Пусть $\mathrm{\Omega }=B^l\times {\mathbb{S}}^1$ фазовое пространство, $B^l=\{I=$ $=(I_1,\dots ,I_l)\}$ — ограниченная часть евклидова пространства ${\mathbb{R}}^l,{\mathbb{S}}^1=$ $=\{\phi (mod2\pi )\}$ — окружность, $\omega (I),F(I,\phi ),f(I,\phi )$ — дифференцируемые функции, периодические по $\phi$ :
$$F:\mathrm{\Omega }\to R^l,f:\mathrm{\Omega }\to R^1,\omega :B^l\to R^1,$$

наконец, $\epsilon ⩽1$ — малый параметр.
Теорема П30.1. Рассмотрим в $\mathrm{\Omega }$ следующие системы:
$$\{\begin{array}{l}\dot{\phi }=\omega (I)+\epsilon f(I,\phi )\\ \dot{I}=\epsilon F(I,\phi )\end{array}$$
$u$
$$\dot{J}=\epsilon \overline{F}(J),\text{ где }\overline{F}(J)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }F(J,\phi )d\phi .$$

Тогда, если $\omega (I)eq0$ в $\mathrm{\Omega }$, решения систем (П30.2) и (ПЗ0.3) с одинаковыми начальными условиями $I(0)=J(0)$ удовлетворяют неравенству
$$|I(t)-J(t)|<C\epsilon \text{ при любом }t,0⩽t⩽\frac{1}{\epsilon },$$

где $C$ — постоянная, не зависящая от $\epsilon$.
Доказательство.
Попытаемся улучшить систему (П30.2) при помощи новой переменной
$$P=P(I,\phi )=I+\epsilon g(I,\phi ),g:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^1.$$

Из (П30.2) и (П30.4) следует, что
$$\dot{P}=\epsilon F(P,\phi )+\epsilon \frac{\partial g(P,\phi )}{\partial \phi }\omega (P)+O\left({\epsilon }^2\right).$$

Чтобы уничтожить члены порядка $\epsilon$, положим
$$g(I,\phi )={\int }_0^{\phi }\frac{\overline{F}(P)-F(P,\phi )}{\omega (P)}d\phi ;$$

функция $g(I,\phi )$ вполне определена, так как
$$\omega (P)eq0\text{ и }{\int }_0^{2\pi }(\overline{F}-F)d\phi =0,$$

следовательно, $g(\phi +2\pi )=g(\phi )$.
Рис. ПЗ30.11
Система (П30.5) принимает вид
$$\dot{P}=\epsilon \overline{F}(P)+O\left({\epsilon }^2\right).$$

Пусть $P(t)$ — решение системы (П30.7) с начальными условиями
$$\begin{array}{l}P(0)=J(0)=I(0),\\ P(t)=P(I(t),\phi (t)).\end{array}$$

Из (Пз0.7) очевидным образом следует, что
$$|P(t)-J(t)|<C_1\epsilon \text{ при любом }t,0⩽t⩽\frac{1}{\epsilon }$$

Из (П30.4), (П30.6) и (ПЗ0.8) мы заключаем, что
$$|P(t)-I(t)|<C_2\epsilon \text{ при любом }t.$$

Неравенства (П30.9) и (П30.10) доказывают теорему. Они доказывают также, что истинное движение состоит из усредненного движения и малых быстрых колебаний (см. рис. ПЗ30.11).