Пусть $(M, \varphi)$ – У-система, $X_{m}$ – поле растягивающихся $k$-плоскостей, $Y_{m}$ – поле сжимающихся $k$-плоскостей.

Метрика на пространстве полей $k$-плоскостей
Определим прежде всего метрику на пространстве $k$-плоскостей, касательных в точке $m \in M$.
$T M_{m}$ есть прямая сумма $X_{m} \oplus Y_{m}$, следовательно, $k$-плоскость $U_{m}$ в $T M_{m}$ имеет уравнение
\[
y=P(p) x,
\]

где $x \in X_{m}, y \in Y_{m}$, и $P\left(U_{m}\right): X_{m} \rightarrow Y_{m}$ – линейное отображение.
Определим метрику с помощью нормы линейных отображений $P\left(U_{m}\right)$ : если $U_{m}$, и $U_{m}^{\prime}$ – две $k$-плоскости из $T M_{m}$, то положим
\[
\left|U_{m}-U_{m}^{\prime}\right|=\left\|P\left(U_{m}\right)-P\left(U_{m}^{\prime}\right)\right\|=\sup _{\substack{x \in X_{m} \\|x|<1}}\left|P\left(U_{m}\right) x-P\left(U_{m}^{\prime}\right) x\right| .
\]

Метрика в пространстве полей $k$-плоскостей $U$ определяется соотношением
\[
\left|U-U^{\prime}\right|=\sup _{m \in M}\left|U_{m}-U_{m}^{\prime}\right| .
\]

Именно в этом смысле следует понимать расстояние в неравенстве (15.3) из § 15 .

Пусть теперь $R_{1}$ и $R_{2}$ – два пространства, изоморфных $\mathbb{R}^{n}$ ( $n$ размерность многообразия $M$ ). Предположим, что $R_{i}(i=1,2)$ – прямая сумма двух подпространств $X_{i}$ и $Y_{i}$ размерностей, соответственно, $k$ и $l$ :
\[
R_{1}=X_{1} \oplus Y_{1}, \quad R_{2}=X_{2} \oplus Y_{2} .
\]

Пусть $A: R_{1} \rightarrow R_{2}$ – линейное отображение такое, что
\[
A X_{1}=X_{2}, \quad A Y_{1}=Y_{2},
\]

и
\[
\left\{\begin{array}{ll}
|A x| \geqslant \mu|x| & \text { при } x \in X_{1}, \\
|A y| \leqslant \frac{1}{\mu}|y| & \text { при } y \in Y_{1},
\end{array}\right.
\]

где $\mu$ – некоторая постоянная.

Лемма П22.2. Пусть $\mathfrak{A}$ – оператор, индуцированный отображениел $A$, который $k$-плоскостям из $R_{1}$ ставит в соответствие $k$-плоскости из $R_{2}$. Тогда в окрестности плоскости $X_{1}$
\[
\left|\mathfrak{A} U-\mathfrak{A} U^{\prime}\right| \leqslant \mu^{-2}\left|U-U^{\prime}\right| .
\]

Доказательство.
По определению имеем:
\[
\begin{aligned}
\left|\mathfrak{A} U-\mathfrak{A} U^{\prime}\right| & =\sup _{\substack{|x|<1,1 \\
x \in \mathbb{X}_{2}}}\left|P(\mathfrak{A} U) x-P\left(\mathfrak{A} U^{\prime}\right) x\right|= \\
& =\sup _{\substack{|x|<1 \\
x \in X_{2}}}\left|\mathfrak{A} P(U) \mathfrak{A}^{-1} x-\mathfrak{A} P\left(U^{\prime}\right) \mathfrak{A}^{-1} x\right| .
\end{aligned}
\]

Но, если $|x|<1$ и $x \in X_{2}$, то $A^{-1} x \in X_{1}$ и $\left|A^{-1} x\right| \leqslant \frac{1}{\mu}$; следовательно,
\[
\sup _{\substack{|x|<1 \\ x \in X_{2}}} \leqslant \sup _{\substack{|x|<\mu \\ x \in X_{1}}}
\]

и
\[
\sup _{\substack{|x|<1 \\ x \in X_{2}}}\left|\left[\mathfrak{A} P(U)-\mathfrak{A} P\left(U^{\prime}\right)\right] A^{-1} x\right| \leqslant \sup _{\substack{|x|<1 \\ x \in X_{1}}} \mu^{-1}\left|\mathfrak{A}\left[P(U)-P\left(U^{\prime}\right)\right] x\right| .
\]

Ho
\[
\left|\left(P(U)-P\left(U^{\prime}\right)\right) x\right|=\sup _{\substack{|x|<1 \\ x \in X_{1}}}\left|\left(P(U)-P\left(U^{\prime}\right)\right) x\right|=\left|U-U^{\prime}\right|,
\]

кроме того,
\[
\left(P(U)-P\left(U^{\prime}\right)\right) x \in Y_{1},
\]

следовательно,
\[
\mu^{-1}|\mathfrak{A}[P(U)-P(U)] x| \leqslant \mu^{-2}\left|\left[P(U)-P\left(U^{\prime}\right)\right] z\right| \leqslant \mu^{-2}\left|U-U^{\prime}\right| .
\]

Доказательство неравенства (15.3) из § 15 легко сводится к лемме, если принять за $R_{2}=X_{2} \oplus Y_{2}$ и $R_{1}=X_{1} \oplus Y_{1}$ касательные пространства $T M_{m}=X_{m} \oplus Y_{m}$ и $T M_{\varphi^{-n}(m)}=X_{\varphi^{-n}(m)} \oplus Y_{\varphi^{-n}(m)}$ соответственно. В качестве линейного отображения $\mathfrak{A}$ можно принять дифференциал $\left(\varphi^{*}\right)^{n}$ отображения $\varphi^{n}$. При достаточно большом $n$ неравенства (П22.1) из леммы являются следствиями аксиом У-систем.