Чтобы лучше понять структуру зон, расположенных между кривыми $\Gamma_{\varepsilon}$, рассмотрим неподвижные точки отображения $T_{\varepsilon}$ и его итераций. Эти точки соответствуют периодическим движениям качелей.

Эллиптические и гиперболические точки 20.1

Исключая в окрестности неподвижной точки все члены, начиная со второго порядка, получим его линейную часть, то есть дифференциал. Дифференциал канонического отображения есть каноническое линейное отображение. Линейные канонические отображения рассмотрены в приложении 27. Если это линейное отображение гиперболично (соответственно, гиперболично с отражением, эллиптично), то говорят, что неподвижная точка называется гиперболической (соответственно, гиперболической с отражением, эллиптической). Несложно показать, что гиперболические неподвижные точки неустойчивы не только для линейной части отображения, но и для всего нелинейного отображения (Адамар). Проблема устойчивости эллиптических точек известна как «проблема Биркгофа». В общем случае эллиптические точки двумерных систем являются устойчивыми (см. приложение 28).

Устойчивость верхнего положения равновесия 20.2

Рассмотрим теперь неподвижную точку $p=q=0$ отображения $T_{\varepsilon}$ из $\S 19$. При $\varepsilon=0$ отображение $T_{\varepsilon}=T$ эллиптично в нуле; действительно, линейная часть отображения $T$ представляет собой эллиптический поворот на угол $\lambda=\omega \tau=2 \pi \frac{\omega}{
u}$. Следовательно, при достаточно малом $\varepsilon$ отображение $T_{\varepsilon}$ также эллиптично при $\lambda
eq k \pi(k=1,2, \ldots)$. Иначе говоря, устойчивость может изменяться только при
\[

u \approx \frac{2 \omega}{1}, \frac{2 \omega}{2}, \frac{2 \omega}{3}, \ldots
\]

Несложные вычисления показывают, что при этих значениях (называемых значениями «параметрического резонанса», см. приложение 29 ) отображение $T_{\varepsilon}$ действительно гиперболично в точке $p=q=0$. Иначе говоря, положение свободного равновесия качелей становится неустойчивым (а качели начинают колебаться), если приседать во время целого числа полупериодов собственных колебаний. Этот вывод эмпирически хорошо известен ${ }^{5}$.

Неподвижные точки итераций отображения $T_{\varepsilon}$ : существование 20.5

Рассмотрим теперь неподвижные точки отображения $T_{\varepsilon}^{n}$. Пусть $\Gamma$ – инвариантная кривая отображения $T$, образованная неподвижными точками отображений $T^{n}$ (см. §19). Пусть
\[
\lambda(I)=2 \pi \frac{m}{n}, \quad \frac{d \lambda}{d I}
eq 0 .
\]
$n$-кратная итерация отображения $T$ возвращает каждую точку $\Gamma$ в первоначальное положение. Это свойство отображения $T$ пропадает при наложении малого возмущения ( $T \rightarrow T_{\varepsilon}$ ). Но, как было показано Пуанкаpe, при достаточно малом є отображение $T_{\varepsilon}^{n}$ имеет $2 k n$ неподвижных точек вблизи кривой Г. Действительно, рассмотрим две кривые, инвариантные относительно $T$ и близкие к $\Gamma$ : кривые $\Gamma^{+}$и $\Gamma^{-}$с углами поворота $\lambda^{+}>\lambda>\lambda^{-}$(см. рис. 20.6). Следовательно, отображение $T^{n}$ поворачивает кривую $\Gamma^{+}$в положительном направлении, а кривую $\Gamma^{-}-$ в отрицательном.

В результате это свойство сохраняется для $T_{\varepsilon}^{n}$ при достаточно малом $\varepsilon$. Следовательно, на каждом радиусе $\varphi=$ const существует точка $r(\varphi, \varepsilon)$, которая под действием отображения $T_{\varepsilon}^{n}$ смещается по радиycy:
\[
\varphi\left(T_{\varepsilon}^{n} r(\varphi, \varepsilon)\right)=\varphi .
\]

Кроме того, при достаточно малом $\varepsilon$ точки $r(\varphi, \varepsilon)$ образуют замкнутую аналитическую кривую $R_{\varepsilon}$, близкую к $\Gamma$. Напомним, что отображение $T_{\varepsilon}^{n}$ – каноническое, следовательно, оно сохраняет площадь. Это

означает, что образ $T_{\varepsilon}^{n}$ кривой $R_{\varepsilon}$ не может находиться ни внутри, ни снаружи кривой $R_{\varepsilon}$. Следовательно, $T_{\varepsilon}^{n} R_{\varepsilon}$ пересекает кривую $R_{\varepsilon}$ (см. рис. 20.7). Но поскольку $T_{\varepsilon}^{n}$ смещает каждую точку кривой $R_{\varepsilon}$ по радиусу $\varphi=\mathrm{const}$, точки пересечения $R_{\varepsilon}$ и $T_{\varepsilon}^{n} R_{\varepsilon}$ являются неподвижными точками отображения $T_{\varepsilon}^{n}$. Таким образом, существование неподвижных точек отображения $T_{\varepsilon}^{n}$ в окрестности кривой $\Gamma$ доказано.
Рис. 20.7

