Главная > ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ. T.IV ОПТИКА (Д.В.Сивухин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Распространение света в кристаллах, как и любых волн в анизотропных средах, характеризуется замечательной двойственностью, или взаимностью. Она обусловлена тем, что в анизотропных средах каждой волновой нормали соответствует луч, т. е. прямая, вдоль которой происходи г распространение энергии волны. Поскольку энергия распространяется с групповой скоростью, для исследования свойств лучей и обоснования самого понятия луча надо вычислить групповую скорость в анизотропной среде. В этом случае такую сґорость называют также лучевой скоростью. Для ее вычисления воспользуемся формулой (8.16), подставив в нее ω=kv(k). Дифференцируя по kl и учитывая, что k/kl=ki/k, получим
ωki=vkik+kvki.

Отсюда для вектора групповой скорости находим
u=vN+kvk,

где N=k/k — единичный вектор волновой нормали, а v — нормальная скорость, т. е. скорость распространения фазы в направлении волновой нормали.

Групповая скорость u в анизотропной среде отличается от нормальной скорости g добавочным слагаемым kv/k. Это слагаемое в свою очередь содержит составляющую вдоль нормали N. Чтобы определить ее, заметим, что k=kN, а потому указанная составляющая равна kv/k. Поэтому для самой групповой скорости uN в направлении волновой нормали N можно написать
uN=(v+kvk)N=(vλvλ)N.

Этот результат совпадает с формулой Рэлея (8.6) для групповой скорости в изотропной среде. Этого и’ следовало ожидать, так как он относится не ко всему вектору групповой скорости, а только

На эту возможность указывал еще Г. А. Лорентц. Только в 1960 г. Е. Ф. Гросс и А. А. Каплянский, исследуя спектры поглощения на монокристаллических образцах Cu2O, экспериментально обнаружили необычное для кубических кристаллов явленне анизотропного поглощения света, к его проекции на направление волновой нормали. А вычисление такой проекции можно провести в точности так же, как и вычисление групповой скорости в изотропной среде.

Отличие uN от v обусловлено дисперсией волн, т. е. зависимостью нормальной скорости v от частоты ω. Дисперсия в равной мере свойственна и изотропным, и анизотропным средам. Специфика распространения световых волн в кристаллах обусловлена не столько дисперсией, сколько отличием направлений волновых нормалей и лучей. Чтобы не вводить излишних усложнений, пренебрежем совсем дисперсией, т. е. будем считать кристаллы недиспергирующими. Тогда v/λ=0, а потому uN=vN, или uN=v. Но uN=(uN), так что
(uN)=v.
2. Наряду с поверхностью нормалей, введенной в предыдущем параграфе, введем еще лучевую поверхность, называемую иногда также волновой поверхностью. Для этого из произвольной точки O во всевозможных направлениях будем проводить лучи и откладывать на них величины лучевой скорости в этих направлениях. Геометрическое место концов отложенных отрезков есть замкнутая поверхность, которая и называется лучевой поверхностью.

Если лучевую поверхность и поверхность нормалей строить из общего центра O, то между этими двумя поверхностями существует простая и важная связь. Для установления этой связи умножим формулу (81.3) на k и придадим ей вид
(uk)=ω.

Отсюда следует, что бесконечно малые изменения величин u,k,ω связаны соотношением ( uδk)+(kδu)=δω. По определению групповой скорости (uδk)=δω. Следовательно, (kδu)=0, или
(Nδu)=0.

Но u есть радиус-вектор лучевой поверхности, а потому всякий бесконечно малый вектор δu лежит в плоскости, касательной к этой поверхности в соответствующей точке касания. Поэтому из формул (81.5) и (81.3) следует, что касательная плоскость к лучевой поверхности перпендикулярна к соответствующей волновой нормали и отсекает на ней отрезок, равный нормальной скорости волны. Отсюда в свою очередь следует, что лучевая поверхность есть огибающая плоских волн, распространившихся из ее центра за единицу времени в различных направлениях. Этими теоремами и устанавливается искомая геометрическая связь между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей.
— Можно также сказать, что касательная плоскость к лучевой поверхности есть фронт волны, соответствующий лучу, проведенному в точку касания. В таком виде теорема допускает простую интерпретацию. Дейсัтвительно, лучевая поверхность есть поверхность равных фаз, до которой световое возмущение от точечного источника доходит в течение одной секунды. Малый участок такой поверхности может рассматриваться как плоский. Если размеры участка очень велики по сравнению с длиной волны, то его распространение в течение ближайшего времени будет с достаточной точностью подчиняться законам геометрической оптики. Согласно этим законам, участок должен распространяться как безграничная плоская волна в направлении луча, причем лучевая и нормальная скорости будут связаны соотношением (81.3). Отсюда непосредственно следует, что волновой фронт есть касательная плоскость к лучевой поверхности.

