Определение 7.1. Абстрактная динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) называется эргодической, если для любой $\mu$-суммируемой комплекснозначной функции $f \in L_{1}(M, \mu)$ ее временно́е среднее равно ее пространственному среднему п. в.:
\[
f^{*}(x)=\overline{f(x)} \quad \text { п. в. }
\]

Таким образом, для эргодической системы временно́е среднее не зависит от начальной точки $x$.

Пример 7.3. Пусть $M$ – объединение двух непересекающихся множеств $M_{1}$ и $M_{2}$ положительной меры и инвариантных относительно $\varphi$ (см. рис. 7.4):
\[
\varphi M_{1}=M_{1}, \quad \varphi M_{2}=M_{2} .
\]

При этих условиях принято говорить, что система $(M, \mu, \varphi)$ разложима. Разложимая система не эргодична, поскольку, если положить
\[
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } x \in M_{1}, \\
0 & \text { при } x \in M_{2},
\end{array}\right.
\]

то временно́е среднее $f^{*}=f(x)$ зависит от $x$.
Замечание 7.5. Верно и обратное утверждение: если система $(M, \mu, \varphi)$ не эргодична, то она разложима.

Действительно, если система не эргодична, то существует функция $f$, временно́е среднее $f^{*}(x)$ которой зависит от $x$ и отлично от константы почти всюду.
Положим
\[
M_{1}=\left\{x \mid f^{*}(x)<a\right\}, \quad M_{2}=\left\{x \mid f^{*}(x) \geqslant a\right\} .
\]

При подходящем выборе $a$ справедливы неравенства
\[
\mu\left(M_{1}\right)>0, \quad \mu\left(M_{2}\right)>0 .
\]

По теореме Биркгофа временно́е среднее инвариантно относительно $\varphi$, следовательно,
\[
\varphi M_{1}=M_{1}, \quad \varphi M_{2}=M_{2},
\]

и наша система разложима.

Следствие 7.6. Абстрактная динамическая система эргодична в том и только том случае, если она неразложима, т. е. если все инвариантные измеримые множества имеют меру 0 или 1.

Приведенное выше рассуждение доказывает также, что система эргодична в том и только том случае, если любая инвариантная функция $f \in L_{1}(M, \mu)$ постоянна п. в.

Пример 7.7. Гамильтонов поток (гл. 1, теорема 1.11) никогда не бывает эргодическим, поскольку энергия $H$ – инвариантная функция. Тем не менее, геодезический поток на унитарном касательном расслоении в некоторых случаях может быть эргодическим (см. гл. 3, 17.12). Однако если $V$ обычный тор, то геодезические потоки на $T_{1} V$ неэргодичны, поскольку функция $\dot{\varphi}(1+r \cos \psi)^{2}$ является инвариантом (см. приложение 2$)^{2}$.

Пример 7.8. Вращение $\varphi: x \longrightarrow x+\alpha(\bmod 1)$ окружности $M=$ $=\{x(\bmod 1)\}$ эргодично в том и только том случае, если число $\alpha$ иррационально.

Доказательство.

Пусть сначала число $\alpha$ рационально. Положим $\alpha=p / q, p, q \in \mathbb{Z}$, $q$ положительно и взаимно просто с $p$. Поскольку функция $f(x)=e^{2 \pi i q x}$ инвариантна, отлична от константы и измерима, то система $(M, \mu, \varphi)$ не эргодична.

Теперь предположим, что число $\alpha$ иррационально. Пусть $A$ – множество с положительной мерой, инвариантное относительно $\varphi$; в дальнейшем мы докажем, что $\mu(A)=1$. Поскольку $\mu(A)>0, A$ содержит точку накопления $x_{0}$, т.е. при любом $\varepsilon>0$ найдется интервал $I=\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ (длина которого зависит от $\varepsilon$ ) такой, что
\[
\mu(A \cap I) \geqslant(1-\varepsilon) \mu(I) .
\]

Из инвариантности $A$ и $\mu$ получаем
\[
\mu\left(A \cap \varphi^{n} I\right) \geqslant(1-\varepsilon) \mu\left(\varphi^{n} I\right) .
\]

Таким образом, если $n_{1}, \ldots, n_{k}$ такие целые числа, для которых отрезки $\varphi^{n_{1}} I, \ldots, \varphi^{n_{k}} I$ не пересекаются, получаем
\[
\mu(A) \geqslant \sum_{i=1}^{k} \mu\left(A \cap \varphi^{n_{i}} I\right) \geqslant(1-\varepsilon) \mu\left(\sum_{i=1}^{k} \varphi^{n_{i}} I\right) .
\]

С другой стороны, траектории, соответствующие концам отрезка $I$, всюду плотны (см. теорему Якоби в приложении 1). Так как $\mu(I) \leqslant \varepsilon$, существуют целые числа $n_{1}, \ldots, n_{k}$, при которых множества $\varphi^{n_{1}} I, \ldots$, $\varphi^{n_{k}} I$ не пересекаются и покрывают $M$ с точностью до множества меры $2 \varepsilon$. Следовательно,
\[
\mu\left(\sum_{i=1}^{k} \varphi^{n_{i}} I\right) \geqslant 1-2 \varepsilon
\]

и
\[
\mu(A) \geqslant(1-\varepsilon)(1-2 \varepsilon) .
\]

Поскольку $\varepsilon$ произвольно, $\mu(A)=1$ и система эргодична. С помощью подобных рассуждений доказывается, что системы из примеров (1.2) и (1.15) эргодичны вследствие того, что их траектории всюду плотны (см. приложение 11).
Другие примеры см. в приложениях 12 и 13.