1. Поставим между точечным источником $S$ и точкой наблюдения $P$ непрозрачный экран с круглым отверстием, плоскость которого перпендикулярна к оси $S P$, а центр $O$ расположен на той же оси (рис, 155). Согласно Френелю, действие такого препятствия сводится к тому, что экран как бы устраняет ту часть волнового фронта, которую он прикрывает. На открытой же части волнового фронта световое поле не изменяется. Такое предположение соответствует приближению геометрической оптики, а потому оно может быть приближенно верным только тогда, когда радиус отверстия очень велик по сравнению с длиной световой волны. Это и предполагается в дальнейшем. Будем предполагать, кроме того, что размеры отверстия можно менять, что дает возможность открывать любое число зон Френеля.

Пусть $a_{0}$ и $I_{0}$ означаютамплитуду и интенсивность света в точке $P$ при свободном распространении волны, т. е. в отсутствие экрана. Общий световой поток, поступающий через отверстие, строго пропорционален его площади. Но он будет распределяться по-разному по освещаемой поверхности, в зависимости от того, сколько зон Френеля укладывается в отверстии. В одних местах может получиться интенсивность меньше, в других больше $I_{0}$. Никакого противоречия с законом сохранения энергии в этом нет.

Если открыть первую зону Френеля, то амплитуда и интенсивность света в той же тоӵке будут $a_{1}=2 a_{0}, I_{1}=\left(2 a_{0}\right)^{2}=4 I_{0}$. Таким образом, интенсивность в центре $P$ дифракционной картины получится в четыре раза большей, чем было бы при свободном распространении волны. При удалении от центра $P$ интенсивность будет монотонно убывать. При расширении отверстия в точку $P$ начнут приходить вторичные волны. Их интерференция с ранее пришедшими волнами вызовет уменьшение интенсивности в той же точке. При определенных размерах отверстия центр $P$ перестанет быть точкой максимальной интенсивности. Вокруг точки $P$ начнет образовываться светлое кольцо, к которому и переместится максимум интенсивности. Когда отверстие откроет две первые зоны Френеля, то их действия в точке $P$ практически полностью уничтожат друг друга из-за интерференции. В точке $P$ получится темный кружок, окруженный светлым кольцом.

При дальнейшем увеличении размеров отверстия действия двух первых зон Френеля в точке $P$ остаются компенсированными. Bсе поле в $P$ создается только частью третьей зоны Френеля. В центре

картины появляется светлое пятнышко, а центральный темный кружок расширяется и переходит в темное кольцо, окружающее это пятнышко. Когда число $N$ открытых зон равно трем, интенсивность света в точке $P$ будет такой же, какая получилась бы, если бы была открыта только одна третья зона. Центр картины будет практически столь же светлым, что и при одной открытой первой зоне Френеля. При $N=4$ светлый центр сменится темным. Вообще, при нечетном $N$ центр дифракционных колец светлый, а при четном – темный. На схематическом рис. 156 для различных $N$ показано распределение интенсивности света в зависимости от расстояния до центра картины, а рис. 157 воспроизводит фотографии наблюдаемой картины колец при нечетном (a) и четном (б) $N$.
2. Определим теперь размеры и число $m$ зон Френеля, укладывающихся в отверстии $A B$ (рис. 155). Пусть $D$ – диаметр отверстия, а $a$ и $b-$ расстояния от его центра до точек $S$ и $P$. Из точек $S$
Рис. 157.

и $P$ как из центров оппшем сферы, проходящие через край отверстия $A B$. Пренебрегая квадратами отрезков $O E$ и $O F$, по известной геометрической теореме можем написать:
\[
(D / 2)^{2} \approx O F \cdot 2 a, \quad(D / 2)^{2}=O E \cdot 2 b .
\]

Отсюда
\[
E F=E O+O F=\frac{D^{2}}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) .
\]

Число $m$ найдется делением этого отрезка на $\lambda / 2$. Оно равно
\[
m=\frac{D^{2}}{4 \lambda}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \text {. }
\]

Если $m$ целое, то $D$ будет диаметром, а $R_{m}=D / 2$ – радиусом $m$-й зоны, точнее – ее внешнего края. Следовательно,
\[
R_{m}=\sqrt{\frac{a b}{a+b} m \lambda} .
\]