Эта простая интерпретация не может, однако, заменить строгое доказательство. В ее основе лежит утверждение, что расходящийся пучок, исходящий из точечного источника, ведет себя соверщенно так же, как система не зависящих друг от друга плоских волн, распространение которых чисто геометрически представляется с помощью лучевой поверхности. Впервые (1852 г.) Ламе (1795-1870) указал, что здесь необходимо решить сложную математическую задачу: точно представить волновой комплекс, исходящий в анизотропной среде из одного точечного центра (аналог шаровой волны в изотропной среде). Ламе решил эту задачу для упругой анизотропной среды. При этом он действительно (при исключении продольных волн) пришел к френелевой форме лучевой поверхности. В электромагнитной теории аналогичный вопрос сводится к решению задачи о поле точечного диполя Герца, помещенного в однородную анизотропную среду.
3. Все изложенное выше справедливо для любых волн в анизоmропных средах. Специфичность электромагнитных волн в кристаллах состоит в том, что для них направление луча совпадает с направлением вектора Пойнтинга. Докажем это утверждение для рассматриваемого нами случая недиспергирующих кристаллов. В этом случае лучевая скорость вдоль волновой нормали равна uN= =vN=v2N/v, или на основании формулы (75.8)
uN=c2D2v(DE)N.

Найдем теперь составляющую лучевой скорости u=kv/k, перпендикулярную к волновой нормали. Умножая формулу (80.6) на k2, представим ее в виде
αkα2v2aα2=0.

Дифференцируя это соотношение по ki, получим
αkαkα/kiv2aα2αkα2(v2aα2)2vvki=0

или, с учетом соотношений kα/kl=δαl и kl=kNl,
(u)ivαNα2(v8aα2)2=Niv2al2.

Из формулы (80.5) находим
1v2aα2=Dαc2(NE)Nα,αNα2(v2αα2)2=1c4D2(NE)2.

После подстановки этих значений в предыдущее соотношение и перехода к векторной форме получим
u=c2(NE)vD2D

Следовательно,
u=uN+u=c2vD2{(DE)N(NE)D}=c2vD2[E[ND]].

Согласно первой формуле (75.5),
[ND]=cv[N[NH]]=cvH,

а по формуле (75.8) v2D2=c2(DE)=c2H2, так что
vD=cH

В результате получим
u=cH2[EH]

Таким образом, лучевая скорость u, а с ней и самый луч действительно направлены вдоль вектора Пойнтинга. Так как векторы E и H взаимно перпендикулярны, то [EH]=EHs, где s — единичный вектор в направлении луча. С учетом этого
uus=cEHs.

При доказательстве предполагалось, что скалярное произведение (NE) не равно нулю. Если (NE)=0, то вектор E параллелен одной из диэлектрических осей кристалла. В этом случае теорема очевидна.
4. Обоснование понятия луча и определение его направления были даны выше через групповую скорость в анизотропной среде. Мы не воспользовались сразу теоремой Пойнтинга, чтобы показать, что это понятие и его общие свойства не специфичны для электромагнитных волн, а относятся к волнам любой физической природы. Кроме того, теорема Умова — Пойнтинга строго доказана для потоков энергии только через замкнутые поверхности. Локализация потока энергии в пространстве требует дополнительных соображений. Такая локализация не вызывает затруднений в рамках применимости геометрической оптики, т. е. в той же области, к которой относится понятие луча. Тогда теорема Умова — Пойнтинга открывает наиболее простой и общий метод для решения всех вопросов, связанных с понятием луча.

Пусть, например, AB — участок плоского волнового фронта, вырезаемый диафрагмой, поставленной на пути распространения электромагнитной волны (рис. 288). Если размеры участка велики по сравнению с длиной волны, то справедлива геометрическая оптика. Надо только определить направление световых лучей. С этой целью построим на основании AB цилиндр ABAB, образующие которого совпадают с направлениями вектора Пойнтинга. Тогда поток электромагнитной энергни через боковую поверхность цилиндра будет тожРис. 288. дественно равен нулю. Останутся только потоки через основания AB и AB. Энергия, втекающая через AB, целиком выйдет через AB. Но так же ведут себя и световые лучи геометрической оптики. Поэтому направления лучей и вектора Пойнтинга должны совпадать и притом не только в случае недиспергирующих сред (как предполагалось в доказательстве, приведенном выше), но и в случае сред, обладающих дисперсией.
5. Двойственность, характерная для кристаллооптики, о которой говорилось в начале этого параграфа, в электромагнитной теории выражается общим положением, называемом теоремой обращения. Эта важная теорема помогает ориентироваться в обилии сложных формул кристаллооптики, давая руководящую нить при установлении внутренних связей между ними. Выражаясь упрощенно, можно сказать, что теорема обращения сокращает вдвое число формул и теорем кристаллооптики, подлежащих запоминанию. Для вывода этой теоремы умножим первое уравнение (75.5) векторно на s. Получим
[sD]=cv[s[NH]]=cv{(Ns)H(sH)N}=cv(Ns)H.

