Определение 6.1. Временно́е среднее.

Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – динамическая система. Временным средним (если оно существует) функции $f$ на $M$ по определению называется величина
\[
f^{*}(x)=\lim _{N \rightarrow+\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} x\right), \quad x \in M, \quad n \in \mathbb{Z}^{+}
\]

в дискретном случае и величина
\[
f^{*}(x)=\lim _{T \rightarrow+\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f\left(\varphi_{t} x\right) d t, \quad x \in M, \quad t \in \mathbb{R}
\]

в непрерывном случае.

Определение 6.3. Пространственное среднее.

По определению, пространственным средним называется величина
\[
\bar{f}=\int_{M} f(x) d \mu
\]
(напомним, что $\mu(M)=1$ ).

Теорема 6.4 (Дж.Д. Биркгоф-А.Я. Хинчин ${ }^{1}$ ).

Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)-$ абстрактная динамическая система, $f \in L_{1}(M, \mu)$ – $\mu$-суммируемая комплекснозначная функция на $M$. Тогда:
а) $f^{*}(x)$ существует почти всюду (сокращенно: п.в.), т.е. всюду, за исключением, может быть, множества меры нуль;
b) $f^{*}(x)$ – $\mu$-суммируема и инвариантна п. в., т.е. $f^{*}\left(\varphi_{t} x\right)=f^{*}(x)$ при бсех $t$, за исключением, может быть, множества меры нуль, независимо от $t$;
c)
\[
\int_{M} f^{*}(x) d \mu=\int_{M} f(x) d \mu .
\]

Для дискретного случая доказательство можно найти у Халмоша [1], а для непрерывного – у Немыцкого и Степанова [1].

Замечание 6.5 . Временно́ среднее $f^{*}$ может не существовать или не быть равным пространственному среднему $\bar{f}(x)$ на множестве, всюду плотном в $M$, даже если $f$ – аналитическая функция и $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – классическая система (см. примеры 1.2 и 1.15 , а также приложение 8 ).

Замечание 6.6. При сдвигах на торе (гл. 1 , примеры 1.2 и 1.15) $f^{*}$ существует всюду, если функция $f$ непрерывна или интегрируема в смысле Римана (см. приложение 9).