1. При точном количественном определении понятия когерентности надо учесть, что реальные световые колебания не синусоидальны. Напряженность по,ія в каждой точке пространства может быть представлена ингегралои Фурье (29.4), т. е. в виде суперпозиции синусоидальных колебаний различных частот. Если область $\Delta \omega$, заполняемая этими частотами, мала по сравненио с самими частотами $\omega$, входящими в суперпозицию, то результирующее колебание и представляемый им свет называются квазимонохроматическими. Выбрав внутри интервала $\Delta \omega$ произвольную частоту $\omega_{0}$, запишем квазимонохроматическое колсбание в ви,е
\[
E(t)=a(t) e^{i \omega_{0} t},
\]

где $a(t)$ — комплексная амплитуда, медленно меняющаяся по сравнению с быстро осциллирующей функцией $e^{i \omega_{0} t}$. Она, конечно, определена не совсем однозначно, поскольку ее значение зависит от выбора частоты $\omega_{0}$. Про колебание, представленное формулой (31.1), говорят, что оно модулировано.

При модуляции может медленно меняться (вещественная) амплитуда колебания или его (начальная) фаза. В первом случае говорят об амплитудной, во втором — о фазовой модуляции. Могут также одновременно меняться и амплитуда, и фаза. В случае квазимонохроматического света, излучаемого реальными источниками, такие изменения происходят хаотически — амплитуда и фаза являются случайными функциями времени. Поэтому при изучении реального свега, в том числе и квазимонохроматического, нельзя обойтись без использования статистических методов. Для простоты мы отвлечемся от векторного харакгера колебаний, считая их скалярными.

Важно отметить, что из-за очень высоких оптических частот все существующие приемники света не позволяют регистрировать быстрые изменения напряженности световых полей за времена порядка периода световых колебаний. Обычно они не позволяют следить и за быстрыми изменениями световых потоков, обусловленных случайными изменениями амплитуд и фаз колебаний. Удается из. мерять только квадрать напряженностей световых полей, усредненные по промежуткам времени, весьма большим не только по сравнению с периодами свеговых колебаний, но и по сравнению с временами, в течение которых происходят случайные изменения амплитуд и фаз этих колебаний. Ниже предполагается, что световые потоки регистрируются именно такими «инерционнымит пиемниками.

Более того, мы будем предполагать, что световые потоки в среднем стационарны, т. е. значение среднего квадрата поля в каждой точке пространства одинаково для всех номентов времени и не зависит от положения на шкале времени временного интервала, по которому производится усреднение, Қвадрат поля можно представить в виде
\[
(\operatorname{Re} E)^{2}=\left(\frac{E+E^{*}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(E^{2}+E^{* 2}\right)+\frac{1}{2} E E^{*} .
\]

Если положить $a=a_{0}(t) e^{i \delta(t)}$, где $a_{0}(t)$ и $\delta(t)-$ медленно меняющиеся вещественная амплитуда и фаза, то
\[
E^{2}+E^{* 2}=a_{0}^{2}\left[e^{2 l\left(\omega_{0} t+\delta\right)}+e^{-2 i\left(\omega_{0} t+\delta\right)}\right]=2 a_{0}^{2} \cos 2\left(\omega_{0} t+\delta\right) .
\]

Эта величина осциллирует во времени очень быстро и при усреднении пропадает. Результат усреднения величины ( $\operatorname{Re} E)^{2}$ определяется только последним членом $1 / 2 E E^{*}$. Поэтому за меру интенсивности колебаний можно принять величину $\overline{E E^{*}}$.
2. Допустим теперь, что в точку наблюдения $P$ в момент времени $t$ приходят два колебания от источников света $S_{1}$ и $S_{2}$ (рис. 113). Чтобы прийти в $P$ в момент $t$, эти колебания должны выйти из $S_{1}$ и $S_{2}$ в более ранние моменты времени $t-\theta_{1}$ и $t-\theta_{2}$, где $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ — времена, затрачиваемые светом на распространение от $S_{1}$ и $S_{2}$ до точки $P$. Чтобы отметить это, рассматриваемые колебания в точке $P$ обозначим через $E_{1}\left(t-\theta_{1}\right)$ и $E_{2}\left(t-\theta_{2}\right)$ соответственно, При их сложении в точке $P$ получится результирующее колебание
\[
E \equiv E(P, t)=E_{1}\left(t-\theta_{1}\right)+E_{2}\left(t-\theta_{2}\right) .
\]

