1. Как показано в предыдущем параграфе, электромагнитное поле в оптически неоднородной среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=\varepsilon_{0}+\delta \varepsilon$ может быть представлено в виде $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_{0}+\boldsymbol{E}^{\prime}$, $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_{0}+\boldsymbol{H}^{\prime}$, где $\boldsymbol{E}_{0}, \boldsymbol{H}_{0}$ – поле падающей, а $\boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{H}^{\prime}-$ рассеянной волн. При слабой неоднородности можно ограничиться линейным приближением и написать
\[
\begin{aligned}
\operatorname{rot} \boldsymbol{H}^{\prime}-\frac{\varepsilon_{0}}{c} \frac{\partial \boldsymbol{E}^{\prime}}{\partial t} & =\frac{4 \pi}{c} \frac{\partial}{\partial t}-\delta \boldsymbol{P}, & \operatorname{div}\left(\varepsilon_{0} \boldsymbol{E}^{\prime}\right) & =-4 \pi \operatorname{div}(\delta \boldsymbol{P}), \\
\operatorname{rot} \boldsymbol{E}^{\prime}-\frac{1}{c} \frac{\partial H^{\prime}}{\partial t} & =0, & \operatorname{div} \boldsymbol{H}^{\prime} & =0,
\end{aligned}
\]

где
\[
\delta \boldsymbol{P}=\frac{\delta \varepsilon}{4 \pi} \boldsymbol{E}_{0}
\]

Эти уравнения показывают, что среда может рассматриваться как однородная с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{0}$. Влияние фактически имеющихся неоднородностей эквивалентно наличию в среде дополнительных источников волн: каждый элемент объема среды $d V$ дает дополнительное излучение как диполь Герца с дипольным моментом $\delta \boldsymbol{P} d V$. Это дополнительное излучение и есть рассеяннь:й cвem.

Уравнения (99.1) линейны и однородны как относительно полей $\boldsymbol{E}^{\prime}, \boldsymbol{H}^{\prime}$, так и относительно $£$ s. Отсюда следует, что если представить $\delta \varepsilon$ в виде $\delta \varepsilon=\sum \delta_{i} \varepsilon$, то в линейном приближении рассеянное излучение может быть получено простой суперпозицией полей, рассеянных на неоднородностях $\delta_{i} \varepsilon$. Таким образом, можно рассмотреть задачу о рассеянии падающей волны сначала для случая, когда в среде имеется всего одна неоднородность $\delta_{i} \varepsilon$ какого-либо специального вида. При этом неоднородности $\delta_{i} \varepsilon$, суперпозицией которых представляется $\delta \varepsilon$, можно выбирать произвольно. Рассмотрим сначала случай, когда $\delta \varepsilon$ состоит всего из одного слагаемого $\delta \varepsilon=$ $=a \exp (-i \boldsymbol{K} \boldsymbol{r})$, где $a$ и $\boldsymbol{K}$ – постоянные. Пусть падающая волна плоская и представляется выражениями
\[
E_{0}=\boldsymbol{A} e^{i(\omega t-k r)}, \quad \boldsymbol{H}_{0}=\boldsymbol{B} e^{i(\omega t-k r)} .
\]

Посмотрим, при каких длинах волн $\lambda=2 \pi / k$ и в каких направлениях будет наблюдаться рассеянное излучение.

Разобьем среду равноотстоящими плоскостями, перпендикулярными к вектору $\boldsymbol{K}$ (рис. 322). Выберем расстояние между плосқостями равным $\Lambda=2 \pi / K$. Тогда, согласно (99.2), фазы вторичных источников на этих равноотстоящих плоскостях будут одинаковы. Если бы неоднородность была только в слое $I$, а дальше среда была’ однородна, то падающая волна претерпела бы отражение от этого слоя и частично прошла бы дальше. При наличии неоднородности только в слое $I I$ мы получили бы другую отраженную волну с той же амплитудой, но иной фазой. При наличии неоднородности в слое III получилась бы третья отра-
Рис. 322.

женная волна, и т.д. В линейном приближении поле рассеяния всей среды равно простой суперпозиции этих отраженных волн. Чтобы они не гасили, а усиливали друг друга, необходимо выполнение условия Брэгга-Вульфа: $2 \Lambda \sin (\theta / 2)=m \lambda$, где $\theta$ – угол рассеяния, т. е. угол между направлениями падающего и рассеянного излучений, а $m$ – целое число (порядок дифракционного спектра).

