Пусть $\Omega=B^{l} \times \mathbb{S}^{1}$ фазовое пространство, $B^{l}=\{I=$ $\left.=\left(I_{1}, \ldots, I_{l}\right)\right\}$ – ограниченная часть евклидова пространства $\mathbb{R}^{l}, \mathbb{S}^{1}=$ $=\{\varphi(\bmod 2 \pi)\}$ – окружность, $\omega(I), F(I, \varphi), f(I, \varphi)$ – дифференцируемые функции, периодические по $\varphi$ :
\[
F: \Omega \rightarrow R^{l}, \quad f: \Omega \rightarrow R^{1}, \quad \omega: B^{l} \rightarrow R^{1},
\]

наконец, $\varepsilon \leqslant 1$ – малый параметр.
Теорема П30.1. Рассмотрим в $\Omega$ следующие системы:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\omega(I)+\varepsilon f(I, \varphi) \\
\dot{I}=\varepsilon F(I, \varphi)
\end{array}\right.
\]
$u$
\[
\dot{J}=\varepsilon \bar{F}(J), \quad \text { где } \quad \bar{F}(J)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F(J, \varphi) d \varphi .
\]

Тогда, если $\omega(I)
eq 0$ в $\Omega$, решения систем (П30.2) и (ПЗ0.3) с одинаковыми начальными условиями $I(0)=J(0)$ удовлетворяют неравенству
\[
|I(t)-J(t)|<C \varepsilon \text { при любом } t, \quad 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{\varepsilon},
\]

где $C$ – постоянная, не зависящая от $\varepsilon$.
Доказательство.
Попытаемся улучшить систему (П30.2) при помощи новой переменной
\[
P=P(I, \varphi)=I+\varepsilon g(I, \varphi), \quad g: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{1} .
\]

Из (П30.2) и (П30.4) следует, что
\[
\dot{P}=\varepsilon F(P, \varphi)+\varepsilon \frac{\partial g(P, \varphi)}{\partial \varphi} \omega(P)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Чтобы уничтожить члены порядка $\varepsilon$, положим
\[
g(I, \varphi)=\int_{0}^{\varphi} \frac{\bar{F}(P)-F(P, \varphi)}{\omega(P)} d \varphi ;
\]

функция $g(I, \varphi)$ вполне определена, так как
\[
\omega(P)
eq 0 \quad \text { и } \quad \int_{0}^{2 \pi}(\bar{F}-F) d \varphi=0,
\]

следовательно, $g(\varphi+2 \pi)=g(\varphi)$.
Рис. ПЗ30.11
Система (П30.5) принимает вид
\[
\dot{P}=\varepsilon \bar{F}(P)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Пусть $P(t)$ – решение системы (П30.7) с начальными условиями
\[
\begin{array}{l}
P(0)=J(0)=I(0), \\
P(t)=P(I(t), \varphi(t)) .
\end{array}
\]

Из (Пз0.7) очевидным образом следует, что
\[
|P(t)-J(t)|<C_{1} \varepsilon \quad \text { при любом } t, \quad 0 \leqslant t \leqslant \frac{1}{\varepsilon}
\]

Из (П30.4), (П30.6) и (ПЗ0.8) мы заключаем, что
\[
|P(t)-I(t)|<C_{2} \varepsilon \quad \text { при любом } t .
\]

Неравенства (П30.9) и (П30.10) доказывают теорему. Они доказывают также, что истинное движение состоит из усредненного движения и малых быстрых колебаний (см. рис. ПЗ30.11).