1. Важные результаты в термодинамике излучения были получены Вильгельмом Вином (1864-1928) в 1893-1894 гг. Вин доказал, что равновесное излучение, заключенное в оболочке с идеально отражающими стенками, будет оставаться равновесным при квазистатическом сюатии или расиирении оболочки.

Для наших целей при доказательстве теоремы Вина достаточно ограничиться оболочкой сферической формы. В этом случае, ввиду сферической симметрии системы, отпадает необходимость специально доказывать, что в ходе процесса изотропия излучения все время сохраняется. Сожмем излучение квазистатически от начального объема $V_{1}$ до конечного $V_{2}$. При этом будет совершена работа против сил светового давления, и энергия излучения в оболочке увеличится. Спектральный состав излучения также изменится, из-за эффекта Допплера. Допустим, что в результате этого излучение перестанет быть равновесным. Введем внутрь оболочки в конечном состоянии бесконечно малую черную пылинку, поглощающую и излучающую свет. По истечении досгаточно длительного времени она превратит неравновесное излучение в оболочке в равновесное. Это – необратимый процесс, идущий самопроизвольно. Обратный процесс превращения равновесного излучения в неравновесное, разумеется, сам собою идти не может.

Когда излучение внутри оболочки станет равновесным, не убирая пылинку, начнем бесконечно медленно адиабатичееки расиирять оболочку, доведя объем излучения до исходного значения $V_{1}$. После этого удалим пылинку. Энергия пылинки бесконечно мала, а потому ее наличие может сказаться на общей энергии излучения в полости также бесконечно мало. С другой стороны, давление изотропного излучения зависит только от интегральной плотности энергии излучения $u$, но не от его спектрального состава. Поэтому работа, которую совершит световое давление при расширении оболочки, будет с точностью до бесконечно малой величины равна внешней работе, соверіенной над излучением при его сжатии. Отсюда следует, что в результате сжатия и последующего расширения энергия, а с ней и температура излучения не изменятся.
-Система совершила круговой процесс, в ходе которого она не получала и не отдавала тепло, а общая работа, произведенная ею, равна нулю. Значит, в окружающих телах не произошло никаких изменений, а потому рассматриваемый круговой процесс обратим. Но это невозможно, так как одна из стадий этого кругового процесса по нашему предположению необратима. Следовательно, это предположение неверно, и теорема Вина доказана.
2. Значение теоремы Вина – методическое. Действительно, адиабатически и квазистатически меняя объем равновесного излучения в оболочке с идеально зеркальными стенками, можно получить равновесное излучение произвольной плотности, а следовательно, и температуры. Энергию (и температуру) этого излучения можно найти, вычислив работу, совершенную над ним в этом процессе. Его спектральный состав найдет я, если вычислить допплеровское изменение частоты излучения при его отражении от движущейся оболочки. Тем самым будет установлено определенное соответствие между параметрами равновесного излучения в. начале процесса и на любой стадии его.

Применим этот метод к равновесному излучению в сферической оболочке с идеально зеркальными стенками. При бесконечно медленном адиабатическом расширении или сжатии оболочки .излучение в ней все время будет оставаться равновесным, так что его можно в любой момент времени характеризовать определенной температурой $T$. Выделим внутри оболочки произвольный луч, падающий на оболочку под углом $\vartheta$ (рис. 342). Время между двумя последовательными отражениями этого луча равно $\Delta t=(2 r / c) \cos \vartheta$. За это время радиус оболочки $r$ получает приращение $\Delta r=\dot{r} \Delta t$. При каждом отражении происходит допплеровское изменение частоты, определяемое формулой
\[
\frac{\Delta \omega}{\omega}=-\frac{2 \dot{r} \cos \vartheta}{c}=-\frac{2 \Delta r \cos \vartheta}{c \Delta t}=-\frac{\Delta r}{r},
\]

