В этом параграфе мы будем изучать У-системы, которые обладают положительной и инвариантной мерой $\mu$. Поэтому, в отличие от предыдущего параграфа, мы ограничимся рассмотрением классических динамических систем (см. определение 1.1).

Начнем с изучения эргодических свойств автоморфизма тора из примера 13.1. Пусть $M-$ тор $\{(x, y)(\bmod 1)\}$, снабженный мерой $d \mu=d x d y, \varphi$ – автоморфизм:
\[
\varphi:\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right) \quad(\bmod 1) .
\]

Теорема 17.1. ( $(M, \mu, \varphi)$ есть $К$-система (см. определение 11.1).
Для того, чтобы доказать теорему, построим подалгебру $\mathfrak{A}$ алгебры $\widehat{1}$.

Подалгебра $\mathfrak{A} 17.2$
В плоскости $(x, y)$ матрица
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right)
\]

обладает двумя действительными положительными собственными значениями $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ :
\[
0<\lambda_{2}<1<\lambda_{1},
\]

отвечающими, соответственно, собственным направлениям $X$ и $Y$. Через вершины квадрата $0 \leqslant x, y \leqslant 1$ плоскости $(x, y)$ проведем прямые, параллельные $X$ и $Y$ (см. рис. 17.3). Эти прямые разделят квадрат $0 \leqslant x, y \leqslant 1$ на четыре треугольника $1,1^{\prime}, 2,2^{\prime}$ и параллелограмм 3 . Отождествляя противоложные стороны 1 и $1^{\prime}, 2$ и $2^{\prime}$ квадрата 3 , образуем три непересекающихся параллелограмма $\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}$ и $\mathcal{P}_{3}$ на $M$. Обозначая через $\beta$ полученное таким образом разбиение $M$, получаем:
\[
\alpha=\bigvee_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \beta \text {. }
\]

Подалгебра $\mathfrak{A}$ есть замыкание измеримой алгебры $\mathfrak{M}(\alpha)$, порожденой $\alpha$ (см. приложение 18),
\[
\mathfrak{A}=\overline{\mathfrak{M}(\alpha)}=\overline{\bigvee_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n \mathfrak{M}(\beta)} .}
\]

Лемма 17.4. Пусть $A$ – число, мажорирующее длины сторон параллелограммов $\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}, \mathcal{P}_{3}$ разбиения $\beta$. Если константа $A$ достаточно мала, то

1) Неразложимыми элементами алгебры $\mathfrak{A}$ служат отрезки, параллельные сжимающемуся собственному направлению $Y$.
2) Мера (в смысле $d x d y$ ) множества неразложимых элементов алгебры $\mathfrak{A}$, длина которых меньше 1 , не более $C \cdot 1$, где $C$ – некоторая постоянная. $B$ частности, почти каждый неразложимый элемент алгебры $\mathfrak{A}$ есть отрезок и не сводится к точке.

Доказательство.
Если $p$ – целое число, то $\varphi^{p} \mathcal{P}_{i}, i=1,2,3$ – параллелограмм, сторона которого, паралельная $X$, имеет длину меньше $\lambda_{1}^{p} A$, а сторона, параллельная $Y$, имеет длину меньше $\lambda_{2}^{p} A$. Следовательно, элементами разбиения
\[
\beta \wedge \varphi^{-1} \beta \wedge \cdots \wedge \varphi^{-n} \beta, \quad n \in \mathbb{Z}^{+}
\]

служат параллелограммы, связные компоненты которых имеют вид
\[
\mathcal{P}_{i_{0}} \cap \cdots \cap \varphi^{-n} \mathcal{P}_{i_{n}},
\]

где $i_{0}, \cdots=1,2,3$. Стороны этих параллелограммов, параллельные $X$, имеют длину меньше $\lambda_{1}^{-n} \cdot A$, а стороны, параллельные $y$, имеют длину меньше $A$. Так как $\lambda_{1}>1$, при $n \rightarrow+\infty$ мы получаем первую часть леммы. Пусть $L-$ сумма длин сторон, параллельных $X$, параллелограммов $\mathcal{P}_{1}, \mathcal{P}_{2}, \mathcal{P}_{3}$ разбиения $\beta$. Аналогичная сумма для разбиения $\varphi^{p} \beta$ равна $\lambda_{1}^{p} \cdot L$. Следовательно, аналогичная сумма для $\alpha$ мажориуется величиной
\[
L+\left(\lambda_{1}\right)^{-1} L+\left(\lambda_{1}\right)^{-2} L+\cdots=\frac{L}{1-\lambda_{1}^{-1}} \stackrel{\text { def }}{=} C .
\]

