1. В XIX веке производились многочисленные исследования зависимости интегральной лучеиспускательной способности нагретых тел от температуры, т. е. величины, которая определяет суммарную энергию всех длин волн, излучаемых телами. Эти исследования приводили к противоречивым результатам. Основная причина расхождений была окончательно выяснена после установления закона Кирхгофа, так как излучение определяется не только температурой, но также составом тела и физическими свойствами излучающей поверхности. А на эту сторону дела в экспериментальных исследованиях не обращалось должного внимания. Из эмпирически установленных законов следует отметить только результат, найденный в 1879 г. Стефаном (1835-1898). Он нашел, что для черных тел излучательная способность пропорциональна четвертой степени темnературы. Через пять лет Больцман получил этот результат теоретически из термодинамических соображений и показал, что он абсолютно верен для абсолютно черных тел. Этот результат, получивший название закона Стефана — Больцмана, был подтвержден последующими опытами по излучению абсолютно черного тела.

Вывод Больцмана и все последующие работы по теории теплового излучения существенно используют результаты Максвелла, предсказавшего и рассчитавшего давление света (см. т. II, § 61; т. III, § 145, а также задачу 2 к § 84 этого тома). Для изотропного излучения это давление равно $\mathscr{P}=1 / 3 u$, где $u$ — интегральная плотность лучистой энергии. К такому выражению должна приводить всякая релятивистская теория света, независимо от того, является ли она корпускулярной или волновой. До теории относительности этот результат, разумеется, не был известен, а результаты Максвелла не считались общепризнанными. В частности, согласно нерелятивистской корпускулярной теории должно было бы быть $\mathfrak{p}=2 / 3$, как это предсказывает кинетическая теория газов (см. т. II, § 59). Поэтому опыты П. Н. Лебедева, впервые измерившего в 1900 г. световое давление, подтвердившие результаты Максвелла, имели основополагающее значение для всей термодинамики лучистой энергии.
2. Доказательство закона Стефана — Больцмана мы проведем методом циклов, так как таким путем попутно будут получены важные соотношения, используемые в дальнейшем. Допустим, что изотропное излучение произвольного спектрального состава заключено в адиабатическую оболочку с абсолютно зеркальными стенками. Произведем над ним адиабатический квазистатический процесс, при котором объем $V$, ограниченный оболочкой, меняется бесконечно медленно. Чтобы быть уверенным, что во время этого процесса излучение все время остается изотропным, можно взять оболочку сферической формы (в следующем параграфе будет показано, что эта предосторожность является лишней). Внутренняя энергия излучения в оболочке равна $u V$. При увеличении объема оболочки на $d V$ за счет этой энергии совершается работа $\mathscr{f} d V$, так что $\mathscr{g} d V=-d(u V)$. А так как для изотропного излучения $\mathscr{f}=1 / 3$, то этому уравнению можно придать вид $4 / 3 u d V+V d u=$ $=0$. Отсюда следует, что во время процесса
\[
u V^{4 / 3}=\text { const, }
\]

или
$\mathscr{P} V^{4 / 3}=$ const.

Это — уравнение адиабаты для изотропного излучения, совершенно аналогичное уравнению адиабаты Пуассона для идеального газа. Постоянная адиабаты равна $\gamma=4 / 3$.

В силу эффекта Допплера при адиабатическом сжатии или расширении излучения должен меняться его спектральный состав. Допустим, например, что изотропное излучение занимает спектральный интервал $\omega, \omega+d \omega$. В результате отражения от движущейся стенки частота $\omega$ и ширина интервала $d \omega$ изменятся и сделаются равными $\omega^{\prime}$ и $d \omega^{\prime}$. При этом будет выполняться соотношение
\[
u_{\omega} d \omega \cdot V^{4 / 3}=u_{\omega^{\prime}}^{\prime} d \omega^{\prime} \cdot V^{\prime 4 / 3}=\text { const },
\]

где $V^{\prime}$ и $u_{\omega^{\prime}}^{\prime}$ — объем и спектральная плотность энергии излучения частоты $\omega^{\prime}$ в конце процесса.
3. Докажем теперь закон Стефана — Больцмана. Для этого произРис. 341 . ведем над черным излучением цикл Карно. Допустим, что излучение заключено в цилиндре, боковые стенки и поршень которого идеально отражающие, а дно черное и может приводиться в тепловой контакт с нагревателем температуры $T_{1}$ и холодильником температуры $T_{2}$. Излучение можно адиабатически изолировать с помощью идеально отражающей задвижки, вводимой сбоку для прикрытия черного дна цилиндра. В отсутствие задвижки, когда черное дно цилиндра приведено в тепловой контакт с нагревателем или холодильником, излучение в цилиндре, конечно, будет равновесным. Чтобы быть уверенным, что оно сохранится равновесным и во время адиабатического процесса, когда задвижка вставлена, введем внутрь цилиндра черную пылинку, роль которой была выяснена в пункте $1 \S 112$. На изотерме 1 -2 (рис. 341 ) дно цилиндра контактирует с нагревателем. Количество тепла, переданное нагревателем на этой изотерме, равно
\[
Q_{1}=u_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right)+\mathscr{P}_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right)=\frac{4}{3} u_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right) .
\]

Количество тепла, отданное холодильнику на изотерме $3-4, Q_{2}=$ $=4 / 3 u_{2}\left(V_{3}-V_{4}\right)$. По теорєме Карно
\[
\frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{u_{1}\left(V_{2}-V_{1}\right)}{u_{2}\left(V_{3}-V_{4}\right)}=\frac{T_{1}}{T_{2}} .
\]

На адиабатах $2-3$ и $4-1$ в силу (115.1) выполняются соотношения

Отсюда
\[
u_{1}^{3 / 4} V_{2}=u_{2}^{3 / 4} V_{3}, \quad u_{1}^{3 / 4} V_{1}=u_{2}^{3 / 4} V_{4} .
\]
\[
\frac{V_{2}-V_{1}}{V_{3}-V_{4}}=\left(\frac{u_{2}}{u_{1}}\right)^{3 / 4},
\]

а потому $u_{1} / T_{1}^{4}=u_{2} / T_{2}^{4} \approx$ const. Следовательно,
\[
u=a T^{4},
\]

где $a$ — универсальная постоянная. Но это есть иная форма закона Стефана — Больцмана.

Результат (115.4) можно получить короче, если к равновесному излучению применить общую термодинамическую формулу
\[
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=T\left(\frac{\partial \mathscr{P}}{\partial T}\right)_{V}-\mathscr{P} .
\]

Подставив сюда $U=V u(T), \mathscr{P}=1 / 3 u(T)$, придем к тому же дифференциальному уравнению, интегрированием которого была получена формула (115.4). Однако мы не хотели пользоваться формулой $(115.5)$.