Например, если $a=b=1 \mathrm{~m}, \lambda=600$ нм, то $R_{1} \approx 0,55, R_{2} \approx 0,77$, $R_{3} \approx 0,95$ мм и т. д.
3. Интенсивность света в точке наблюдения $P$ можно во много раз усилить, прикрыв все четные или все нечетные зоны Френеля. Оставшиеся неприкрытыми зоны будут усиливать действие друг друга. Прикрытие можно осуществить, поместив в плоскости отверстия так называемую зонную пластинку (рис. 158). Ее можно изготовить, начертив на листе бумаги темные кольца, а затем сфотографировав их в уменьшенном масштабе. Внутренние радиусы колец должны быть пропорциональны квадратным корням из последовательных нечетных чисел, а внешние – из четных. Тогда получится пластинка, центр которой светлый. Можно изготовить аналогичную пластинку с темным центром. Ширина всех колец должна быть велика по сравнению с длиной волны. Тогда при надлежащих размерах колец пластинка со светлым центром будет удалять из волнового фронта все четные, а пластинка с темным центром – все нечетные зоны Френеля.

Усиление интенсивности света зонной пластинкой аналогично фокусирующему действию линзы. Более того, расстояния от Рис. 158. пластинки до источника $S$ и «изображения» $P$ связаны тем же соотношением, что и соответствующие величины для линзы. Это видно, если формулу (40.1) переписать в виде
\[
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f},
\]

где «фокусное расстояние» определяется формулой
\[
\frac{1}{f}=\frac{4 m \lambda}{D^{2}}=\frac{m \lambda}{R_{m}^{2}} .
\]

Если центр зонной пластинки светлый, то число $m$ – нечетное, в этом случае в формулу (40.4) входит (внешний) радиус светлого кольца пластинки. Если же центр пластинки темный, то число $m$ четное и под $R_{m}$ следует понимать (внешний) радиус темного кольца. Қакой номер брать при вычислении $f$ – это, конечно, не имеет значения.

С помощью зонной пластинки можно даже получать оптиче. ские изображения, хотя и весьма низкого качества.

В отличие от линзы, зонная пластинка имеет несколько фокусов. Действительно, найдем положение точки наблюдения $P$, при котором в центральном круге пластинки уместятся первые три зоны Френеля. Тогда в следующее кольцо пластинки попадут четвертая, пятая и шестая зоны и т. д. Если центр зонной пластинки светлый, то поле в точке $P$ представится суммой
\[
E=\left(E_{1}+E_{2}+E_{3}\right)+\left(E_{7}+E_{8}+E_{9}\right)+\left(E_{13}+E_{14}+E_{15}\right)+\ldots,
\]

или $E=E_{1}+E_{7}+E_{13}+\ldots$, так как действия соседних зон практически уничтожают друг друга. Таким образом в $P$ получится максимум (фокус). Фокусное расстояние найдется по формуле $f_{1}=$ $\approx R_{1} /(3 \lambda)=f / 3$. Аналогично находятся фокусы высших порядков:
\[
f_{n}=\frac{f}{2 n+1},
\]

где $n$ – целые числа, которым можно придавать не только положительные, но и отрицательные значения. Отрицательным значениям соответствуют расходящиеся волны и мнимые фокусы.

Рэлей указал, что интенсивность света в точке наблюдения $P$; увеличится в четыре раза, если изменить на л фазы вторичных волн, исходящих от всех зон Френеля с четными (или нечетными) номерами. Такая \”зонная пластинка с обрацением фазы» была изготовлена Вудом (1868-1955) путем травления поверхности стеклянной пластинки. Ее действие вполне эквивалентно действию линзы, поскольку в обоих случаях вторичные волны от всех точек волнового фронта приходят в $P$ в одинаковых фазах.
4. Поставим теперь между источником $S$ и точкой наблюдения $P$ непрозрачный круглый экран $A B$ (рис. 159), плоскость которого перпендикулярна к оси $S P$. Пусть $D A$ и $B E$ – неприхрытые части волнового фронта сферической волны, исходящей из источника $S$. Разобьем ее на кольцевые зоны Френеля, начав их построение от края экрана. Рассуждая как раньше, представим напряженность поля излучения в точке $P$ в виде половины напряженности, создаваемой в этой точке вторичными волнами первой кольцевой зоны Френсля. Следовательно, каков бы ни был диаметр диска, в центре $P$ его геомегрической тени должно наблюдаться светлое пятнышко. Такой вывод был сделан Пуассоном (1781-1840) и показался последнему столь абсурдным, что он выдвинул его в качестве возражения против волновой теории света Френеля. Араго (1786-1853) немедленно поставил опыт и обнаружил пятнышко в соответствии с выводом Пуассона ${ }^{1}$ ). Явление получило
1) Моральди наблюдал такое пятнышко еще в 1723 г. Вероятно, еще раньше (1715 г.) оно наблюдалось Делилем, хотя указания последнего недостаточно ясны. Одиако эти наблюдения остались незамеченными и были забыты, поскольку природа явления не была понята, название пятна Араго – Пуассона. Наблюдаемая картина дифракции от круглого экрана приведена на рис. 160.

