Рассмотрим снова динамическую систему из примера 1.16. Пусть $M-\operatorname{тop}\{(x, y)(\bmod 1)\}$, снабженный мерой $d x d y$, автоморфизм $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi(x, y)=(x+y, x+2 y) \quad(\bmod 1) .
\]

На плоскости $(x, y)$ это линейное преобразование с матрицей $\widetilde{\varphi}=$ $=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$. Эта матрица имеет два собственных значения: $0<\lambda_{2}<1<\lambda_{1}$. Прямая:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=s, \\
y=\left(\lambda_{2}-1\right) s, \quad s \in \mathbb{R}
\end{array}\right.
\]

в плоскости $(x, y)$ инвариантна относительно $\tilde{\varphi}$. Следовательно, кривая $\gamma$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
x=s \quad(\bmod 1), \\
y=\left(\lambda_{2}-1\right) s(\bmod 1),
\end{array}\right.
\]

на торе $M$ инвариантна относительно $\varphi$.
Так как число $\lambda_{2}-1$ иррационально, кривая $\gamma$ плотна на $M$ (теорема Якоби, приложение 1). С другой стороны, если $m=(x, y)$ — точка кривой $\gamma$, то
\[
\varphi^{n}(m)=\left(\lambda_{2}^{n} x, \lambda_{2}^{n} y\right) \quad(\bmod 1) .
\]

Так как $0<\lambda_{2}<1$, имеем:
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi^{n}(m)=(0,0) .
\]

Установив это, возьмем аналитическую функцию $f(x, y)=e^{2 \pi i x}$ на $M$. Для нее выполняется равенство:
\[
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} m\right)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{2 \pi i x \lambda_{2}^{n}} .
\]

Следовательно, поскольку обычная сходимость влечет за собой сходимость в смысле Чезаро и $\lim _{n \rightarrow \infty} x \lambda_{2}^{n}=0$, получаем:
\[
\stackrel{*}{f}(m)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} m\right)=1 .
\]

Кроме того,
\[
\bar{f}=\int_{M} f(x, y) d x d y=\int_{0}^{1} e^{2 \pi i x} d x=0 .
\]

Таким образом, каким бы ни было $m$ на плотном подмножестве $\gamma$, мы получаем
\[
\stackrel{*}{f}(m)
eq \bar{f},
\]

хотя $f$ — аналитическая функция.