Для нахождения его интенсивности в точке $P$ умножим это равенство на комплексно сопряженное и произведем усреднение по времени, В результате получим
\[
\begin{array}{l}
I=\overline{E_{1}\left(t-\theta_{1}\right) E_{1}^{*}\left(t-\theta_{1}\right)}+\overline{E_{2}\left(t-\theta_{2}\right) E_{2}^{*}\left(t-\theta_{2}\right)}+ \\
+\overline{E_{1}\left(t-\theta_{1}\right) E_{2}^{*}\left(t-\theta_{2}\right)+E_{1}^{*}\left(t-\theta_{1}\right) E_{2}\left(t-\theta_{2}\right)} \text {. } \\
\end{array}
\]

В силу предположения о стационарности (в среднем) световых потоков первое слагаемое справа не зависит от $\theta_{1}$ и $t$. Оно представляет просто интенсивность $I_{1}$ первого колебання, пришедшего в точку $P$ :
\[
I_{1}=\frac{1}{\tau} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E_{1}\left(t-\theta_{1}\right) E_{1}^{*}\left(t-\theta_{1}\right) d t=\frac{1}{\tau} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E_{1}(t) E_{1}^{*}(t) d t_{i}
\]

где $\tau$ — ширина временного интервала, по которому производится усреднение. Аналогично, второе слагаемое есть интенсивность $I_{2}$ второго колебания. По той же причине последнее слагаемое (интерференционный член) не зависит от $t$, а также от $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ в отдельности. Оно есть функция только разности $\theta=\theta_{2}-\theta_{1}$, т. е. времени запаздывания второго колебания относительно первого, Поэтому можно положить
\[
\widetilde{E_{1}\left(t_{1}-\theta_{1}\right) E_{2}^{*}\left(t-\theta_{2}\right)}=\overline{E_{1}(t) E_{2}^{*}(t-\theta)}=F_{12}(\theta),
\]

где $F_{12}(\theta)$ — комплексная функция, характеризующая степень соеласованности рассматриваемых колебаний в точке $P$. Она называется корреляционной функцией колебаний $E_{1}\left(t-\theta_{1}\right)$ и $E_{2}\left(t-\theta_{2}\right)$ или взаимной корреляционной функцией.

В частном случае функции $E_{1}(t)$ и $E_{2}(t)$ могут оказаться тождественными. Это будет, например, когда оба колебания выходят из одного и того же источника, но приходят в точку $P$ по различным путям. Тогда $F_{12}(\theta)$ называют автокорреляционной функиией, Ее можно обозначать через $F_{11}(\theta)$, но мы чаще будем применять обозначение $F(\theta)$. При $\theta=0$ автокорреляционная функция переходит в $\overline{\left|E_{1}\left(t-\theta_{1}\right)\right|^{2}}$, т. е. в интенсивность колебания $I_{1}$ в точке $P$.

Функция $F_{12}(\theta)$ зависит от $I_{1}$ и $I_{2}$, т. е. от интенсивностей складываемых колебаний в точке $P$. Если положить
\[
F_{12}(\theta)=\sqrt{I_{1} I_{2}} f_{12}(\theta),
\]

то получится нормированная корреляционная функция, которая зависит только от времени запаздывания $\theta$, но уже не зависит от $I_{1}$ и $I_{2}$. Через эту функцию результирующая интенсивность в точке $P$ представляется выражением
\[
I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \operatorname{Re}\left[f_{12}(\theta)\right] .
\]

Для квазимонохроматического света $E_{1}(t)=a_{1}(t) e^{i \omega_{0} t}, E_{2}(t)=a_{2}(t) e^{i \omega_{0} t}$. так что
\[
\overline{a_{1}(t) a_{2}^{*}(t-\theta)} e^{t \omega_{0} \theta}=\sqrt{I_{1} I_{2}} f_{12}(\theta) .
\]

Қак видно из этой формулы, величина $f_{12}(\theta)$ есть быстро меняющаяся функция времени запаздывания $\theta$. Разделив ее на столь же быстро меняющуюся осциллирующую функцию $e^{i \omega_{0} \theta}$, получим уже медленно меняющуюся функцию
\[
\gamma_{12}(\theta)=f_{12}(\theta) e^{-i \omega_{0} \theta},
\]

которая называется комплексной степенью когерентности колебаний, а ее модуль $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|=\left|f_{12}(\theta)\right|$ — просто степенью когерентности колебаний в точке $P$. Таким образом,
\[
\overline{a_{1}(t) a_{2}^{*}(t-\theta)}=\sqrt{I_{1} I_{2}} \gamma_{12}(\theta),
\]
т. е. $\gamma_{12}(\theta)$ есть нормированная взаимная корреляционная функция для амплитуд $a_{1}(t) u a_{2}(t)$. Далее,
\[
I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \operatorname{Re}\left[\gamma(\theta) e^{i \omega_{0} \theta}\right] .
\]

