Приведенный текст содержит русский перевод книги “Эргодические проблемы классической механики” В. И. Арнольда и А. Авеца, оригинально написанной на французском языке. В ней освещаются основы эргодической теории без излишнего формализма и приводится ряд примеров из классической и небесной механики. Книга будет полезна как математикам, так и физикам – от студентов младших курсов до научных сотрудников и преподавателей.

Редакция журнала “Регулярная и хаотическая динамика”, 1999

Предисловие к английскому изданию:

Основная задача механики заключается в вычислении или качественном изучении эволюции динамической системы с заданными начальными условиями.

Численные методы позволяют вычислять траектории на конечных временных интервалах, но они неприменимы при бесконечном увеличении времени. Задача трех тел дает типичный пример: существуют ли произвольно малые возмущения начальных данных, при которых одно из тел уходит на бесконечность? На математическом языке эта задача сводится к исследованию траекторий векторного поля в фазовом пространстве. Будучи далеко не решенной, данная проблема охватывает различные области научного знания – от теории вероятностей и топологии до теории чисел и дифференциальной геометрии. Никола Бурбаки, наверняка, простит нас за смешивание такого количества областей.

Максвелл, Больцман, Гиббс и Пуанкаре впервые предложили статистическое изучение сложных динамических систем, которое сегодня известно как эргодическая теория. Однако математические определения и первые важные теоремы появились благодаря Дж. фон Нейману, Дж. Д. Биркгофу, Э. Хопфу и П. Р. Халмошу, и то в тридцатые годы прошлого века. В последние годы появилось новое направление, основанное на теории информации Шеннона. Основной результат, полученный Колмогоровым, Рохлиным, Синаем и Аносовым, основан на глубоком исследовании класса сильно стохастических динамических систем. В этот класс включаются все достаточно неустойчивые классические системы. Среди этих систем особую роль играют геодезические потоки на пространствах отрицательной кривизны. Этот случай был изучен Адамаром, Морсом, Хедлундом, Хопфом, Гельфандом, Фоминым. С другой стороны, Синай доказал, что модель Больцмана-Гиббса, которая является системой жестких сфер с упругими столкновениями, также принадлежит к этому классу, что подтверждает “эргодическую гипотезу”.

Эта книга ни в коей мере не претендует на полноту в области эргодической теории, но ссылки в ней вполне исчерпывающи.

Представленная в этой книге работа основана на лекциях, прочитанных одним из авторов весной-осенью 1965 года, который также написал главу 4. Второй автор был ответственен за доказательства в главах 1, 2 и 3.

Мы выражаем благодарность профессорам Шоке-Брюа, Х. Кабаннису и П. Герману, Дж. Ковалевскому, Дж. Рибо, Л. Шварцу, Р. Тому и М. Цернеру, которые высоко оценили эти лекции. Также мы благодарим профессора С. Мандельбройта, который предложил написать эту книгу. Конечный вариант рукописи был просмотрен Я. Синаем, который предложил внести некоторые важные изменения, за что мы ему искренне благодарны.