Если $M$ – группа Ли, снабженная инвариантной слева (или справа) метрикой, то геодезический поток имеет важные приложения.

Если $M=S O(3)$ – связная составляющая единицы группы вращений трехмерного пространства $E^{3}$, то геодезический поток представляет вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Каждая орбита соответствует какому-нибудь движению.

Группа гомотетий с положительными коэффициентами и трансляций $n$-мерного аффинного пространства порождает геодезический поток ( $n+1$ )-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны.

Рассмотрим группу $S \operatorname{Diff}(\mathscr{D})$ диффеоморфизмов компактной римановой области $\mathscr{D}$, сохраняющих меру. Соответствующая алгебра состоит из векторных полей $V$ на $\mathscr{D}$, удовлетворяющих условию $\operatorname{div} V=0$. Энергия $\langle V, V\rangle=\int_{\mathscr{D}} V^{2} d x$ представляет собой положительно определенную квадратичную форму для данного векторного поля и определяет некоторую правоинвариантную римановую метрику на группе $S \operatorname{Diff}(\mathscr{D})$.

Геодезические, соответствующие этой метрике, образуют идеальный (несжимаемый и невязкий) поток на $\mathscr{D}$. Можно вычислить риманову кривизну данного бесконечномерного «многообразия» $S \operatorname{Diff}(\mathscr{D})$. Например, если $\mathscr{D}=\mathbb{T}^{2}$ – тор $\{x, y(\bmod 2 \pi)\}$ с обычной мерой, то для любого сечения, содержащего ламинарный поток вида
\[
V_{x}=\cos y, \quad V_{y}=0,
\]

кривизна неположительна.
См. также: В.И.Арнольд [1] и Л. Ауслендер, Л.Грин и Ф.Хан (L. Auslander, L. Green, F. Hahn [1]).