Из (81.3) следует u(Ns)=v. Исключая (Ns), найдем H=uc[sD]. Таким же путем можно получить E=uo[sH]. Таким образом, получаются два ряда формул:
D=cv[NH],E=uc[sH],H=cv[NE],H=uc[sD],N=1DH[DH],s=1EH[EH],Dα=εαEα,Eα=1εαDα.

Все результаты, относящиеся к распространению плоских волн в однородных кристаллах, были получены нами как следствия первого ряда формул. Но формулы второго ряда можно формально получить из формул первого ряда замёной всех величин по следующей схеме:
DHNcvεαEHs1/c1/u1/εα

Следовательно, любое соотношение между величинами, характеризующими распространение плоских волн в однородных кристаллах, останется справедливым, если все входящие в него величины заменить на соответствующие согласно схеме (81.11). Соответствующими считаются величины, стоящие друг под другом в рядах (81.11). Этот результат и называется теоремой обращения.
6. Применяя теорему обращения, легко найти лучевую скорость в кристалле, если известно направление луча s. Для этого в уравнении (80.6) или (80.7) заменяем N на s,v на 1/u,aα на 1/aα и получаем
αsα2(1/u)2(1/aα)2=0,

или
αaα2sα2u2aα2=0.

Это уравнение называется законом Френеля для лучевой скорости в кристалле. Оно вполне аналогично закону Френеля для нормальной скорости и может быть исследовано теми же способами. Но в этом нет необходимости, так как все результаты получаются непосредственно из теоремы обращения. Достаточно перечислить их.

У равнение (81.13) второй степени относительно й и 2. Для каждого направления s оно имеет два положительных вещественных корня u12 и u22, причем
axu1ayu2az.

В каждом направлении в кристалле могут распространяться два линейно поляризованных луча, вообще говоря, с различными лучевыми скоростями u1 и u2. Электрические векторы в этих двух лучах взаимно перпендикулярны.

Лучевая поверхность, как и поверхность нормалей, состоит из двух слоев. Это есть поверхность четвертого порядка. Рассмотрим ее сечения координатными плоскостями XY,YZ и ZX. При этом можно воспользоваться прежним рис. 287, так как качественно сечения лучевой поверхности координатными плоскостями не отличаются от соответствующих сечений поверхности нормалей. Отличия, трудно передаваемые чертежом, лучше выразить словами или математическими формулами. При сечении поверхности нормалей получаются круги и овалы. Сечениями лучевой поверхности будут круги и эллипсы.

Сечение плоскостью XY. Луч s лежит в плоскости XY, т. е. sz=0. Лучевая скорость может иметь два значения:
u2=az,1u12=sx2ay2+sy2ax2.

Скорость u2 не зависит от направления луча. Ей соответствует круговое сечение лучевой поверхности. Скорость u1 меняется с изменением направления луча. Соответствующее сечение имеет форму эллипса. Действительно, уравнение рассматриваемого сечения в векторной форме имеет вид r=u1s, откуда sx=x/u1,sy=y/u1. Подставляя эти значения в (81.15), получаем
x2ay2+y2ax2=1,
т. е. уравнение эллипса с полуосями ay и ax. Ввиду соотношений (81.14) u1u2, так что круг находится целиком внутри эллипса. Вектор E должен быть перпендикулярен к s. Из соображений симметрии ясно, что вектор E одной волны параллелен оси Z, а вектор E другой волны параллелен плоскости XY. Первому направлению вектора E соответствует круговое, второму — эллиптическое сечение лучевой поверхности.

Сечение плоскостью YZ. В этой плоскости лучевые скорости могут иметь два значения:
u1=ax,1u22=sy2az2+sz2ay2.

Скорость u1 не зависит от направления луча. Ей соответствует круговое сечение лучевой поверхности и вектор E, параллельный оси X. Скорость u2 меняется с изменением направления луча. Соответствующее сечение.есть эллипс
y2az2+z2ay2=1,

а вектор E лежит в плоскости ZX. Согласно (81.14) u1u2, так что эллипс целиком помещается внутри круга.

Сечение плоскостью ZX. Скорость луча определяется двумя выражениями:
u1=ay,1u82=sz2ax2+sx2az2.

Скорости u1 соответствует круговое сечение лучевой поверхности и вектор E, параллельный оси Y. Для u2 получается эллипс
z2ax2+x2az2=1,

а вектор E лежит в плоскости ZX. Эллипс и круг пересекаются друг с другом в четырех точках (рис. 287). В соответствии с этим в плоскости ZX имеются два направления AA и BB, симметричные относительно оси Z, вдоль которых оба луча распространяются с одинаковыми лучевыми скоростями. Такие направления называются оптическими осями первого рода, лучевыми осями или бирадиалями.