Покажем, что $m=1$. Все плоские волны, отраженные различными слоями, складываясь, дают волну вида $\boldsymbol{E}^{\prime}=\boldsymbol{A}^{\prime} e^{i\left(\omega t-k^{\prime} r^{\prime}\right)}$, где волновой вектор $\boldsymbol{k}^{\prime}$ определяет направление распространения отраженных волн. С другой стороны, дополнительная поляризация среды
\[
\delta P=\frac{E_{0}}{4 \pi} \delta \varepsilon=\frac{a A}{4 \pi} e^{i[\omega t-(k+K) r]} .
\]

Подставляя эти выражения во второе“уравнение (99.1) и сравнивая показатели, легко получить $\boldsymbol{k}^{\prime}-\boldsymbol{k}=\boldsymbol{K}$, откуда
\[
2 \Lambda \sin (\theta / 2)=\lambda \text {. }
\]

Таким образом, при дифракции волны на синусоидальной неоднородности диэлектрической проницаемости в линейном приближении получается дифракционный спектр только первого порядка.

Любую неоднородность в среде можно по теореме Фурье представить в виде суперпозиции плоских синусоидальных неоднородностей различных направлений. Согласно доказанному выше такие синусоидальные неоднородности рассеивают свет независимо друг от друга. Но при фиксированном направлении рассеянного излучения эффективны не все синусоидальные неоднородности, а только такие, волновой вектор $\boldsymbol{K}$ которых направлен по биссектрисе угла, дополнительного к 6 до $180^{\circ}$ (рис. 322). Остальные синусоидальные неоднородности для рассеяния в рассматриваемом направлении не играют роли. Мы видим, что механизм рассеяния света на неоднородностях диэлектрической проницаемости вполне аналогичен механизму рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах в той форме, в какой он был представлен Вульфом и Брэггом (см. §61).
2. До сих пор мы принимали во внимание изменения функции $\delta \varepsilon$ в пространстве, но не учитывали ее изменения во времени. Учет последнего обстоятельства приводит к новому явлению в рассеянии света. Считая, как и в предыдущем параграфе, $\varepsilon$ функцией только плотности $\rho$, напишем в линейном приближении $\Delta \varepsilon=(d \varepsilon / d \rho) \Delta \rho$. Всякая неоднородность плотности, возникшая в среде, является источником звуковых волн. Разложим $\Delta \rho$ в интеграл или ряд Фурье и возьмем в этом разложении только те звуковые волны, которые существенны для рассеяния волн в рассматриваемом направлении. Их волновой вектор $\boldsymbol{K}$ был определен выше. Этому значению $\boldsymbol{K}$ соответствует определенная звуковая частота $\Omega$ и два направления распространения звуковой волны: вдоль $\boldsymbol{K}$ и против $\boldsymbol{K}$. Неоднородность $\delta \varepsilon$, вызывающая рассеяние света в рассматриваемом направлении, представится суммой $\delta \varepsilon=\delta \varepsilon_{1}+\delta \varepsilon_{2}$, где $\delta \varepsilon_{1}$ и $\delta \varepsilon_{2}$ имеют вид плоских звуковых волн:
\[
\delta \varepsilon_{1}=a_{1} e^{i(\Omega t-K r)} \quad \text { и } \quad \delta \varepsilon_{2}=a_{2} e^{-i(\Omega t+K r)} .
\]

Им соответствуют векторы дополнительной поляризации среды:
\[
\begin{array}{l}
\delta P_{1}=\frac{E_{0}}{4 \pi} \delta \varepsilon_{1}=\frac{a_{1} A}{4 \pi} e^{i[(\omega+\Omega) t-(k+K) r]} \\
\delta P_{2}=\frac{a_{2} A}{4 \pi} e^{i[(\omega-\Omega) t-(k+K) r]}
\end{array}
\]

