1. С точки зрения атомистических представлений всякую среду следует рассматривать как вакуум, в который вкраплены атомы вещества. (Молекулы можно рассматривать тоже как атомы.) Под действием падающей волны, а также излучений соседних атомов внутри каждого атома возбуждаются колебания электронов и атомных ядер. Вследствие этого атомы становятся источниками
1) Азимут колебаний падающей волны может изменяться от $-\pi / 2$ до $+\pi / 2$. Он счнтается положительным, если $\mathscr{E}_{\| i} / \mathscr{E}_{\perp}>0_{1}$ и считается отрицательным, если $\mathscr{E}_{\| I} / \mathscr{E}_{\perp}<0$.

вторичных сферических волн, распространяющихся между этими частицами со скоростью света в вакууме с. Эти волны когерентны, поскольку они возбуждаются одной и той же падающей волной. Их интерференция между собой и с падающей волной определяет волновое поле во всем пространстве. В частности, отраженная волна возникает в результате интерференции вторичных волн, вышедших из среды в вакуум, с которым она граничит.

Почему же в среде свет распространяется с иной скоростью, чем в вакууме? Вопрос этот надо уточнить, указав, о какой скорости идет речь. В теории отражения и преломления света основной интерес представляет фазовая скорост’, поскольку она определяет показатель преломления среды, а следовательно, и законы отражения и преломления волн на границе раздела сред. Отличие фазовой скорости света в среде от скорости света в вакууме вкратце объясняется тем, что в каждую точку пространства вторичные волны приходят не только от атомов, расположенных вдоль луча, проходящего через рассматриваемую точку, но и от множества других атомов, расположенных в стороне от него.

Более подробное рассмотрение приводится ниже для точечных атомов. В поле световой волны атомы приобретают меняющиеся во времени дипольные моменты и излучают как точечные диполи Герца. Для наших целей достаточно знать поле излучения такого диполя в волновой зоне. Оно определяется только составляющей дипольного момента $\boldsymbol{p}_{\perp}$, перпендикулярной к направлению излучения. Параллельная составляющая $p_{: \mid}$в волновой зоне на излучение диполя Герца не влияет.
2. Допустим, что в вакууме вдоль оси $X$ распространяется плоская монохроматическая волна $\boldsymbol{E}_{0} e^{i\left(\omega t-k_{0} x\right)}$, на пути которой перпендикулярно к оси $X$ поставлен бесконечно тонкий плоскопараллельный слой толщины $d \xi$, состоящий из точечных неподРис. 250. вижных атомов, равномерно распределенных по объему слоя (рис. 250).

Следуя Рэлею, выясним влияние такого слоя на фазу колебаний в какой-то удаленной точке $A(x)$, расположенной впереди слоя. Дипольные моменты атомов слоя, возбужденные падающей волной, можно представить в виде $\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_{0} e^{i\left(\omega t-k_{0} \xi\right)}$, где $\xi-$ абсцисса слоя. Предположим, что точка $A$ расположена в волновой зоне ближайшего; а следовательно, и всех остальных диполей слоя. Тогда электрическое поле каждого диполя в точке $A$ будет
\[
\frac{k_{0}^{2}}{r} \boldsymbol{p}_{0} \perp e^{i\left(\omega t-k_{0} \hat{\xi}-k_{0} r\right)},
\]

сде $r$ – расстояние от диполя (см. т. III, § 141). Такие выражения надо просуммировать по всем диполям слоя. Применим для этого метод кольцевых зон Френеля. Из теории таких зон известно, что результирующая напряженность $d E_{1}$ всех диполей слоя в точке $A$ будет равна половине напряженности поля, возбуждаемого в той же точке диполями одной только центральной зоны. Таким образом, для нахождения $d E_{1}$ надо просуммировать выражение (68.1) по всем диполям центральной зоны и результат разделить на два. Вторичные волны, исходящие от края центральной зоны, отстают по фазе на л от волны, исходящей из ее центра $O$, а следовательно, и от падающей волны. Отставание по фазе вторичных волн, исходящих от остальных точек той же зоны, будет промежуточным. Таким образом, возникнет замедление скорости распространения фазы волны в результате прохождения ее через слой вещества.

