Пусть $H(p, q)$ – функция Гамильтона системы с $n$ степенями свободы (следовательно, размерность фазового пространства $p, q$ равна $2 n)$. Пусть $H=h-(2 n-1)$-мерная поверхность уровня энергии, а $\Sigma: H=h, q_{1}=0$ – сечение поверхности постоянной энергии размерности $2 n-2$. Пусть $\dot{q}_{1}
eq 0$ в некоторой области $\Sigma_{0}$ поверхности $\Sigma$, и $P=\left(p_{2}, \ldots, p_{n}\right), Q=\left(q_{2}, \ldots, q_{n}\right)$ образуют систему локальных координат (см. рис. П31.1).
Рис. ПЗ31.1
Предположим, что траектория гамильтоновой системы, выходящая из точки $x_{0}$ области $\Sigma_{0}$, пересекает $\Sigma_{0}$. Тогда, принимая во внимание, что $\dot{q}_{1}
eq 0$, мы заключаем, что все близкие траектории также пересекают $\Sigma_{0}$, и тем самым получаем отображение $A: \Sigma_{1} \rightarrow \Sigma_{0}$, где $\Sigma_{1} \subseteq \Sigma_{0} \subseteq \Sigma$.

Теорема П31.2 ${ }^{1}$. Отображение $A$ каноническое, т.е. для любой замкнутой кривой $\gamma$ на $\Sigma_{1}$
\[
\begin{array}{c}
\oint_{\gamma} P d Q=\oint_{A \gamma} P d Q, \\
P d Q=p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n} .
\end{array}
\]

Доказательство.

Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из $\gamma$ в $(2 n+1)$-мерное пространстве $\{(p, q, t)\}$. Кривые $\gamma$ и $A \gamma$ – проекции в пространство $\{(p, q)\}$ двух замкнутых кривых $\gamma^{\prime}$ и $A \gamma^{\prime}$, образованных началь-
ными точками ( $t=0$ ) и конечными точками интегральных кривых $p=p(t), q=q(t)$ в пространстве $\{(p, q, t)\}$ (см. рис. П31.4).
Следовательно, согласно теореме Пуанкаре-Картана
\[
\oint_{\gamma^{\prime}} p d q-H d t=\oint_{A \gamma^{\prime}} p d q-H d t
\]

где
\[
p d q=p_{1} d q_{1}+\ldots+p_{n} d q_{n} .
\]

Но $H=$ const вдоль $\gamma^{\prime}$ и $A \gamma^{\prime}$, поэтому
\[
\oint_{\gamma^{\prime}} H d t=\oint_{A \gamma^{\prime}} H d t=0 .
\]

Далее получаем:
\[
\oint_{\gamma^{\prime}} p d q=\oint_{\gamma} p d q \quad \text { и } \oint_{A \gamma^{\prime}} p d q=\oint_{A \gamma} p d q .
\]

Кроме того, $q_{1}=$ const на $\Sigma$, поэтому
\[
\oint_{\gamma^{\prime}} p_{1} d q_{1}=\oint_{A \gamma^{\prime}} p_{1} d q_{1}=0
\]

Таким образом,
\[
\oint_{\gamma^{\prime}} p d q-H d t=\oint_{\gamma} P d Q, \quad \oint_{A \gamma^{\prime}} p d q-H d t=\oint_{A \gamma} P d Q
\]

и (П31.3) следует из (П31.5).
Теорема доказана.

Пример П31.6. Рассмотрим задачу Биркгофа о выпуклом «биллиарде».

Пусть $\Gamma$ – замкнутая выпуклая кривая на плоскости $E^{2}$. Предполагается, что материальная точка $M$ движется в области, ограниченной кривой $\Gamma$, и что соударения точки $M$ с кривой $\Gamma$ происходят по закону упругого отражения – угол падения равен углу отражения (см. рис. П31.7).

Состояние точки $M$ в момент отражения определяется двумя параметрами: углом падения $\alpha, 0 \leqslant \alpha \leqslant 2 \pi$, и точкой соударения с границей $\Gamma$. Положение точки соударения $A$ определяется алгебраической длиной $q_{2}$ дуги $\overrightarrow{O A}$ кривой $\Gamma$ ( $O$ – произвольно выбранное начало). Иначе говоря, множество состояний точки $M$ (в момент отражения) образует тор $\mathbb{T}^{2}$ в фазовом пространстве $\left\{\alpha(\bmod 2 \pi), q_{2}(\bmod L)\right\}$, где $L$ – длина кривой $\Gamma$.

Мы получаем естественное отображение $A$ подмножества этого тора на себя: состояние непосредственно после отражения от $\Gamma$ переходит в состояние непосредственно перед перед следующим соударением о Г.

Теорема П31.8 (Дж. Д. Биркгоф). Отображение А сохраняет интегральный инвариант $I=\sin \alpha d q_{2} \wedge d \alpha$.

Доказательство.

Ясно, что между двумя отображениями движение точки $M$ подчиняется уравнениям Гамильтона в соответствующем четырехмерном фазовом пространстве. Выберем в окрестности тора $\mathbb{T}^{2}$, о котором говорилось выше, особую систему координат. Каждой точке $M$ поставим в соответствие координаты $\left(q_{1}, q_{2}\right)$, где $q_{1}$ – расстояние от точки $M$ до ее ортогональной проекции на $\Gamma, q_{2}$ длина дуги $\overrightarrow{O N}$. Ясно, что в окрестности $\Gamma$ координаты $q_{1}, q_{2}(\bmod L)$ образуют систему лагранжевых координат. Пусть $p_{1}$ и $p_{2}$ – соответствующие импульсы, масса $M$ считается равной единице. Ясно, что на $\Gamma$ импульсы $p_{1}$ и $p_{2}$ совпадают с соответствующими скоростями $v$ :
\[
p_{1}=|v| \sin \alpha, \quad p_{2}=|v| \cos \alpha .
\]

Функция Гамильтона есть кинетическая энергия:
\[
H=\frac{v^{2}}{2} .
\]

Рассмотрим в четырехмерном пространств $p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}$ поверхность $\Sigma$, задаваемую уравнениями
\[
H=\frac{1}{2}, q_{1}=0 \quad(\text { т. е. }|v|=1, \quad M \in \Gamma) .
\]

Движение от одного отражения до другого определяет отображение $A: \Sigma \rightarrow \Sigma$. Координаты $p_{2}, q_{2}$ являются локальными координатами на $\Sigma(\alpha
eq 0)$. По теореме (П31.2), $A$ – каноническое отображение, следовательно, оно сохраняет 2-форму
\[
d p_{2} \wedge d q_{2}=\sin \alpha d q_{2} \wedge d \alpha,
\]

Элементарное доказательство этой теоремы приводится у Дж. Д. Биркгофа [1]; оно сопряжено с длинными вычислениями.