Полагая $\gamma_{12}(\theta)=\left|\gamma_{12}(\theta)\right| e^{i 8}$, запишем последний результат в вещестеенной форме:
\[
I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1}} \bar{I}_{2}\left|\gamma_{12}(\theta)\right| \cos \left(\omega_{0} \theta+\delta\right) .
\]

Эта формула отличается от аналогичной формулы (26.7) для строго синусоидальных колебаний добавочным множителем $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$ в интерференционном члене и добавочным, медленно меняющимся слагаемым $\delta(\theta)$ в разности фаз. Значения вещественных амплитуд $\left|a_{1}\right|$ и $\left|a_{2}\right|$ и соответствующих интенсивностей $I_{1}$ и $I_{2}$ не зависят от выбора промежуточной частоты $\omega_{0}$ в спектральном интервале $\Delta \omega$ квазимонохроматического света. Не может зависеть от выбора $\omega_{0}$ и полная фаза $\omega_{0} \theta+\delta$, входящая в формулу (31.9). Но добавочная фаза $\delta$, конечно, будет другой при другом выборе $\omega_{0}$. Фаза $\omega_{0} \theta+\delta$ определяет наиболее быстрые изменения в пространстве интенсивности светового поля, т. е. изменения при переходе от одной интерференционной полосы к другой, Ввиду медленности изменения функции $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$, ее изменениями при таком переходе можно пренебречь. Тогда в максимумах $\cos \left(\omega_{0} \theta+\delta\right)$ будет равен +1 , а в минимумах -1 , Поэтому
\[
I_{\text {макс }}=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}}\left|\gamma_{12}(\theta)\right|, \quad I_{\text {мин }}=I_{1}+I_{2}-2 \sqrt{I_{1} I_{2}}\left|\gamma_{12}(\theta)\right| .
\]

Отсюда для видности интерференционных полос находим
\[
V \equiv \frac{I_{\text {макс }}-I_{\text {мин }}}{I_{\text {макс }}+I_{\text {мин }}}=\frac{2 \sqrt{I_{1} I_{2}}}{I_{1}+I_{2}}\left|\gamma_{12}(\theta)\right| .
\]

Когда интенсивности складываемых колебаний одинаковы $\left(I_{1}=I_{2}\right.$ ), то $V=$ $=\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$. По самому определению видность $V$ не может быть больше единицы, а функция $\gamma_{12}(\theta)$ от интенсивностей пучков не завнсит, Поэтому всегда $\left|\gamma_{12}(\theta)\right| \lesssim 1$.

Когда $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|=0$, то $V=0$, т. е. интерференционных полос не получается. В этом случае колебания называются некогерентными. Если при этом функция $\gamma_{12}(\theta)$ обращается в нуль при любых значениях $\theta$, то некогерентность называется полной. Тогда всюду $I=I_{1}+I_{2}$, т. е. имеет место закон фотометрического сложения интенсивностей. Такой случай осуществляетея при наложении световых пучков от независимых источников света.

Если же $\gamma_{12}(\theta)
eq 0$, то наблюдается интерференция, и колебания называются когерентными. Когерентность называется полной, когда величина $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$ всюду достигает своего предельного значения 1. В этом случае интерференционные полосы наиболее контрастны, т. е. при заданных $I_{1}$ и $I_{2}$ видность $V$ максимальна. Такой случай реализуется при наложении строго периодических, в частности монохроматических, пучков одинаковых периодов. Во всех остальных случаях (когда $0<\left|\gamma_{12}(\theta)\right|<1$ ) говорят о частичной когерентности. При перемещении точки наблюдения степень когерентности $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$ медленно изменяется. Вследствие этого медленно изменяется и видность интерференционных полос.
3. До сих пор речь шла о когерентности двух колебаний, происходящих в одной и той же точке пространства. Но можно говорить о когерентности одного и того же волнового поля в двух различных пространственно-временных точках $R_{1}\left(Q_{1}, t_{1}\right)$ и $R_{2}\left(Q_{2}, t_{2}\right)$. Этот вопрос сводится к предыдущему.
Пусть $Q_{1}$ и $Q_{2}$ — какие-либо две точки пространства, находящиеся в рассматриваемом поле излучения (рис. 131). Пусть они являются центрами двух бесконечно малых отверстий в непрозрачном экране, поставленном на пути распространения света. Экран всюду загородит падающий свет, но пропустит свет через отверстия. Через отверстия пройдет не только прямой, но и дифрагированный свет. Бесконечно малые отверстия Рис. 131. в силу принципа Гюйгенса могут рассматриваться как точечные вторичные источники, посылающие свет за экран во всех направлениях. Возьмем за экраном удаленную точку наблюдения $P$. Пусть колебания, вышедшие из точек $Q_{1}$ и $Q_{2}$ в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$, приходят в точку $P$ одновременно. Тогда можно говорить о когерентности этих колебаний в том смысле, как это было разъяснено выше.