если пренебречь квадратом бесконечно малой радиальной скорости $\dot{r}$ расширения оболочки. Относительное изменение частоты $\Delta \omega^{\prime} \omega$ определяется только относительным изменением $\Delta r / r$ радиуса оболочки. Такая же формула получится и в том случае, когда за время изменения радиуса оболочки на $\Delta r$ произойдет не одно, а много отражений светового луча. Требуется только, чтобы выполнялось условие $\Delta r \ll r$. При бесконечно медленном расширении величины $\Delta r$ и $\Delta \omega$ можно заменить их ‘дифференциалами, т. е. написать
\[
\frac{d \omega}{\omega}+\frac{d r}{r}=0
\]

Это означает, что реальный процесс, в котором последовательные отражения отдеРис. 342 . лены друг -от друга малыми, но все же конечными промежутками времени, при расчетах заменяется идеализированной схемой, в которой эти отражения следуют друг за другом непрерывно во времени. Интегрируя уравнение (116.1), получим
\[
\omega r=\text { const. }
\]

Так как $r \sim V^{1 / 3}$, то этот результат можно записать также в виде
\[
\omega^{\mathrm{s}} V=\text { const. }
\]

В таком виде он справедлив для полости произвольной формы. А поскольку он получен для бесконечно медленного процесса, величина $\omega^{3} \mathrm{~V}$ является адиабатическим инвариантом. Комбинируя его с ранее полученными адиабатическими инвариантами (115.1) и (115.3), получим новые адиабатические инварианты. Так, из формул (115.1) и (116.3) следует
\[
\frac{\omega^{4}}{u}=\text { const, }
\]

или на основании закона Стефана – Больцмана
\[
\frac{\omega}{T}=\text { const. }
\]

Аналогично, формулы (115.3) и (116.3) дают
\[
\text { . } \frac{u_{\omega} d \omega}{\omega^{4}}=\text { const. }
\]

Таким образом, при квазистатическом расширении или сжатии равновесного излучения в полости с зеркальными стенками каждая квазимонохроматическая составляющая излучения ведет себя независимо от остальных составляющих и меняется так, что величины $\omega^{3} V, u^{\prime} \omega^{4}$ и $u_{\omega} d \omega^{\prime} \omega^{4}$ остаются постоянными, т. е. являются адйбатическими инвариантами. По теореме Вина при таком процессе излучение все время остается равновесным. Такое же излучение можно было бы получить в неподвижной оболочке, нагревая или охлаждая ее стенки. Поэтому полученные результаты можно представить как свойства только самого равновесного излучения, не связывая их ни с каким конкретным процессом. Сформулируем их следующим образом. Изменим любым способом температуру равновесного излучения от $T$ до $T^{\prime}$, чтобы излучение оставалось равновесным. Каждой частоте а излучения в начальном состоянии приведем в соответствие такую частоту $\omega^{\prime}$ в конечном состоянии, чтобы $\omega / T=$ $=\omega^{\prime} / T^{\prime} \quad и$, следовательно, $d \omega / T=d \omega^{\prime} / T^{\prime}$. Тогда плотности лучистой энергии в этих состояниях будут связаны соотношениями
\[
\begin{aligned}
\frac{u}{\omega^{4}} & =\frac{u^{\prime}}{\omega^{\prime 4}}, \\
\frac{u_{\omega} d \omega}{\omega^{4}} & =\frac{u_{\omega^{\prime}}^{\prime} d \omega^{\prime}}{\omega^{4}} .
\end{aligned}
\]

Эти результаты составляют содержание так называемого закона смещения Вина в его наиболее общей форме.
3. Из формулы (116.8) получаем
\[
u_{\omega}(\omega, T)=\frac{\omega^{4}}{\omega^{\prime 4}} \frac{d \omega^{\prime}}{d \omega} u_{\omega^{\prime}}^{\prime}\left(\omega^{\prime}, T^{\prime}\right)=\frac{T^{3}}{T^{3}} u_{\omega^{\prime}}^{\prime}\left(\frac{T^{\prime}}{T} \omega, T^{\prime}\right) .
\]

Это соотношение справедливо при любом значении температуры $T^{\prime}$, а потому величина справа от $T^{\prime}$ не зависит. Величине $T^{\prime}$ можно придать любое значение, представив полученное соотношение в виде
\[
u_{\omega}(\omega, T)=T^{3} \varphi\left(\frac{\omega}{T}\right),
\]

