1. Вопросы релятивистской теории тяготения относятся к компетенции общей теории относительности, излагать которую мы не предполагаем. Затронем лишь кратко вопрос о влиянии поля тяготения на течение времени. Будем исходить из принципа эквивалентности аравитационных сил и сил инерции. Он был подробно изложен в $\$ 71$ первого тома. Гравитационное поле будем предполагать слабым (критерий слабости поля указывается ниже).

Возьмем какую-либо инерциальную систему отсчета $S$, в различных точках которой установлены неподвижные часы, синхронизованные по правилу Эйнштейна. Как всегда, время, определяемое по таким синхронизованным часам, будем обозначать через $t$. Пусть относительно $S$ ускоренно движутся какие-то одни часы $A$. Время, отмечаемое часами $A$ в точках, через которые они проходят, условимся обозначать через $t_{0}$. Часы $A$ предполагаются идеальными, так что ускорение их само по себе не оказывает никакого влияния на физические процессы в часах. Такие часы идут одинаково быстро с часами в сопутствующих инерциальных системах отсчета. Промежутки времени по неподвижным и движущимся часам связаны соотношением
\[
d t=d t_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}}
\]

где $v-$ скорость часов $A$ относительно системы $S$. В инерциальной системе отсчета $S$ нет никакого гравитационного поля. Единственной причиной замедления времени $t_{0}$ по сравнению с $t$ может быть только движение часов $A$ относительно инерциальной системы отсчета $S$.
2. Однако возможна и другая точка зрения. Допустим сначала, что часы $A$ относительно системы $S$ движутся с постоянным ускорением $a$. Будем отсчитывать время $t$ от того момента, когда скорость $v$ была равна нулю. Тогда $v=\sqrt{2 a x}$, где $x$ – расстояние, которое прошли часы $A$ за время $t$. Следовательно,
\[
d t=d t_{0} / \sqrt{1-2 a x / c^{2}} .
\]

Теперь введем ускоренную систему отсчета $S_{0}$, движущуюся вместе с часами $A$. В этой системе часы $A$ неподвижны, зато есть силы инерции. Если все явления описывать, приняв $S_{0}$ за систему отсчета, то причиной замедления времени $t_{0}$ следует считать силь инерции. Сила инерции, отнесенная к единице массы движущегося тела, равна – $\boldsymbol{a}$. Но, согласно принципу эквивалентности, силы инерции по своим физическим действиям неотличимы от гравитационного поля, напряженность которого в рассматриваемом нами случае равна $\boldsymbol{g}=-\boldsymbol{a}$. Введем еще гравитационный потенциал $\varphi=-\mathrm{g} x$. Тогда предыдуцая формула примет вид
\[
d t=d t_{0} / \sqrt{1-2 \varphi / c^{2}} \approx d t_{0}\left(1-\frac{\varphi}{c^{2}}\right),
\]

или
\[
\frac{d t-d t_{0}}{d t_{0}}=-\frac{\varphi}{c^{2}} .
\]

За нуль гравитационного потенциала принят потенциал такой точки, в которой движущиеся и неподвижные часы идут одинаково быстро. Поэтому в формулах (109.3) и (109.4) интервал времени $d t$ можно отсчитывать не по часам инерциальной системы $S$, а по тем часам, покоящимся в системе $S_{0}$, которые находятся в точке $B$ с нулевым потенциалом. Можно вообще начало отсчета гравитационного потенциала поместить в любой точке, если формулу (109.4) записать в виде
\[
\frac{d t_{0 A}-d t_{0 B}}{d t_{0 A}}=\frac{\varphi_{B}-\varphi_{A}}{c^{2}},
\]

где интервалы времени $d t_{0 A}$ и $d t_{0 B}$ отсчитываются по двум часам, покоящимся в ускоренной системе отсчета $S_{0}$ и помещенным в точках $A$ и $B$ с гравитационными потенциалами $\varphi_{A}$ и $\varphi_{B}$. При этом на потенциалы должно быть наложено ограничение «слабого поля»:
\[
\left|\frac{\varphi_{B}-\varphi_{A}}{c^{2}}\right| \ll 1,
\]

так как только при этом условии приближенно справедлива ньютоновская теория тяготения и имеет смысл понятие гравитационного нотенциала. (На поверхности Земли $\varphi / c^{2} \approx 7 \cdot 10^{-10}$, на поверхности Солнца $\varphi / c^{2} \approx 2,12 \cdot 10^{-6}$, если за нуль принять потенциал в бесконечности.) Поэтому в формуле (109.5) безразлично, писать ли в знаменателе $d t_{0 A}$ или $d t_{0 B}$.