По определению мы называем колебания в точках $Q_{1}$ и $Q_{2}$ в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$ (т. е. в пространственно-временных точках $R_{1}$ и $R_{2}$ ) когерентными или некогерентными, если когерентны или некогерентны соответствующие колебания в точке $P$. При этом степень когерентности $\gamma(\theta)$ мы определяем той же величиной, что и для колебаний в точке наблюдения.

В частности, если пространственные точки $Q_{1}$ и $Q_{2}$ совпадают, но свет попадает в $P$ различными путями, то пространственно-временные точки $R_{1}\left(Q_{1}, t_{1}\right)$ и $R_{2}\left(Q_{2}, t_{2}\right)$ отличаются только моментами времени $t_{1}$ и $t_{2}$. В этом случае говорят о временной когерентности. При $t_{1}=t_{2}$ степень временной когерентности равна единице. С увеличением разности этих времен степень когерентности убывает. Максимальное значение $\left|t_{1}-t_{2}\right|$, при котором когерентность еще сохраняется, называется временем когерентности. Расстояние $v t_{1}-t_{2} \mid$, проходимое светом за это время, называется длиной когерентности.

В другом крайнем случае времена $t_{1}$ и $t_{2}$ одинаковы, но пространственные точки $Q_{1}$ и $Q_{2}$ не совпадают. Тогда говорят о пространственной когерентиости. Сохраняя точку $Q_{1}$ неподвижной, будем поворачивать вокруг нее экран вместе с точкой $Q_{2}$. Тогда точка $Q_{2}$ будет перемещаться вокруг $Q_{1}$, а степень когерентности $\mid \gamma_{12}$ |будет меняться. Геометрическое место.точек, где $\gamma_{12}$ обращается в нуль, есть некоторая поверхность, окружающая точку $Q_{1}$. Объем, который она ограничивает, называется объемом когерентности вокруг точки $P_{1}$.

Вычисление степени временной когерентности может быть систематически использовано при определении допустимой ширины спектральной области, а пространственной когерентности — допустимых размеров источников света для возможности наблюдения интерференции.
4. Иллюстрируем понятие и свойства автокорреляционной функции и степени когерентности на простейшем примере, когда оба колебания представляются «оборванной синусоидой»: $E(t)=\sin \omega_{0} t$ в интервале $0<t<\tau$ и $E(t)=0$ вне этого интервала. Перейдем к комплексной форме $E(t)=\frac{1}{i} e^{i \omega_{0} t}$ и примем $\tau$ за промежуток времени, по которому производится усреднение. Тогда $I_{1}=I_{2}=$ $=1$. Произведение $E(t) E^{*}(t-\theta)$ отлично от нуля только в интервале $\theta<$ $<t<\tau$. Поэтому только при $\theta<\tau$ функция $\gamma(\theta)$ может отличаться от нуля. При $\theta>\tau$ она обращается в нуль. В первом случае
\[
\overline{E(t) E^{*}(t-\theta)}=\frac{1}{\tau} \int_{\theta}^{\tau} e^{i \omega_{0} \theta} d t=\frac{\tau-\theta}{\tau} e^{i \omega_{0} \theta}=F(\theta)=f(\theta),
\]

Следовательно,
\[
\gamma(\theta)=\left\{\begin{array}{ccc}
1-\theta / \tau & \text { при } & \theta<\tau, \\
0 & \text { при } & \theta>\tau .
\end{array}\right.
\]