где $\varphi(\omega / T)$ – универсальная функция аргумента $\omega / T$. Ввиду соотношения $\omega / T=\omega^{\prime} / T^{\prime}$, тот же результат можно записать в виде
\[
u_{\omega}(\omega, T)=\omega^{3} f\left(\frac{\omega}{T}\right),
\]

где $f(\omega / T) \equiv\left(T^{\prime} / \omega^{\prime}\right)^{3} \varphi(\omega / T)$ – новая универсальная функция того же аргумента $\omega / T$. Тем самым определение универсальной функции $\boldsymbol{u}_{\omega}(\omega, T)$ двух аргументов сведено к задаче нахөждения универсальной функции $\varphi(\omega / T)$ или $f(\omega / T)$ только одного аргумента $\omega^{\prime} T$. Отсюда следует, что если известно спектральное распределение в равновесном излучении при какой-либо произвольной температуре $T^{\prime}$, то с помощью формуль (116.9) или (116.10) можно найти это распределение при всякой другой температуре $T$.

В переменных $\lambda, T$, как это следует из соотношения (112.2), формулам (116.9) и (116.10) можно придать вид
\[
\begin{array}{l}
u_{\lambda}=T^{5} \varphi_{1}(\lambda T), \\
u_{\lambda}=\frac{1}{\lambda^{5}} f_{1}(\lambda T),
\end{array}
\]

где $\varphi_{1}(\lambda T)$ и $f_{1}(\lambda T)$ – новые универсальные функции. При фиксированной температуре $T$ величина $u_{\lambda}$ становится функцией только длины волны $\lambda$. Эта функция не может возрастать монотонно, а должна иметь максимум. В противном случае интегральная плотность излучения
\[
u=\int_{0}^{\infty}\left(u_{\lambda}\right)_{T=\text { const }} d \lambda
\]

не могла бы оставаться конечной. Длину волны в максимуме обозначим через $\lambda_{m}$. Если ввести обозначение $x=\lambda T$, то для определения положения максимума получится уравнение
\[
d \varphi_{1} / d \lambda=T d \varphi_{1} / d x=0, \text { т. е. } d \varphi_{1} / d x=0 .
\]

Таким образом, при всех температурах максимум получается при одном и том же значении аргумента $x$. Отсюда следует, что $n р и$ повышении температуры максимум функции $u_{\lambda, T}=$ const смещается в сторону более коротких волн.и притом так, что выполняется соотноиение
\[
\lambda_{m} T=b=\text { const. }
\]

Измерения дают: $b=0,2898 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{K}$. Этот результат, определяющий смещение максимума излучения при изменении температуры $T$, называют законом Вина в его специальной форме. В точках максимума функции $u_{\lambda}(T)$ и $u_{\lambda^{\prime}}\left(T^{\prime}\right)$ относятся как пятые степени абсолютных температур $T$ и $T^{\prime}$.

Функция $u_{\omega}(\omega, T)$ при постоянной температуре $T$ также обращается в максимум при какой-то частоте $\omega=\omega_{m}$. Частота $\omega_{m}$ не равна $2 \pi c / \lambda_{m}$, так как речь идет о максимумах различных функций $u_{\omega}(\omega)$ и $u_{\lambda}(\lambda)$. При изменении температуры излучения положение максимума смещается, но при этом имеет место соотношение
\[
\frac{\omega_{m}}{T}=\mathrm{const},
\]

которое является другой формой закона смещения Вина (116.14).

4. Выведенный ранее закон Стефана – Больцмана является следствием общей формулы (116.9). Действительно, вводя обозначение $x=\omega / T$, из этой формулы при постоянной $T$ находим
\[
u=\int_{0}^{\infty} u_{\omega} d \omega=T^{3} \int_{0}^{\infty} \varphi\left(\frac{\omega}{T}\right) d \omega=T^{4} \int_{0}^{\infty} \varphi(x) d x=a T^{\mathbf{4}},
\]

где $\quad a \equiv \int_{0}^{\infty} \varphi(x) d x$ – универсальная постоянная.