Таким образом, источники рассеянного излучения, а значит и само рассеянное излучение, будут меняться во времени с частотами $\omega+\Omega$ и $\omega-\Omega$ (модуляция световой волны акустической волной). В спектре рассеянного излучения должен наблюдаться дублет с теми же частотами. Это явление называется тонкой структурой линий рэлеевского рассеяния или рассеянием Мандельштама Бриллюэна. Смещение частоты равно $\Omega=K v=(2 \pi / \Lambda) v$, где $v-$ скорость звука, а $\Lambda$ – длина звуковой волны. На основании (99.3)
\[
\Omega=\frac{4 \pi v}{\lambda} \sin \frac{\theta}{2}=2 \omega n \frac{v}{c} \sin \frac{\theta}{2},
\]

где $c$ – скорость света в вакууме, а $n$– показатель преломления среды.

Дублет Мандельштама – Бриллюэна можно трактовать как допплеровское изменение частоть света при отражении от акустической волны. Когда акустическая волна распространяется навстречу световой, происходит увеличение частоты света, в противоположном случае – уменьшение. Допплеровское изменение частоты определяется формулой
\[
\frac{\Omega}{\omega}=\frac{2 v \sin \theta / 2}{c / n},
\]

откуда и получается формула (99.4).
Представление о тепловом движении как о звуковых волнах всевозможных частот и направлений распространения было введено Дебаем (1884-1966) в его теории теплоемкости твердых тел. К ним Дебай применял методы статистической физики. Это – те же волны, которые вызывают рассеяние света и дублет Мандельштама Бриллюэна.
3. Тонкая структура линий рэлеевского рассеяния была предсказана независимо друг от друга Л. И. Мандельштамом и Л. Бриллюэном. По свидетельству Г. С. Ландсберга, Л. И. Мандельштам выполнил свою работу еще в 1918 г., хотя краткая заметка о ней появилась значительно позже, в 1926 г., когда часть найденных Л. И. Мандельштамом результатов была уже опубликована Бриллюэном (1922 г.). Мандельштам и Ландсберг пытались на опыте обнаружить предсказанное явление при рассеянии света в кварце. Качественно им удалось констатировать существование явления. Однако недостаточная разрешающая способность их спектральной аппаратуры не позволяла исследовать его количественно. Кроме того, эти опыты привели их к открытию комбинационного рассеяния света (см. $\S 100$ ). Естественно, что их внимание переключилось на исследование этого более важного явления. По их предложению исследованием тонкой структуры рэлеевского рассеяния занялся Е. Ф. Гросс (1897-1972) в Ленинграде.

Гросс обнаружил явление при рассеянии света в жидкостях ${ }^{1}$ ). Однако оказалось, что в жидкостях, наряду с двумя смещенными компонентами, наблюдается также и несмещенная компонента. Происхождение несмещенной компоненты было объяснено Ландау (1908-1968) и Плачеком (1905-1955).

Рассматривая удельный объем жидкости $V$ как функцию давления и энтропии, можно написать
\[
\delta V=(\partial V / \partial P)_{S} \delta P+(\partial V / \partial S)_{P} \delta S .
\]

Отсюда видно, что существует два вида флуктуаций удельного объема: одни вызваны флуктуациями давления при постоянной энтропии, другие – флуктуациями энтропии при постоянном давлении. Флуктуации первого типа распространяются в виде акустических волн и ведут к появлению смещенных компонент. Флуктуационные неоднородности второго типа выравниваются посредством теплоп роводности, а следовательно, распространяются значительно более медленно, – они и ведут к появлению в рассеянном свете несмещенной компоненты.

Для количественного исследования заметим, что процессы рассеяния света на флуктуациях давления и энтропии некогерентны. Поэтому интегральные интенсивности несмещенной $I_{\omega}$ и смещенных $I_{\omega-\varepsilon \omega}, I_{\omega+\varepsilon \omega}$ компонент связаны соотношением
\[
\frac{I_{\omega}}{I_{\omega-\delta \omega}+I_{\omega+\delta \omega}}=\frac{(\partial V / \partial s)_{P}^{2} \overline{\Delta s^{2}}}{(\partial V / \partial P)_{s}^{2} \overline{\Delta P^{2}}}=-\left(\frac{\partial V}{\partial s}\right)_{P}^{2}\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{s},
\]