К тому же результату мы пришли бы, если бы предположили, что источник света излучает цуги волн одинаковой длительности $\tau$, беспорядочно следующие друг за другом, причем каждый цуг разделяется на две части, идущие к точке наблюдения различными путями. Это непосредственно следует из того, что различные цуги, испускаемые источником, статистически независимы и поэтому не интерферируют между собой. Из формулы (31.11) следует физически очевидный результат, что колебания когерентны, если время запаздывания $\theta$ меньше длины цуга $\tau$. В противоположном случае они некогерентны. Значит, $\tau$ есть время когерентности колебаний.
5. Модуль функции $\left|\gamma_{12}(\theta)\right|$ легко вычислить по формуле (31.10), измерив предварительно видность полос $V$ и интенсивности $I_{1}$ и $I_{2}$ накладывающихся пучков в точке наблюдения. Значительно труднее измерить добавочную фазу $\delta$, входящую в формулу (31.9). Особенно трудно это сделать, когда источниками света являются узкие спектральные линии. Для этого надо сравнить в одном $и$ том же месте интерференционной картины номера интерференционных полос от рассматриваемого источника света с номерами полос от источника с частотой $\omega_{0}$. Для номера максимума $N$-й ннтерференционной полосы от первого источника можно написать $\omega_{0} \theta+\delta=2 \pi N$. В том же месте второй источник, вообще говоря, не даст максимума. Этому месту будет соответствовать уже дробное число интерференционных полос, определяемое условием $\omega_{0} \theta=2 \pi N_{0}$. Отсюда $\delta=$ $=2 \pi\left(N-N_{0}\right)$. Таким путем в принципе можно экспериментально определить не только модуль, но и аргумент комплексной степени когерентности $\gamma_{12}(\theta)$, Вместе с тем можно определить и корреляционную функцию $F_{12}(\theta)$.
6. Автокорреляционная функция $F(\theta)$ связана важным соотношением со спектральной плотностью $I_{\omega}(\omega)$ излучения. Для установления этой связи пишем на основании определения автокорреляционной функции:
\[
F(\theta)=\overline{E(t) E^{*}(t-\theta)}=\frac{1}{\tau} \int_{-\tau / 2}^{\tau / 2} E(t) E^{*}(t-\theta) d t,
\]

Подставим сюда
\[
E^{*}(t-\theta)=\int_{0}^{\infty} a^{*}(\omega) e^{-i \omega(t-\theta)} d \omega
\]

и поменяем псрядок интегрирования по $t$ и $\omega$. Использовав при этом формулу (29.5), получим
\[
F(\theta)=\frac{2 \pi}{\tau} \int_{0}^{\infty} a^{*}(\omega) a(\omega) e^{i \omega \theta} d \omega .
\]

Но $(2 \pi / \tau) a^{*}(\omega) a(\omega)$ есть спектральная плотность излучения $I_{\omega}(\omega)$ (см. $\S 29$, пункт 5). Следовательно,
\[
F(\theta)=\int_{0}^{\infty} I_{\omega}(\omega) e^{i \omega \theta} d \omega .
\]

Эта формула представляет фурье-разложение функции $F(\theta)$, а потому
\[
I_{\omega}(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\theta) e^{-i \omega \theta} d \theta .
\]

Формулу (31.14) можно привести к другому виду. Для этого заметим, что, ввиду стационарности светового потока, в формуле (31.12) пределы интегрирования можно заменить любыми другими, сохраняя только неизменной ширину интервала интегрирования. Используя это, нетрудно доказать, что автокорреляционная функция удовлетворяет соотношению $F(-\theta)=F^{*}(\theta)$, После этого формула (31.14) приводится к виду
\[
I_{\omega}(\omega)=\frac{1}{2 \pi}\left[\int_{0}^{\infty} F(\theta) e^{-i \omega \theta} d \theta+\int_{0}^{\infty} F^{*}(\theta) e^{i \omega \theta} d \theta\right] .
\]

Это соотношение можно записать в символическом виде
\[
I_{\omega}(\omega)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} F(\theta) e^{-i \omega \theta} d \theta,
\]

понимая его в том смысле, что левая часть равенства равна вещественной части правой. Соотношение (31.13) позволяет найти корреляционную функцию $F(\theta)$ по экспериментально измеренной спектральной плотности излучения $I_{\omega}(\omega)$. С помощью обратного соотношения (31.16) можно определить спектральную плотность $I_{\omega)}(\omega)$, если экспериментально определить корреляционную функцию $F(\theta)$.

Именно так поступал Майкельсон, используя свой интерферометр для исследования структуры спектральных линий. Он измерял видность интерференционных полос в интерферометре и фазу $\delta$, входящую в формулу (31.9), и по этим данным вычислял спектральную плотность излучения $I_{\omega}(\omega)$. В свое время из всех методов этот метод был наиболее точным. Позднее метод Майкельсона был вытеснен более простыми методами многолучевой интерферометрии,