_{y}=a_{z}$ ). Кристалл становится оптически одноосным. Наконец, если все три главные скорости одинаковы, то любюе направление в кристалле обладает свойством оптической оси. В таких кристаллах плоские волны, независимо от их поляризации и направления, распространяются с одной и той же скоростью – кристаллы в оптическом отношении ведут себя как изотропные среды. К ним относятся кристаллы кубической системы ${ }^{1}$ ).
1) Необходимо, однако, отметить, что при наличии пространственной дисперсии крнсталлы кубической системы могут быть оптически анизотропными.

ЗАДАч и
1. Қак надо ориентировать пластинку из двуосного кристалла, чтобы полуqить на кристалл-рефрактометре три главных показателя преломления?
Ответ. Перпендикулярио к любой из диэлектрических осей кристалла,
2. Исходя из соображений симметрии, показать, что все кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем оптически одноосны.