где использованы выражения (97.22) и (97.24), а также формула $c_{P}=T(\partial s / \partial T)_{P}$, причем малой буквой $s$ обозначена. удельная энтропия. Так как дифференциал удельной энтальпии $d i=T d s+$ $+V d P$ – полный дифференциал, то $(\partial T / \partial P)_{s}=(\partial V / \partial s)_{P}$. Поэтому
\[
\frac{I_{\omega}}{I_{\omega-\delta \omega}+I_{\omega+\delta \omega}}=-\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{s}\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_{s}\left(\frac{\partial V}{\partial s}\right)_{P}\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}=-\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{s}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P},
\]

или, на основании тождества ( $\partial T / \partial V)_{s}(\partial V / \partial)_{T}(\partial s / \partial T)_{V}=-1$,
\[
\frac{I_{\omega}}{I_{\omega-\delta \omega}+I_{\omega+\delta \omega}}=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\left(\frac{\partial s}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial T}{\partial s}\right)_{V}=\frac{(\partial V / \partial T)_{P}(\partial s / \partial V)_{T}}{(\partial s / \partial T)_{V}} .
\]

Рассматривая энтропию $s$ как функцию $T$ и $V$, получим
\[
\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)_{V}+\left(\frac{\partial s}{\partial V}\right)_{T}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} .
\]
1) Это было неожиданно, так как, согласно гидродинамической теории, поглощение звука в жидкостях пропорционально квадрату частоты $\omega$. Если бы гидродинамическая теория была верна без ограничений, то звуковые волны оптических частот в жидкостях распространяться не могли бы. Обнаружение тонкой структуры в жидкостях послужило поводом Л. И. Мандельштаму и М. А. Леонтовичу (р. 1903) к разработке релаксационной молекулярной теории вязкости жидкост ей и основанной на ней теории поглощения звука,

Окончательно:
\[
\frac{I_{\omega}}{I_{\omega-\delta \omega}+I_{\omega+\delta \omega}}=\frac{(\partial s / \partial T)_{P}-(\partial s / \partial T)_{V}}{(\partial s / \partial T)_{V}}=\frac{c_{P}-c_{v}}{c_{v}} .
\]

Эта формула была получена Ландау и Плачеком.
В аморфных твердых телах звуковые волны могут быть продольными и поперечными. Они распространяются с различными скоростями. Поэтому в рассеянном свете спектральная линия должна расщепляться на пять компонент: одну несмещенную и две пары смещенных компонент, из которых одна пара получается от рассеяния на продольных акустических волнах, а другая – на поперечных.
В. В. Владимирский (р. 1915) указал, что в кристаллах в общем случае спектральная линия неполяризованного света должна расщепляться на 25 компонент: одну несмещенную и 24 смещенные. Дело в том, что в кристалле в каждом направлении могут распространяться одна продольная акустическая волна и две поперечные. В том же направлении могут распространяться две световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Каждая из этих световых волн в свою очередь расщепляется на две волны при отражении от акустических волн соответствующих направлений распространения. Это и приводит к появлению в рассеянном свете 24 несмещенных компонент. Однако из-за слабой анизотропии всех исследованных кристаллов эти 24 компоненты обычно группируются в шесть грулп по четыре линии в каждой и не разрешаются спектральными приборами. На опыте наблюдаются шесть смещенных компонент.
4. С изобретением лазеров стала возможной генерация мощных (так называемых гигантских) световых импульсов, оказывающих существенное воздействие на среду, в которой распространяется свет. В переменном электрическом поле $\boldsymbol{E}$ возникает электрострикционное давление
\[
\mathscr{P}=\frac{1}{8 \pi}\left(\rho \frac{d e}{d \rho}\right) E^{2}
\]
(см. т. III, § 32). Величина $\rho d \varepsilon / d \rho$ порядка единицы. В слабых световых полях, с которыми имеет дело линейная оптика, давление $\mathscr{\rho}$ ничтожно и его влиянием на среду можно полностью пренебречь. Но в световом поле гигантского лазерного импульса это давление может достигать сотни тысяч атмосфер. Тогда световые и акустические волны в среде надо рассматривать совместно. Они описываются сложной системой взаимосвязанных нелинейных уравнений электродинамики и акустики. Это приводит к ряду нелинейных оптических явлений. Одним из них является вынужденное рассеяние Мандельштама – Бриллюэна. Хотя нелинейные оптические явления будут разбираться в главе XI, возникновение вынужденного рассеяния Мандельштама – Бриллюэна удобнее разобрать уже здесь. .