Если точка наблюдения $P$ не находится в центре картины, то кольцевые зоны Френеля, конечно, можно построить и для нее. Однако зоны, расположенные ближе к центру, окажутся неприкрыгымн лишь частично. Это сильно усложняет вычисление интенсивности света. Можно только сказать, что дифракционная картина должна обладать осевой симметрией. Вне геометрической тени получается система концени рических светлых и темных полос. Внутри самой геометрической тени также могут получиться диф пакционные кольца, в особенности когда экран прикрывает Phi 160. небольшое число зон Френеля. Но эти кольца мало контрастны, а распределение света в них сложное.

Демопстацией явления пятна Араго – Пуассона может служить опыт Поля. Он сфотографировал ярко освещенный шаблон, заменив объектив гладким металлическим шаром. Эта фотография воспронзведена на рис. 161 , а параметры установки приведены в задаче в конце этого параграфа. Ангерер сфотографировал изображение человеческого лица, заменив шар металлическим писком.
5. Применим метод зон Френеля к объяснению теней, т. е. прямолинейного распространения света. Поскольку речь идет о законе, от которого принципиально должны
Рис. 161. наблюдаться отступления, наши рассуждения не могут претендовать на строгость.
Пусть на пути распространяющейся волны поставлен экран или отверстие произвольной формы. Их размеры должны быть велики по сравнению с длиной волны. Разобьем волновой фронт на кольцевые зоны Френеля. Некоторые зоны могут оказаться открытыми полностью, другие частично, третьи совсем закрытыми.

Допустим сначала, что точка наблюдения лежит вне геометрической тени, далеко от ее границы. Первые члены ряда (39.4) получатся такими же, как и при свободном распространении волны. Последующие члены начнут изменяться из-за частичного экранирования соответствующих им зон. В зависимости от формы края экрана эти изменения будут носить более или менее нерегулярный характер. Если обнаружится тенденция убывания их по абсолютной величине, то правдоподобно допустить, что напряженность поля в точке наблюдения окажется равной половине напряженности, создаваемой центральной зоной. В случае точечного источника и ровного края экрана это может оказаться и не совсем так. Однако, если источник не совсем точечный, а края экрана не совсем ровные, то произойдет статистическое сглаживание при наложении дифракционных картин от точечных источников, на которые можно разложить протяженный источник. Тогда вдали от края экрана получится такая же освещенность, какая получилась бы при свободном распространении волны.

Допустим теперь, что точка наблюдения лежит внутри геометрической тени, опять далеко от ее границы. Первые зоны Френеля будут полностью закрыты. Нумерацию зон начнем с первой (частично) открытой зоны. Представим поле рядом
\[
E=\left(E_{1}+E_{2}+\ldots+E_{N}\right)+\left(E_{N+1}+E_{N+2}+\ldots\right),
\]

в котором $N+1$ означает номер первой целиком открытой зоны. Ко второй скобке применимы рассуждения, применявшиеся выше в случае свободного распространения волны. Поэтому вторая скобка приближенно равна $1 / 2 E_{N+1}$. В первой скобке слагаемые меняются более или менее нерегулярно, обнаруживая в среднем тенденцию возрастания по абсолютной величине. При статистическом усреднении (с учетом неполной точечности источника и неровностей краев экрана) эти нерегулярности сглаживаются, так что первую скобку можно принять равной $1 / 2\left(E_{1}+E_{N}\right)$, или $1 / 2 E_{N}$, поскольку величина $E_{1}$ должна считаться близкой к нулю из-за малбости открытой части соответствующей зоны. Таким образом, $E=1 / 2\left(E_{N}+E_{N+1}\right) \approx$ $\approx 0$, так как для соседних зон $E_{N} \approx-E_{N+1}$. Итак, при погружении в область геометрической тени интенсивность света обращается в нуль.

