Прежде чем формулировать результат Андронова-Понтрягина, напомним некоторые определения.

Пусть $M$ – компактная дифференцируемая поверхность, $X$ дифференцируемое векторное поле на $M$.

Простые особые точки
Особой точкой векторного поля $X$ называется точка $x_{0}$ поверхности $M$ такая, что $X\left(x_{0}\right)=0$. Если $x_{0}$ – особая точка векторного поля, то можно предположить, что $x_{0}$ совпадает с началом $(0,0)$ локальной системы координат $\left(x_{1}, x_{2}\right)$. Если $X_{1}, X_{2}$ – компоненты векторного поля $X$ в такой системе координат, то
\[
\begin{array}{l}
X_{1}(x)=a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+o\left(\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|\right), \quad x_{1}, x_{2} \rightarrow 0, \\
X_{2}(x)=a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+o\left(\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|\right), \quad x_{1}, x_{2} \rightarrow 0, \\
\end{array}
\]

где
\[
a_{i j}=\left.\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{j}}\right|_{x_{0}} .
\]

Если матрица ( $a_{i j}$ ) обладает только собственными значениями с отличными от нуля действительными частями, то особая точка $x_{0}$ называется простой.
Ясно, что это определение не зависит от системы координат.
Седлом называется простая особая точка, в окрестности которой орбиты выглядят так, как показано на рис. П23.1. Такой особой точкой служит начало координат системы
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=\lambda x_{1}, \\
\dot{x}_{2}=\mu x_{2}, \quad \lambda \mu<0 .
\end{array}\right.
\]

Простые циклы
Замкнутая орбита векторного поля $X$ называется ииклом. Цикл индекса нуль называется простым.

Сепаратрисы
Если $\gamma$ – траектория векторного поля $X, x_{0}$ – точка траектории $\gamma$, то обозначим через $\gamma_{+}\left(x_{0}\right)$ (соответственно, $\gamma_{-}\left(x_{0}\right)$ ) множество $\{x(t) \mid t \geqslant 0\}$ (соответственно, $\{x(t) \mid t \leqslant 0\}$ ), где $x(t)$ – решение системы $\dot{x}=X(x)$, удовлетворяющее условию $x(0)=x_{0}$ и соответствующее траектории $\gamma$.
Предельными множествами траектории $\gamma$ называются множества
\[
\bigcap_{x \in \gamma} \overline{\gamma_{-}(x)}, \quad \bigcap_{x \in \gamma} \overline{\gamma_{+}(x)}, \quad(\square-\text { замыкание). }
\]

Траектория $\gamma$ называется обыкновенной, если всякая траектория, выходящая из точки, принадлежащей некоторой окрестности траектории, допускает те же предельные множества, что и траектория $\gamma$. Траектория, отличная от особой точки и от обыкновенной траектории, называется сепаратрисой (см. рис. П5.1 приложение 5).

Теорема Андронова-Понтрягина. П23.2. Пусть $S^{2}$ – двумерная сфера, $X$ – дифференцируемое векторное поле на $S^{2}$.
Поле $X$ структурно устойчиво в том и только том случае, если

1) особые точки и циклы простые и число их конечно;

2) не существует сепаратрис, соединяющих два седла.

Наконец, всякое векторное поле на $S^{2}$ может быть аппроксимировано (в смысле $C^{2}$-топологии) структурно устойчивым полем. Доказательство см. в работе: De Baggis [1].