При создании теории движения больших планет Лагранжу [1] понадобилось вычислить среднюю угловую скорость суммы плоских векторов, имеющих постоянную длину и равномерно вращающихся:
\[
\Omega=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \operatorname{Arg} \sum_{k=1}^{n} a_{k} e^{i \omega_{k} t}, \quad \text { где } \quad t, \omega_{k} \in \mathbb{R}, \quad a_{k} \in \mathbb{C} .
\]

Рис. П113.1. Случай $n=3$ : начальные положения векторов
Теорема П13.2 (см. H. Weyl [1-5]). Предположим, что угловые скорости $\omega_{k}$ несоизмеримы, т.е. если
\[
(\omega, k)=0 u k \in \mathbb{Z}^{n}, \quad \text { mo } k=0 .
\]

Тогда среднее движение (П13.1) существует, и выражается как барицентрическое среднее угловых скоростей $\omega_{k}$ :
\[
\Omega=p_{1} \omega_{1}+\ldots+p_{n} \omega_{n}, \quad p_{k} \geqslant 0, \quad \sum p_{k}=1 .
\]

Весовые коэффициенты $p_{k}$ зависят только от длин $\left|a_{k}\right|$ векторов.
Определим функцию от $n$ положительных переменных $p\left(\alpha_{1}\right.$; $\left.\alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)$ как вероятность того, что сумма плоских векторов, имеющих постоянные длины $\alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ и ориентированных хаотически, имеет длину не менее $\alpha_{1}$ (см. приводимую ниже формулу П13.12). Тогда:
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=p\left(\left|a_{1}\right| ;\left|a_{2}\right|, \ldots,\left|a_{n}\right|\right), \\
\quad \ldots, \\
p_{n}=p\left(\left|a_{n}\right| ;\left|a_{2}\right|, \ldots,\left|a_{n-1}\right|\right) .
\end{array}
\]

В частности, при $n=3$, если можно образовать треугольник с длинами сторон $\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|,\left|a_{3}\right|$, то (формула П. Боля):
\[
\Omega=\frac{A_{1} \omega_{1}+A_{2} \omega_{2}+A_{3} \omega_{3}}{\pi},
\]

где $A_{i}$ – углы треугольника.
Случай, когда треугольник со сторонами $\left|a_{1}\right|,\left|a_{2}\right|,\left|a_{3}\right|$ не может быть построен, был рассмотрен Лагранжем [1].
В общем случае $p$ можно выразить через функции Бесселя $J_{0}$ и $J_{1}$ :
\[
p\left(\alpha_{1} ; \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\alpha_{1} \int_{0}^{\infty} J_{1}\left(\alpha_{1} \rho\right) \prod_{k=2}^{n} J_{0}\left(\alpha_{k} \rho\right) d \rho .
\]

Таким образом, соотношение $\sum p_{k}=1$ определяет «теорему сложения» для функций Бесселя.
Доказательство теоремы П13.2.
Соответствующая динамическая система П13.7
Рассмотрим динамическую систему $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$, где
\[
M=\mathbb{T}^{n}=\left\{z \mid z=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)\right\}, \quad z_{k}=e^{2 \pi i \theta_{k}} \quad \theta_{k} \in \mathbb{R}
\]
– $n$-мерный тор, снабженный мерой $d \mu=d \theta_{1} \ldots d \theta_{n}$ и $\varphi_{t}$ – группа трансляций
\[
\varphi_{t} z=\left(z_{1} e^{i \omega_{1} t}, \ldots, z_{n} e^{i \omega_{n} t}\right) .
\]

Определим на $M$ функцию:
\[
\alpha(z)=\operatorname{Arg} \sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right| z_{k}, \quad 0 \leqslant \alpha<2 \pi .
\]

Эта функция разрывна на срезе $\Sigma=\{z \mid \alpha(z)=0\}$ и не определена на так называемом сингулярном многообразии $S=\left\{z\left|\sum_{k=1}^{n}\right| a_{k} \mid z_{k}=0\right\}$, которое состоит из всех возможных состояний замкнутой $n$-звенной ломаной с заданными длинами сторон $\left|a_{k}\right|$. Тем не менее, функция
\[
\beta(z)=\left.\frac{d}{d t} \alpha\left(\varphi_{t} z\right)\right|_{t=0}
\]