Для фактического выполнения расчета заменим суммирование интегрированием. Возьмем кольцо с внутренним радиусом $\rho$ и наружным $\rho+d \rho$, заштрихованное на рис. 250 . В элементарном объеме $d V=2 \pi \rho d \rho d \xi$ находится $N d V$ диполей ( $N$ – число диполей в единице объема). Для возможности аппроксимации сумм интегралами и применимости метода зон Френеля предположим, что число $N d V$ еще достаточно велико. На это число надо умножить выражение (68.1), проинтегрировать по центральной зоне и результат разделить на два. Из соотношения $\rho^{2}=r^{2}-(x-\xi)^{2}$ при постоянном $\xi$ получаем $\rho d \rho=r d r$ и вводим в качестве переменной интегрирования расстояние $r$. В пределах центральной зоны величину $\boldsymbol{p}_{0}$ можно считать постоянной и равной $\boldsymbol{p}_{0}$. Тогда интегрирование сведется к
\[
\int_{x-\xi}^{x-\xi+2} e^{-i k_{0} r} d r=-\frac{2}{k_{0}} i,
\]

а после введения коэффициента перед интегралом получится
\[
d \boldsymbol{E}_{1}=-i 2 \pi k_{0} N \boldsymbol{p}_{0} d \xi e^{i\left(\omega t-k_{0} x\right)} .
\]

Интегрированием по остальным зонам убеждаемся, что из-за убывания $\boldsymbol{p}_{0 \perp}$ их действия медленно убывают с возрастанием номера. зоны $n$ и при $n \rightarrow \infty$ стремятся к нулю. Это может служить обоснованием применимости метода зон Френеля к рассматриваемому случаю.
Добавив $d E_{1}$ к падающей волне, найдем полное поле в точке $A$ :
\[
\boldsymbol{E}=\left(\boldsymbol{E}_{0}-i 2 \pi k_{0} N \boldsymbol{p}_{0} d \xi\right) e^{i\left(\omega t-k_{0} x\right)}=\boldsymbol{E}_{0} e^{i\left(\omega t-k_{0} x-d \Phi\right)},
\]

где введено обозначение
\[
d \Phi=\frac{2 \pi k_{0} N p_{0}}{E_{0}} d \xi
\]

Таким образом, наличие слоя вносит дополнительное отставание по фазе $d \Phi$. Если толщина слоя $l$ конечна, то отставание по фазе будет равно
\[
\Phi=\frac{2 \pi k_{0} N p_{0}}{E_{0}} l .
\]

В этой формуле содержится принципиальное объяснение замедления фазовой скорости световой волны при ее распространении в веществе.

Для завершения расчета надо было бы найти связь между амплитудами $\boldsymbol{p}_{0}$ и $\boldsymbol{E}_{0}$. В общем случае это весьма сложная задача, так как дипольный момент атома $\boldsymbol{p}$ определяется не средним макроскопическим полем $\boldsymbol{E}$, а микроскопическим полем, действующим на атомы среды. Только для не очень плотных газов (когда $n-1 \ll 1$ ) оба поля практически совпадают. Тогда $p_{0}=\beta E_{0}$, где $\beta$ – поляризуемость атома, связанная с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и показателем преломления $n$ соотношением
\[
\varepsilon=n^{2}=1+4 \pi N \beta=1+4 \pi N p_{0} / E_{0} .
\]

Используя это соотношение, из (68.2) найдем
\[
\Phi=\frac{n^{2}-1}{2} k_{0} l \approx(n-1) k_{0} l,
\]

что совпадает с результатом феноменологического рассмотрения.
3. В феноменологической теории показатель преломления вводится с помощью макроскопических уравнений Максвелла. Последние предполагают, что в каждом элементарном объеме, линейные размеры которого малы по сравнению с длиной волны, содержится еще очень много атомов. Молекулярное рассмотрение, приведенное выше, показывает, что это условие не обязательно. Показатель преломления можно определить через сдвиг фазы, который вносит вещество, стоящее на пути световой волны. Такой сдвиг был вычислен выше в предположении, что велико число атомов во всяком элементе объема порядка $d V=2 \pi \rho d \rho d \xi$. А этому условию можно удовлетворить для сколь угодно разреженной среды, если только точку наблюдения $A$ отодвинуть от слоя $d \xi$ достаточно далеко. Так, можно говорить о показателе преломления рентгеновских лучей, хотя макроскопические уравнения Максвелла на них не распространяются. Не лишено смысла говорить о показателе преломления межпланетного и межзвездного пространства, хотя плотность вещества в нем и ничтожна (не превышает примерно одного атома в кубическом сантиметре).
4. Если бы точку наблюдения $A$ поместить перед слоем, то наше вычисление привело бы к волне, распространяющейся в противоположном направлении, т. е. к отраженной волне. Если средние межатомные расстояния меньше длины волны и атомы распределены в пространстве равномерно, то не возникнет никаких волн помимо прошедшей прямо и отраженной.