Пусть $E_{0}=A_{0} \cos (\omega t-k r), \quad E_{1}=A_{1} \cos \left[(\omega+\Omega) t-\boldsymbol{k}^{\prime} r\right]$, $\boldsymbol{E}_{2}=\boldsymbol{A}_{2} \cos \left[(\omega-\Omega) t-\boldsymbol{k}^{\prime} \boldsymbol{r}\right], \quad \boldsymbol{E}_{3}=\boldsymbol{A}_{3} \cos \left[\omega t-\boldsymbol{k}^{\prime} \boldsymbol{r}\right]-$ напряженности электрического поля падающей и трех рассеянных волн Мандельштама – Бриллюэна. Последние три волны возникают при рассеянии на тепловых флуктуациях. Интенсивности их сначала малы, но в дальнейшем могут усилиться за счет взаимодействия с падающей волной. Электрострикционное давление $\mathscr{P}$ определяется квадратом суммы всех полей, т. е. $\left(E_{0}+E_{1}+E_{2}+E_{3}\right)^{2}$. При возведении в квадрат представим по известным формулам тригонометрии квадраты и произведения косинусов в виде сумм постоянных членов и косинусов суммарных и разностных аргументов. Постоянные члены для возбуждения звуковых волн не играют роли. Не имеют значения и члены с косинусами от суммарных аргументов. Это – высокочастотные члены, меняющиеся во времени с оптическими частотами, а звуковые волны быстро затухают с увеличением частоты. Возбуждение звуковых волн связано только с низкочастотными членами, содержащими косинусы разностных аргументов. Выпишем все эти члены, опуская при этом численные коэффициенты и принимая во внимание соотношение $K=k^{\prime}-\boldsymbol{k}$ (рис. 322). Получим
\[
\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}_{0} \boldsymbol{A}_{1} \cos (\Omega t-K r), & \boldsymbol{A}_{0} \boldsymbol{A}_{2} \cos (\Omega t+\boldsymbol{K} \boldsymbol{r}), \quad \boldsymbol{A}_{0} \boldsymbol{A}_{3} \cos \boldsymbol{K} \boldsymbol{r}, \\
\boldsymbol{A}_{1} \boldsymbol{A}_{2} \cos 2 \Omega t, & \boldsymbol{A}_{1} \boldsymbol{A}_{3} \cos \Omega t, \quad \boldsymbol{A}_{2} \boldsymbol{A}_{3} \cos \Omega t .
\end{array}
\]

Из этих членов имеет значение только первый. Он представляет волну, распространяющуюся в том же направлении и с той же фазой, что и первичная звуковая волна, возникшая из-за тепловых флуктуаций. Поэтому будет происходить параметрическое усиление этой акустической волны и всех световых волн, рассеянных на ней. Такой процесс усиления будет продолжаться до тех пор, пока интенсивность рассеянного света не станет сравнимой с интенсивностью падающего. Это действительно и наблюдается на опыте. В отличие от некогерентного рассеяния на тепловых флуктуациях, вынужденное рассеяние Мандельштама – Бриллюэна когерентно.
З А д А ч А
При рассеянии света резонансной линии ртутной лампы ( $\lambda=253,65$ нм) в кристалле алмаза под углом $\theta=90^{\circ}$ к направлению падающего пучка были найдены две пары смещенных компонент с $\delta \lambda=0,052$ нм и $\delta \lambda=0,032$ нм. (Речь идет о смещении относительно центральной – несмещенной – компоненты.) Определить скорости продольной и поперечной акустических волн в алмазе, Показатель преломления алмаза $n=2,42$.
\[
\text { Ответ, } \quad v=\frac{c}{2 n \sin (\theta / 2)} \frac{\delta \lambda}{\lambda} ; \quad v_{\text {прод }}=18000 \mathrm{~m} / \mathrm{c} ; \quad v_{\text {попереч }}=11000 \mathrm{~m} / \mathrm{c} .
\]

Благодаря большой скорости звука в алмазе тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния удается исследовать даже с помощью призменных спектрографов,