аналитична вне $S$. Предел (П13.1) есть не что иное, как временно́е среднее функции $\beta$ :
\[
\left|\operatorname{Arg} \sum_{k=1}^{n} a_{k} e^{i \omega_{k} t}\right|_{t=0}^{t=T}=\int_{0}^{T} \beta\left(\varphi_{t} z\right) d t .
\]

Пространственное среднее П13.11
Система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ является эргодической для всех целочисленно несоизмеримых $\omega_{k}$ (приложение 11). Если бы функция $\beta$ была интегрируемой в смысле Римана, то ее временно́е среднее $\stackrel{*}{\beta}=\Omega$ совпадало бы с пространственным средним по теореме о равномерном распределении (приложение 9):
\[
\Omega=\bar{\beta}=\int_{M} \beta(z) d \mu .
\]

Во всяком случае из теоремы Биркгофа следует, что $\Omega=\bar{\beta}$ почти для всех начальных фаз. Исследуем пространственное среднее $\bar{\beta}$. Из (П13.9) следует, что функция $\beta$ линейно зависит от $\omega$. Следовательно, пространственное среднее $\beta$ является линейной функцией от $\omega$ :
\[
\bar{\beta}(\omega)=p_{1} \omega_{1}+\ldots+p_{n} \omega_{n} .
\]

Чтобы вычислить, например, $p_{1}$ положим
\[
\omega_{1}=2 \pi, \quad \omega_{2}=\ldots=\omega_{n}=0 .
\]

Имеем:
\[
p_{1}=\frac{1}{2 \pi} \bar{\beta}(2 \pi, 0, \ldots, 0),
\]

где
\[
\bar{\beta}(2 \pi, 0, \ldots, 0)=\int \ldots \int_{T^{n-1}}\left(\int_{0}^{1} \frac{\partial \alpha}{\partial \theta_{1}} d \theta_{1}\right) d \theta_{2} \ldots d \theta_{n}
\]

и, согласно (П13.8),
\[
\int_{0}^{1} \frac{\partial \alpha}{\partial \theta_{1}} d \theta_{1}=\left\{\begin{array}{ll}
2 \pi, & \text { если }|| a_{2}\left|e^{2 \pi i \theta_{2}}+\ldots+\right| a_{n}\left|e^{2 \pi i \theta_{n}}\right|<\left|a_{1}\right|, \\
0, & \text { если }|| a_{2}\left|e^{2 \pi i \theta_{2}}+\ldots+\right| a_{n}\left|e^{2 \pi i \theta_{n}}\right|>\left|a_{1}\right| .
\end{array}\right.
\]

Следовательно,
\[
p_{1}=p\left(\left|a_{1}\right| ;\left|a_{2}\right|, \ldots,\left|a_{n}\right|\right),
\]

где
\[
p\left(\alpha_{1} ; \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)=\operatorname{mepa}\left\{z \in \mathbb{T}^{n}|| \alpha_{2} z_{2}+\ldots+\alpha_{n} z_{n}|<| \alpha_{1} \mid\right\} .
\]

Таким образом, формула (П13.5) доказана.
Полагая $\omega_{1}=\omega_{2}=\ldots=\omega_{n}=2 \pi$, мы легко получаем $\sum p_{k}=1$.
Существование временно́го среднего П13.13
Итак, формулы (П13.4), (П13.5) доказаны для почти всех начальных фаз $\operatorname{Arg} a_{k}$. Чтобы доказать их для всех начальных фаз, Г. Вейль (H. Weyl [4], [5]) воспользовался особым приемом.
Определим на торе $M$ функцию:
$N(z)=$ алгебраччекое число точек пересечения $z_{j}$ кривой $\left\{\varphi_{t} z\right.$, $-2 \pi<t<0\}$ с аиперовертностью $\Sigma$.

Условимся засчитывать точку пересечения $z_{j}$ один раз, если $\beta\left(z_{j}\right)>0$, и минус один раз, если $\beta\left(z_{j}\right)<0$ (см. рис. П13.15).

Можно доказать, что функция $N(z)$ ограничена ${ }^{1}$. Как следует из соотношения П13.10, соотношение
\[
\left|\int_{0}^{T} \beta\left(\varphi_{t} z\right) d t-\int_{0}^{T} N\left(\varphi_{t} z\right) d t\right|<C
\]

выполняется равномерно на $\mathbb{T}^{n}$.

Рис. П13.15

Но, поскольку функция $N(z)$ кусочно непрерывна, ее временно́е среднее существует всюду и равно пространственному (приложение 9). С учетом равенства (П13.14) доказательство можно считать законченным.