Если источник точечный, а края экрана резкие, то граница геометрической тени расщепляется в дифракционные полосы, как это мы видели при рассмотрении дифракции на круглых отверстии и экране. Однако, если края экрана неровные, то полосы начинают размываться, а при увеличении размеров источника переходят в полутень.

ЗА Д А ч и
1. В опыте Поля, описанном в тексте, диаметр шара $D=40$ мм, расстояние от фотографируемого шаблона до шара $a=12 \mathrm{~m}$, расстояние от шара до изображения $b=18 \mathrm{~m}$, размер шаблона $y=7$ мм. Определить размер его изображения $y^{\prime}$. При каких условиях опыт удастся с шаром, поверхность которого испещрена множеством неправильных царапин?

Ответ, $y^{\prime}=\frac{b}{a} y=10,5$ мм, Для удачи опыта необходимо, чтобы глубина царапин $h$ не превосходила ширины крайней френелевой зоны:
\[
h=\frac{\lambda}{D} \frac{a b}{a+b}=180 \lambda=0,1 \text { мм. }
\]
2. Оценить максимальные угловые размеры $\alpha$ предмета, который можно сфотографировать с помощью непрозрачного диска с идеально гладкими краями.

Решение. При смещении точечного объекта в сторону с главной оптической оси диск представится эллипсом. Малая полуось эллипса будет отличаться от радиуса диска на $r\left(1-\cos \frac{\alpha}{2}\right)$. Это отличие не должно превышать ширины крайней френелевой зоны. Из этого условия для максимально допустимых угловых размеров предмета находим
\[
\alpha<\frac{4}{D} \sqrt{\frac{\overline{\lambda a b}}{a+b}} \approx 0,2 \text { рад } \approx 10^{\prime},
\]

где использованы обозначения и численные даңные из предыдущей задачи.
3. Зонная пластинка прнменяется для фотографирования предмета, который виден из места нахождения пластинки под углом $\alpha=0,1$ рад. Оценить оптимальное число зон пластинки для получения наибольшей яркости и отчетливости изобрражения.

Решение. Допустим сначала, что источник света $S$ точечный, а зонная пластинка $C D$ наклонена к оптической оси под углом $(\pi-\alpha) / 2$ (рис. 162). Из рисунка видно: $x^{2}=a^{2}+R^{2}+2 a R \sin \frac{\alpha}{2}$, и аналогично для $y$. Извлекая квадратные корни и пренебрегая всеми степенями радиуса $R$, начиная с третьей, получим для разности хода между лучами $S C P$ и $S O P$ :
\[
\Delta=(x+y)-(a+b)=\frac{R \cos ^{2}(\alpha / 2)}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right),
\]

или $\Delta=\Delta_{0}-\delta \Delta$. Здесь $\Delta_{0}-$ значение $\Delta$ при отсутствии наклона зонной пластинки, а $\delta \Delta$ – приращение величины $\Delta$, обусловленное наклоном:
\[
\delta \Delta=\Delta_{0}\left(1-\cos ^{2} \frac{\alpha}{2}\right)=\Delta_{0} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \approx \frac{1}{4} \Delta_{0} \alpha^{2} .
\]

Если $\delta \Delta \ll \lambda$, то наклон пластинки не скажется существенно на работе зон, расположенных в пределах круга радиуса $R$. Если же $\delta \Delta \approx \lambda / 2$, то все зоны, расположенные выше этого круга, становятся бесполезными и даже вредными. Из этого условия находится предельное значение разности хода: $\Delta_{0} \approx 2 \lambda / \alpha^{2}$. Соответствующее число зон Френеля будет
\[
N \approx \frac{\Delta_{0}}{\lambda / 2} \approx \frac{4}{\alpha^{2}}
\]

Допустим теперь, что фотографируемый предмет не точечный, причем его центр расположен на оси зонной пластинки. Для периферийных точек предмета, не лежащих на оси пластинки, последняя действует как наклоненная под углом $\alpha / 2$. Поэтому предельное число зон Френеля, при котором должно получиться наиболее отчетливое изображение, будет
\[
N \sim 4 / \alpha^{2} \sim 400 .
\]