Неподвижные точки итераций отображения $T_{\varepsilon}$ : классификация 20.8

Рассмотрим теперь характер этих неподвижных точек: выясним, являются ли они эллиптическими или гиперболическими. При $\varepsilon=0$ все эти неподвижные точки параболические и соответствуют собственным значениям $\lambda_{12}=1$. Следовательно, при достаточно малом $\varepsilon$ выполняется $\lambda_{12} \approx 1$ и гиперболический случай с отражением невозможен.
С другой стороны, рассмотрим «радиальное смещение»
\[
\Delta(\varphi)=I\left(T_{\varepsilon}^{n} r(\varphi)\right)-I(r(\varphi)) .
\]

В неподвижных точках отображения $T_{\varepsilon}^{n}$ функция $\Delta(\varphi)$ имеет нули. В общем случае эти нули простые ( $\Delta^{\prime}=d \Delta / d \varphi
eq 0$ ). Таким образом, нули, в которых $\Delta^{\prime}>0$, чередуются с другими нулями, в которых $\Delta^{\prime}<\mathbf{0}$. Следовательно, число неподвижных точек четно.

Рассмотрим теперь векторное поле, образованное в окрестности кривой $\Gamma$ векторами с началом в точке $x$ и концом в точке $T_{\varepsilon}^{n} x$ (см. рис. 20.7). Нетрудно видеть (рис. 20.7), что индекс (приложение 27) этого поля в неподвижных точках определяется по формуле
\[
\text { Ind }=\operatorname{sign}\left(\frac{d \lambda}{d I} \cdot \frac{d \Delta}{d \varphi}\right) .
\]

Следовательно, одна половина неподвижных точек имеет индекс +1 , а другая – индекс -1 . Это означает, что одну половину составляют эллиптические неподвижные точки, а другую – гиперболические неподвижные точки (индекс эллиптической точки равен +1 , индекс гиперболической точки равен -1). Эллиптические и гиперболические неподвижные точки иллюстрируются на рис. 20.7.

Рассмотрим теперь эллиптическую неподвижную точку $T_{\varepsilon}^{n} x=x$. Траектория этой точки состоит из точек $x, T_{\varepsilon} x, T_{\varepsilon}^{2} x, \ldots, T_{\varepsilon}^{n-1} x$. Следовательно,
\[
\varphi\left(T_{\varepsilon}^{l} x\right) \approx \varphi(x)+2 \pi l \frac{m}{n} .
\]

Таким образом, все эти точки являются неподвижными точками отображения $T_{\varepsilon}^{n} x$ и эллиптичны (все они имеют те же собственные значения, что и точка $x$ ). Это означает, что множество всех эллиптических неподвижных точек разделяется на орбиты, каждая из которых состоит из $n$ точек. Пусть $k$ – число таких орбит; тогда число эллиптических точек равно $k n$, а общее число неподвижных точек, как и было отмечено в $\S 20.5$, равно $2 k n$.

Зоны неустойчивости 20.9

Рассмотрим теперь окрестности найденных выше эллиптических и гиперболических точек. Следуя В.И.Арнольду [7], каждая эллиптическая точка «общего» типа (см. также приложение 28) окружена замкнутыми кривыми, инвариантными относительно $T_{\varepsilon}^{n}$. Эти кривые образуют «островки» (см. рис ${ }^{6} \cdot 20.10$ ). Каждый островок в миниатюре воспроизводит всю структуру в целом – с кривыми $\Gamma_{\varepsilon}^{\prime}$, островками внутри этих кривых и т.д.
Рис. 20.10
Между островками и кривыми $\Gamma_{\varepsilon}$ остаются еще зоны вблизи гиперболических точек. Действительно, рассмотрим сепаратрисы гиперболических точек отображения $T_{\varepsilon}^{n}$. Можно показать ${ }^{7}$, что эти сепаратрисы гиперболических точек образуют сложную сеть, в общих чертах изображенную на рис. 20.10. Открывший ее А. Пуанкаре писал ([2], t. 3, chap. 33 , p. $389^{8}$ ):
«Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не пытаюсь изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики, в которых нет однозначного интеграла и в которых ряды Болина расходятся.»

Неизвестно, обладают ли движения в зонах неустойчивости эргодическими свойствами. Возможно, что среди эргодических составляющих встречаются системы с сингулярным спектром, а также $K$-системы.

Замечание 20.11. Заметим, что существование бесконечного числа эллиптических островков при заданном $\varepsilon \ll 1$ не следует из наших рассуждений. В силу последней геометрической теоремы Пуанкаре ${ }^{9}$, в кольце, расположенном между инвариантными кривыми $\Gamma_{\varepsilon}$, существует бесконечное число неподвижных точек отображения $T_{\varepsilon}^{n}(n \rightarrow \infty)$ с индексом +1 (см. теорему 19.10). Однако может случиться так, что некоторые из этих точек будут не эллиптическими, а гиперболическими с отражением. Численные эксперименты ${ }^{10}$, по-видимому, свидетельствуют в пользу такого вывода.

Следующие иллюстрации (рис. 20.12-20.14) заимствованы из работы Хенона и Хейлеса $[1]$; на них изображены орбиты отображения типа $T_{\varepsilon}$, вычисленные с помощью компьютера. Все точки, расположенные не на кривых, принадлежат одной-единственной траектории.

Рис. 20.12