Пусть $M$ – шейкер, наполненный несжимаемой жидкостью, состоящей на $10 \%$ из джина и на $90 \%$ из мартини (см. рис. 8.1). Предположим, что первоначально часть $A$ в $M$ занята джином. После $n$ встряхиваний $\varphi$ содержание джина в произвольном объеме $B$ шейкера будет равно
\[
\frac{\mu\left(\varphi^{n} A \cap B\right)}{\mu(A)} .
\]

Физически естественно ожидать, что после достаточно большого числа встряхиваний ( $n \rightarrow \infty$ ) доля джина в любом объеме $B$ внутри $M$ будет порядка $10 \%$.
Эта приводит к следующему определению.

Определение 8.2. Абстрактная динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) есть перемешивание, если
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \mu\left[\varphi_{t} A \cap B\right]=\mu(A) \cdot \mu(B)
\]

для любой пары измеримых множеств $A$ и $B$.

Очевидно, что динамическая система, изоморфная перемешивающей, сама обладает свойством перемешивания. Таким образом, перемешивание является инвариантным свойством динамических систем.

Следствие 8.4. Динамическая система с перемешиванием эргодична.

Доказательство.

Пусть $A$ – инвариантное измеримое множество. Полагая $B=$ $=M \backslash A$, получаем:
\[
\varphi_{t} A \cap B=A \cap B=\varnothing .
\]

С учетом соотношения (8.3) это означает, что $\mu(A) \cdot \mu(B)=0$, откуда $\mu(A)=0$ или 1.

Следующий пример показывает, что обратное неверно: эргодическая система не обязательно должна быть с перемешиванием ${ }^{3}$.

Пример 8.5. Динамическая система $M=\{x(\bmod 1)\}, \varphi=x \rightarrow x+$ $+\alpha(\bmod 1)$ эргодична, если число $\alpha$ иррационально (пример 7.8). Эта система не есть перемешивание, поскольку образом малого отрезка $A$ служит отрезок той же длины, пересечение которого с другим малым
отрезком $B$ то пусто, то положительной меры. Например, эргодические преобразования торов (примеры 1.2 и 1.15, глава 1) не могут быть перемешиванием.

Пример 8.6. Сравнение рис. 1.17, 2.4 и 8.1 наводит на предположение о том, что автоморфизм тора $T^{2}$ из примера 1.16 и схемы Бернулли являются перемешиванием. Позднее мы докажем это предположение (см. 10.5 и 10.6).

Замечание 8.7. Понятие перемешивание для динамических систем $(M, \mu, \varphi)$ можно определить и в том случае, когда $\varphi$ – эндоморфизм (см. приложение 6 ), не будучи автоморфизмом (см. приложение 14).
Замечание 8.8. Существует одно понятие, занимающее промежутное положение между понятиями эргодичности и перемешивания, которое также является инвариантом эргодических систем – понятие слабого перемешивания (см. Халмош [1]).

Мы говорим, что динамическая система ( $M, \mu, \varphi_{t}$ ) обладает свойством слабого перемешивания, если
\[
\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left|\mu\left(\varphi_{t} A \cap B\right)-\mu(A) \cdot \mu(B)\right| d t=0
\]

в непрерывном случае и
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\left|\mu\left(\varphi^{n} A \cap B\right)-\mu(A) \cdot \mu(B)\right|=0
\]

в дискретном случае для любой пары измеримых множеств $A$ и $B$. Р.В.Шакон (не опубликовано) доказал, что если система ( $M, \mu, \varphi$ ) эргодична, то существует измеримое изменение модуля скорости, которое реализует слабое перемешивание.
В. А.Рохлин [1] вводит понятие перемешивания $n$-го порядка (см. Халмош [1]) как новый инвариант динамических систем: динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) по определению есть перемешивание $n$-го порядка, если

при любом наборе измеримых множеств $A_{1}, \ldots, A_{n}$. Обычное перемешивание есть частный случай ( $n=2$ ). Остается открытым вопрос, существует ли перемешивание, которое не является перемешиванием порядка $n>2$.