Формула (109.5) имеет следующий смысл. Пусть в точках $A$ и $B$ гравитационного поля помещены тождественные часы, покоящиеся в системе отсчета $S_{0}$. Для сравнения темпа хода этих часов будем после каждого удара часов $A$ посылать световые сигналы к часам $B$. Пусть $N_{A}$ – число посланных сигналов. За время прихода сигналов часы в $B$ совершат $N_{B}$ ударов, причем
\[
\frac{N_{A}-N_{B}}{N_{A}}=\frac{\varphi_{B}-\varphi_{A}}{c^{2}} .
\]

Если $\varphi_{A}<\varphi_{B}$ (световой сигнал распространяется против направления гравитационного поля), то $N_{A}>N_{B}$, т. е. часы $B$ идут медленнее часов $A$. В противоположном случае, когда $\varphi_{B}<\varphi_{A}$, медленнее будут идти часы $A$. Вообще, часы в гравитационном поле идут тем медленнее, чем выше аравитационный потенциал в том месте, где они находятся. Этот эффект, как и замедление хода движущихся часов, следует рассматривать как свойство пространства-времени, а не как влияние гравитационного поля на ход физических процессов в часах. Такое влияние, как уже указывалось в $\S 106$, в случае реальных часов несомненно существует, но оно существенно зависит от того, какие физические явления положены в основу устройства часов. Для идеальных часов такого влияния нет – в этом случае эффект гравитационного замедления хода часов проявляется в чистом виде. Отмеченное обстоятельство проявляется и в формуле (109.5): гравитационное замедление времени есть взаимное свойство двух часов, определяющееся разностью гравитационных потенциалов между ними, тогда как для физических процессов в часах, очевидно, существен не потенциал, а напряженность гравитационного поля.

Конечно, формула (109.5) верна независимо от того, является ли гравитационное поле «фиктивным» полем сил инерции или «истинным» гравитационным полем, создаваемым массами вещества. Но эта формула была получена для однородного гравитационного поля. Применяя обычный прием, распространим ее на случай произвольного неоднородного гравитационного поля. Для этого вообразим, что в системе отсчета $S_{0}$ вдоль произвольной кривой $A B$, соединяющей часы $A$ и $B$, раеставлены достаточно часто тождественные часы $1,2,3, \ldots, n$. Гравитационное поле һежду каждыми соседними часами можно считать однородным и применить к ним формулу (109.5). Перемножив почленно все эти формулы и учтя, что в пределах их точности различием знаменателей можно пренебречь, мы снова придем к результату (109.5) и тем самым докажем его справедливость и для неоднородного поля.

Так как при наличии гравитационного поля темп хода даже тождественных часов в разных точках пространства разный, то теряет смысл тот способ синхронизации часов и установления одновременности пространственно разделенных событий, который применялся в инерциальных системах отсчета, т. е. при отсутствии гравитационного поля. При наличии гравитационного поля сохраняет смысл лишь местное время, устанавливаемое по тождественным часам в каждой точке пространства. Следует говорить не о синхронизации пространственно разделенных часов, а только о сравнении темпа́ их хода, как это описано выше.

В свете изложенного парадокс близнецов можно рассматривать с иной точки зрения. Часы брата $A$ все время находятся в инерциальной системе отсчета, а часы брата $B$ испытывают вместе с ним ускорение, что эквивалентно тому, что они неподвижны, но находятся в гравитационном поле. Это поле замедляет ход часов $B$. При возвращении к $A$ часы $B$ будут показывать меньшее время, чем $A$.

В последнее время (1976 г.) гравитационное замедление времени было подтверждено группой американских физиков Мерилендского университета. Измерялась разность показаний атомных часов на самолете и в наземной лаборатории. Самолет курсировал на высоте 10 км с небольшой скоростью, чтобы уменышить кинематический эффект замедления времени. Время полета было около 15 часов. Ожидаемый гравитационный эффект составлял примерно +50 нс, кинематический -7 нс. Летающие часы сравнивались с наземными до, после и во время полета. Таким образом, можно было следить за монотонным возрастанием разности показаний сравниваемых часов. Опыт подтвердил теорию с точностью до $1,6 \%$.
3. Применим полученные результаты к излучению света. Пусть два тождественных неподвижных атома находятся в точках $A$ и $B$ гравитационного поля. Каждый из них в том месте, где он находится, излучает свет с одной и той же частотой $\omega_{0}$. Рассматривая излучающие атомы как часы и применяя к ним формулу (109.5) или (109.7),

получим
\[
\frac{\omega_{0}-\omega}{\omega_{0}}=\frac{\varphi_{B}-\varphi_{A}}{c^{2}},
\]

где $\omega$ – частота света, приходящего от $A$ в точку наблюдения $B$. Если свет распространяется от низшего потенциала $\varphi_{A}$ к высшему $\varphi_{B}$ (т. е. против гравитационного поля), то наблюдается изменение частоты в красную сторону. Для света, приходящего от поверхности Солнца к Земле, это изменение частоты составляет $\left(\omega_{0}-\omega\right) / \omega_{0}=$ $=2,12 \cdot 10^{-6}$. Напротив, если свет распространяется от высшего гравитационного потенциала к низшему (т. е. в направлении гравитационного поля), то наблюдаемая частота света увеличивается. Это явление, называемое гравитационным смещением спектральных линий, было теоретически предсказано Эйнштейном, а затем подтверждено экспериментально. Несколько иначе описанное явление было рассмотрено в $\S 72$ т. I.