Мера множества элементов разбиения $\alpha$, стороны которых параллельны $Y$, есть величины меньше $l$ и поэтому мажорируется величиной $C \cdot l$.

Сжимающееся слоение 17.5

Рассмотрим на $M$ поле векторов длины 1 , параллельных сжимающемуся собственному направлению $Y$. Интегральные кривые этого поля называются сжимающимися слоями (см. §15). Мы говорим, что это слоение эргодичны, если любое объединение положительной меры сжимающихся слоев совпадает с $M$ почти всюду.

Лемма 17.6. Сжимаюееся слоение инварианто относительно $\varphi$ и эргодично.

Доказательство.

Инвариантность следует из инвариантности направления $Y$.
Для того, чтобы доказать эргодичность, достаточно убедиться в том, что каждый слой всюду плотен (см. приложение 11) или что он не замкнут (теорема Якоби, приложение 1). Докажем это от противного.

Если $\mathscr{F}$ – замкнутый слой длины $f$, то $\varphi^{n} \mathscr{F}-$ замкнутый (в силу инвариантности) слой, длина которого равна $\lambda_{2}^{n} f$. Поскольку $0<\lambda_{2}<1$, то, устремляя $n$ к $+\infty$, мы получаем $\lambda_{2}^{n} f \rightarrow 0$. Но это противоречит тому очевидному факту, что длина слоя больше 1.
Доказательство теоремы 17.1.
Из определения $\mathfrak{A}$ ясно, что $\mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A}$. Это – условие (а) определения 11.1 У-систем. Проверим условие ( $c$ )
\[
\overline{\bigvee_{n=0}^{\infty} \varphi_{n} \mathfrak{A}}=\widehat{1} .
\]

Достаточно доказать, что неразложимые элементы
\[
\bigvee_{n=0}^{\infty} \varphi^{n} \alpha
\]

имеют сколь угодно малую длину.
По лемме 17.4, неразложимые элементы $\alpha \wedge \cdots \wedge \varphi^{n} \alpha$ имеют вид
\[
A_{0} \cap \varphi A_{1} \cap \cdots \cap \varphi^{n} A_{n} ; \quad A_{0}, \ldots, A_{n} \in \alpha,
\]

где $A_{i}$ – отрезки, параллельные $Y$, длина которых меньше $A$. Но $\varphi$ – отображение, сжимающее в $\lambda_{2}\left(0<\lambda_{2}<1\right)$ раз в направлении $Y$, следовательно,
\[
A_{0} \cap \cdots \cap \varphi^{n} A_{0}
\]

образовано отрезками, параллельными $Y$ и имеющими длину меньше $\lambda_{2}^{n}$. Условие (c) мы получаем, устремляя $n$ к $\infty$.

Проверим условие (b). Пусть $H$ – элемент положительный меры пересечения
\[
\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A} .
\]

Это означает, что $H$ – объединение неразложимых элементов из $\alpha, \varphi^{-1} \alpha, \varphi^{-2} \alpha, \ldots$ и т. д. Пусть $\varepsilon$ – число, удовлетворяющее неравенству $0<\varepsilon<l$ такое, что
\[
C \cdot l<\varepsilon \mu(H),
\]

где $C$ – постоянная из леммы 17.4. За исключением множества $E$ меры, меньшей, чем $\varepsilon \cdot \mu(H)$, неразложимые элементы разложения $\alpha$ имеют длину, превышающую $l$. Так как $\varphi^{-1}$ сохраняет меру $d x d y$ и растягивает в $\left(\lambda_{2}\right)^{-1}$ раз в направление $Y$, мы видим, что за исключением множества $\varphi^{-n} E$ меры, меньшей, чем $\varepsilon \mu(\mathcal{H})$, неразложимые элементы разбиения $\varphi^{-n} \alpha$ имеют длину, превышающую $\left(\lambda_{2}\right)^{-n} l$. Устремляя $n$ к $\infty$, мы получаем, что за исключением множества меры, меньше $\varepsilon \mu(H), H$ состоит из сжимающих слоев.