Не так будет, когда межатомные расстояния больше длины волны. Если атомы в среде распределены регулярно, например находятся в узлах кристаллической решетки, то вторичные волны, излучаемые атомами, когерентны, и будут складываться напряженности волновых полей. Условия интерференционного усиления вторичных волн могут выполняться не только в направлениях падающего и отраженного света, но и для некоторых других направлений. Возникнет дискретный ряд плоских волн, распространяющихся в различных направлениях (интерференционное рассеяние). Такой случай реализуется при дифракции коротких рентгеновских волн на кристаллической решетке. Если же атомы среды распределены в пространстве хаотически, то вторичные волны при рассмотрении бокового рассеяния ведут себя как некогерентные: складываются их интенсивности.
5. До сих пор не учитывалось тепловое движение атомов. Объясним теперь, как при наличии такового в среде может распространяться регулярная волна и как может возникнуть правильное отражение от зеркальных поверхностей твердых и жид их тел.

Рассмотрим сначала газы. Между столкновениями атомы газа движутся прямолинейно и равномерно. Из-за эффекта Допплера атомы, движущиеся с различными скоростями, излучают свет с различными частотами. Қазалось бы, что никакой интерференции при таких условиях возникнуть не может. На самом деле изменение частоты не имеет места, когда речь идет о вторичных волнах, идущих в направлении распространения света. Действительно, пусть в газе распространяется плоская монохроматическая волна с частотой $\omega$. Речь идет о частоте в системе отсчега $S$, в которой газ покоится. Рассмотрим какой-либо движущийся атом. Перейдем в систему отсчета $S^{\prime}$, в которой атом неподвижен. В системе $S^{\prime}$ частота распространяющейся плоской волны изменится и будет равна, скажем, $\omega^{\prime}$. С той же частотой в системе $S^{\prime}$ возбудятся колебания атома и будут излучаться вторичные сферические волны. При обратном переходе в систему $S$ частота $\omega^{\prime}$ излучаемой сферической волны изменится и будет зависеть от направления излучения. Только для излучения, идущего в направлении первичной волны, получится прежняя частота $\omega$, независимо от того, с какой скоростью и в каком направлении двигался атом.

Таким образом, в направлении распространения первичной волны все атомы будут излучать волны с одной и той же частотой $\omega$. С этим и связана возможность регулярного распространения света в газах. Во всех других направлениях движущиеся атомы будут посылать волны с различными частотами. Например, если атом движется в направлении света, то в обратном направлении он будет излучать волны с меньшей частотой. Если же он движется навстречу свету, то частота излучаемой волны в направлении его движения увеличится.

В твердых и жидких телах тепловое движение носит иной характер. В этих случаях атомы движутся ускоренно, и рассуждение с переходом к движущейся системе отсчета здесь неприменимо. Атомы совершают колебания около положений равновесия и тем самым модулируют поле световой волны. В результате не только сохраняются вторичные волны с прежней частотой, но возникают и волны с новыми частотами. Қ излучениям с прежними частотами применимо все сказанное выше. С ними связана возможность регулярного распространения световых волн в твердых и жидких средах, а также правильного отражения и преломления их на зеркальных поверхностях тел. Излучения же с изменившимися частотами приводят к появлению в рассеянном свете новых частот.
6. Закончим этот параграф замечанием, которое понадобится нам при выводе формул Френеля с атомистической точки зрения. Если среда однородна и неограниченна, то в ней могут распространяться дипольные колебания в виде бегущей волны
\[
\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_{0} e^{i(\omega t-k r)},
\]

где $\boldsymbol{p}$ – дипольный момент атома с радиусом-вектором $\boldsymbol{r}$. Қаждый диполь, излучая, теряет энергию. Но эта убыль энергии восполняется за счет энергии, приходящей от других диполей. Излучение других диполей создает в месте нахождения рассматриваемого диполя электрическое поле, которое поддерживает установившиеся гармонические колебания этого диполя. Таким образом, вся среда ведет себя как замкнутая система, совершающая свободные, а не вынужденные колебания без каких бы то ни было внешних воздействий. Если длина волны велика по сравнению с межатомными расстояниями, то среду можно считать сплошной и характеризовать ее состояние вектором поляризации
\[
\boldsymbol{P}=N \boldsymbol{p}=\boldsymbol{P}_{0} e^{i(\omega t-k \boldsymbol{r})},
\]

где $N$ – число атомов в единице объема.