Если в кристалле все три главные скорости ax,ay,az различны, то в нем существуют две и только две оптические оси первого рода. Они лежат в плоскости ZX и симметрично расположены относительно оси Z. Угол γ, образуемый одной из оптических осей первого рода с осью Z, определяется формулой
tgγ=sxsz=(1/ax2)(1/ay2)(1/ay2)(1/az2)=azaxax2ay2ay8az9.

Сравнение этой формулы с формулой (80.17) приводит к соотношению
tgγ=azaxtgβ,

из которого следует: γ<β, т. е. оптические оси первого рода расположены ближе к оси Z, чем оптические оси второго рода. Обычно ax и az не очень сильно отличаются друг от друга. Поэтому угол между оптическими осями первого и второго рода, как правило, мал и при рассмотрении многих явлений может не приниматься во внимание. Для слюды он составляет около 40.

Если две из трех главных скоростей равны между собой, то оптические оси второго рода сливаются в одну ось, направленнуюлибо параллельно оси Z (когда ax=ay ), либо параллельно оси X (когда ay=az ). В этом случае оптическая ось первого рода совпадает с оптической осью второго рода. Наконец, когда все три главные скорости равны между собой, любое направление в кристалле обладает свойствами оптической оси.

По числу оптических осей первого рода кристаллы разделяются на: 1) двуосные, 2) одноосные и 3) оптически изотропные. Эта классификация совпадает с классификацией, основанной на числе оптических осей второго рода.
7. Отметим еще одно следствие теоремы обращения, которое понадобится нам в следующем параграфе. Умножая скалярно уравнение (75.7) на s и принимая во внимание, что (Es)=0, получим
(Ds)=c2v2(NE)(Ns)=c2uv(NE).

Преобразуем (80.3) с помощью теоремы обращения
(1u21aα2)Eα=1c2(sD)sα,

или на основании (81.23)
aα2u2aα3Eα=uv(NE)sα.

Умножим и разделим левую часть этого соотношения на εα и учтем, что Dα=εαEα,aα2εα=c2. Тогда
(aα2u2)Dα=c2uv(NE)sα.

Сравнение этого соотношения с (80.3) дает

откуда
u(aα2v2)sα=v(aα2u2)Nα,
usαaα2u2=vNαaα2v2

Умножая это соотношение на Nα, суммируя по α и принимая во внимание (80.6), получим
αNαsαaα2u2=0,

или
Nxsx(ay2u2)(az2u2)+Nysy(az2u2)(ax2u2)++Nzsz(ax2u2)(ay2u2)=0
— соотношение более общее, чем (81.27), так как справедливость его, как легко показать, не связана с предположением, что aα2 u2eq0.
8. Теорема о связи между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей (см. пункт 2) позволяет геометрически построить одну из этих поверхностей, если известна другая. Пусть, например, ACB — участок лучевой поверхности с центром O (рис. 289). В каждой точке этой лучевой поверхности проведем касательную плоскость и опустим на нее перпендикуляр из центра O. Геометрическое место оснований таких перпендикуляров будет поверхностью нормалей. Наоборот, чтобы по заданной поверхности нормалей построить лучевую поверхность, надо из центра O провести во всевозможных направлениях радиусы-векторы и в точках пересечения их с поверхностью нормалей построить плоскости, перпендикулярные к ним. Огибающая таких плоскостей и будет лучевой поверхностью.
Допустим, что в некоторый момент времени t в кристалле известно положение плоского волнового фронта. Для того чтобы построить волновой фронт в более поздний момент времени t, можно на основании доказанной теоремы поступить следующим образом. Из каждой точки исходного волнового фронта опишем элементарную волну, радиусы-векторы которой получаются умножением на ( tt) соответствующих радиусов-векторов лучевой поверхности. Плоскость, касательная ко всем элементарным волнам, и даст положение волнового Рис. 289. фронта в момент времени t. Из дв ух возможных касательных плоскостей следует выбрать ту, которой соответствует волна требуемой поляризации. Направление луча найдется соединением центра элементарной волны с соответствующей точкой касания.

Это построение является обобщением построения Гюйгенса для изотропных сред. Оно было впервые введено Гюйгенсом для объяснения двойного преломления. Гюйгенс постулировал, что элементарная волна в кристаллах состоит из двух волн: сферической и эллипсоидальной. Сферические волны порождают обыкновенную, а эллипсоидальные — необыкновенную волны. Это предположение Гюйгенса оправдалось, но оно верно только для оптически одноосных кристаллов.

1
Оглавление
email@scask.ru