Из произвольности числа $\varepsilon$ и эргодичности сжимающихся слоев (лемма 17.6) следует, что $\mu(H)=1$. Таким образом,
\[
\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A}=(\varnothing, M) \quad(\bmod 0) .
\]

Приведенные выше рассуждения распространяются на $C$-диффеоморфизмы самого общего вида. Деликатным вопросом является конструкция разбиения, аналогичного разбиению $\beta$, и меры площади слоев. Эту трудность устраняет теорема Аносова [2], которую мы сейчас сформулируем.

Рассмотрим расслоение риманового $n$-мерного многообразия $M$ на $p$-мерные слои. Выберем два дифференцируемых ( $n-p$ )-мерных многообразия П и $\Pi^{\prime}$ локально трансверсальных к слоям. Мы предполагаем, что если $m \in \Pi$, то слой проходит через $m$ и пересекает $\Pi^{\prime}$ в точке $m^{\prime}$, и что точка $m^{\prime}$ близка к точке $m$ в римановой метрике, индуцированной на слое. Это определяет отображение $f: \Pi \rightarrow \Pi^{\prime}$, переводящее $m$ в $m^{\prime}$.

Определение 17.7. Абсолютная непрерывность слоения. Если при любых парах многообразий $\Pi$ и $\Pi^{\prime} f$ – непрерывный обобщеный якобиан и если этот якобиан непрерывно изменяется при малых деформациях многообразия $\Pi^{\prime}$, то мы говорим, что слоение абсолютно непрерывно.

С каждой $C$-системой связаны два трансверсальных слоения $\mathscr{X}$ и $\mathscr{Y}$ (см. §15). Для этих слоений Аносов доказал следующую теорему.

Теорема 17.8. Слоения $\mathscr{X}$ и $\mathscr{Y}$ абсолютно непрерывны.
Мы не приводим здесь доказательства теоремы 17.8, которое слишком длинное. Мы только представим конечный результат, полученный с ее помощью. Рассуждения, используемые при доказательстве 17.1, обобщаются и приводят к следующим теоремам (Аносов [2]).

Теорема 17.9. Все У-системы (У-диффеоморфизмы или $У_{\text {-потоки) }}$ эргодичны.

Теорема 17.10 (см. Синай [11]). Всякий У-диффеоморфизм есть К-система.

Наоборот, пример 15.5 показывает, что для У-потока $\varphi_{t}$ могут существовать отличные от постоянных собственные функции. В этом случае $\varphi_{t}$ не может иметь лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам (см. $\S 10$ ). Следовательно, $\varphi_{t}$ не может быть $K$-потоком (см. теорему 11.5). Как показывает следущая теорема, пример 15.5 является единственным исключением.

Теорема 17.11. Пусть $\varphi_{t}$ – У-поток на $n$-мерном многообразии $M$. Тогда

1) либо $\varphi_{t}$ есть $К$-система,
2) либо $\varphi_{t}$ имеет собственную непостоянную функцию.

В последнем случае эта собственная фуннция непрерывна, и существуют ( $n-1$ )-мерное компактное подмногообразие $V$ многообразия $M$ и из $\varphi$ с помощью конструкции из замечания 13.10 (§13 гл. 3) с точностью до изменения масштаба времени $t(t \rightarrow C t, C-$ константа).

Следствие 17.12. Геодезический поток на унитарном расслоенном пространстве, касательном к компактному риманову многообразию отрицательной кривизны, есть $К$-система.

Доказательство.

По теореме Лобачевского-Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. Но, как показывает следствие II16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции ${ }^{12}$. Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах $T_{1} V$, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются $K$-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр ${ }^{13}$ (теорема 11.5, гл. 2), являются перемешиванием ${ }^{14}$ (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны ${ }^{15}$ (следствие 8.4 гл. 2).