Определение 2.1 ${ }^{2}$. Абстрактной динамической системой $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ называется набор, состоящий из измеримого пространства $M$ с мерой $\mu$ и группы $\varphi_{t}$ автоморфизмов $\bmod 0$, сохраняющих меру
\[
\mu\left(\varphi_{t} A\right)=\mu(A)
\]

при всех $t$ и всех измеримых $A ; \varphi_{t}$ измерима на $M \times \mathbb{R}$.

В дальнейшем $(M, \mu)$ – всегда пространство Лебега без атомов, т. е. изоморфно по модулю 0 отрезку $[0,1]$, снабженному обычной мерой Лебега. В частности, $\mu(M)=1$.

Если $\varphi_{t}$ – дискретная группа, порожденная автоморфизмом $\varphi$, то такую систему мы будем обозначать $(M, \mu, \varphi)$.

В дальнейшем мы будем опускать термин $\bmod 0$. Все ранее рассмотренные системы принадлежат к числу абстрактных динамических систем. Каждое компактное риманово многообразие $M$, снабженное естественной мерой $\mu, \mu(M)=1$, изоморфно отрезку $[0,1]$.
Пример 2.2 Схема Бернулли.
Пространство $M$. Пусть $\mathbb{Z}_{n}=\{0,1, \ldots, n-1\}$ множество, элементами которого служат $n$ первых неотрицательных целых чисел; $M=\mathbb{Z}_{n}^{\mathbb{Z}}$ – прямое произведение счетного числа экземпляров множеств $\mathbb{Z}_{n}$. Тогда элементы $M$ – двусторонние бесконечные последовательности элементов $\mathbb{Z}_{n}$ :
\[
m \in M, \quad m=\ldots a_{-1}, a_{0}, a_{1}, \ldots, \quad \text { где } \quad a_{i} \in \mathbb{Z}_{n} .
\]

Измеримал $\sigma$-алгебра множества $M$. Это – $\sigma$-алгебра, порожденная множествами вида:
\[
A_{i}^{j}=\left\{m \mid a_{i}=j\right\}, \quad i \in \mathbb{Z}, \quad j \in \mathbb{Z}_{n} .
\]

Мера $\mu$. Определим нормированную меру $\mu$ на $\mathbb{Z}_{n}$, положив
\[
\mu(0)=p_{0}, \ldots, \mu(n-1)=p_{n-1}, \quad \sum p_{i}=1 .
\]

Пусть $\mu\left(A_{i}^{j}\right)=p_{j}$ при всех $i$ и $j$. Мера на $\sigma$-алгебре есть прямое произведение мер, т.е. мера пересечения различных генераторов $A_{i}^{j}$ есть произведение их мер:
\[
\mu\left\{m \mid a_{i_{1}}=j_{1}, \ldots, a_{i_{k}}=j_{k}\right\}=p_{j_{1}} \ldots p_{j_{k}}
\]

Очевидно, что $(M, \mu)$ образует пространство Лебега.
Автоморфизм $\varphi$. Это – сдвиг. Если $m=\left(\ldots, a_{i}, \ldots\right)$, то
\[
\varphi(m)=\left(\ldots, a_{i}^{\prime}, \ldots\right),
\]

где $a_{i}^{\prime}=a_{i-1}$ при всех $i$.

Ясно, что $\varphi$ – биективное отображение; чтобы доказать, что оно сохраняет меру, достаточно рассмотреть сдвиг генераторов:
\[
\varphi\left(A_{i}^{j}\right)=\left\{\varphi(m) \mid a_{i}=j\right\}=\left\{m^{\prime} \mid a_{i+1}^{\prime}=j\right\}=A_{i+1}^{j},
\]

следовательно,
\[
\mu\left[\varphi\left(A_{i}^{j}\right)\right]=\mu\left[A_{i+1}^{j}\right]=p_{j}=\mu\left(A_{i}^{j}\right) .
\]

Обозначения. Динамическая система, построенная выше, называется схемой Бернулли. Ее принято обозначать $B\left(p_{0}, \ldots, p_{n-1}\right)$.

Замечание. Случай $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ соответствует игре «орел или решка», которую исследовал Я. Бернулли. Элементами $M=\mathbb{Z}_{2}^{\mathbb{Z}}$ служат двухсторонние бесконечные последовательности исходов бросаний: 0 – орел, 1 – решка. Множество $A_{i}^{0}$ (соответственно $A_{i}^{1}$ ) представляет собой множество исходов бросаний, в котором после $i$-го бросания выпал «орел» (соответственно выпала «решка»). Поэтому естественно положить
\[
\mu\left(A_{i}^{j}\right)=\operatorname{prob}\left(A_{i}^{j}\right)=\frac{1}{2} .
\]

Пример 2.3. Преобразование пекаря. Пусть $M-$ тор $\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженый мерой $d x d y$. Автоморфизм $\varphi^{\prime}$ определяется соотношениями

Для изучения $\varphi^{\prime}$ удобно ввести индуцированное преобразование $\tilde{\varphi}^{\prime}$ в накрывающей плоскости $(x, y)$. Действие $\tilde{\varphi}^{\prime}$ можно описать следующим образом: сначала совершаем аффинное преобразование квадрата, при котором в направлении $O x$ происходит растяжение в 2 раза, а в направлении оси $O y$ – сжатие в 2 раза. Затем отрезаем правую половину от получившегося прямоугольника и помещаем ее сверху левой (см. рис. 2.4). Если $A \subset M$ и число $n$ стремится к $+\infty$, то $\varphi^{\prime n} A$ состоит из «очень большого числа» отрезков, параллельных $O x$.

Упомянем теперь о некоторых проблемах теории динамических систем.