Докажем, что преобразования торов (примеры 1.2 и 1.15, гл. 1) эргодичны в том и только том случае, если их орбиты всюду плотны (или: в том и только том случае, если временны́е и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду).

Пусть $M=\left\{\left(e^{2 \pi i x_{1}}, \ldots, e^{2 \pi i x_{n}}\right) \mid\left(x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}^{n}\right)\right\}$ — $n$-мерный тор, снабженный обычной мерой $\mu, \varphi$ — преобразование ${ }^{1}$ :
\[
e^{2 \pi i \mathbf{x}} \rightarrow e^{2 \pi i(\mathbf{x}+\omega)}, \quad \text { где } \omega \in \mathbb{R}^{n} .
\]

Теорема. Динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ эргодична в том и только том случае, если $\omega$ и 1 несоизмеримы: из $(k, \omega) \in \mathbb{Z}, k \in \mathbb{Z}^{n}$ следует, что $k=0 . .^{2}$

Доказательство.
Пусть $f$ — инвариантная измеримая функция. Ее коэффициенты Фурье определяются выражением
\[
a_{k}=\int_{M} e^{-2 \pi i(k, x)} f(x) d \mu .
\]

Коэффициенты Фурье функции $f(\varphi(x))$ равны
\[
b_{k}=\int_{M} e^{-2 \pi i(k, x-\omega)} \cdot f(x) d \mu=e^{2 \pi i(k, \omega)} \cdot a_{k} .
\]

Инвариантность функции $f$ эквивалентна равенствам $b_{k}=a_{k}$ при всех $k$, т.е. $a_{k}=0$ или $(k, \omega) \in \mathbb{Z}$.

Если $\omega$ и 1 несоизмеримы, то из второго случая следует, что $k=0$, и от нуля может быть отличен только коэффициент Фурье $a_{0}$. Таким

образом, функция $f$ — постоянна, и динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ эргодична (см. 7.2, гл. 2).

Если существует $k
eq 0$ такое, что $(k, \omega) \in \mathbb{Z}$, то функция $f(x)=$ $=e^{2 \pi i(k, x)}$ инвариантна и отлична от постоянной; следовательно, динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ не эргодична.