А. Подалгебры измеримых множеств

Пусть $(M, \mu)$ – измеримое пространство. Обозначим через $\hat{1}$ алгебру всех измеримых множеств и через $\widehat{0}$ – алгебру подмножеств меры 0 или 1 (речь всегда идет об алгебрах по модулю нуль).
Определение П17.1. Подалгебра измеримых множеств $\mathfrak{A}$ алгебры $\widehat{1}$ есть часть этой алгебры, замкнутая относительно взятия счетного объединения и перехода к дополнению:
\[
\text { из } A \in \mathfrak{A} \text { следует } M \backslash A \in \mathfrak{A},
\]

и содержит $M$.
Включение П17.2.
Пусть $\mathfrak{A}_{0}$ и $\mathfrak{A}_{1}$ – две подалгебры алгебры $\widehat{1}$. Условимся записывать
\[
\mathfrak{A}_{0} \subset \mathfrak{A}_{1},
\]

если любому элементу $A_{0} \in \mathfrak{A}_{0}$ соответствует некоторый элемент $A_{1} \in \mathfrak{A}_{1}$ такой, что $A_{0}=A_{1}(\bmod 0)$, т. е.
\[
\mu\left(\left(A_{0} \cup A_{1}\right) \backslash\left(A_{0} \cap A_{1}\right)\right)=0 .
\]

Пересечение П17.3.
Пусть $\left(\mathfrak{A}_{i}\right)_{i \in I}$ – семейство подалгебр алгебры $\hat{1}$. Обозначим через
\[
\bigcap_{i \in I} \mathfrak{A}_{i}
\]

наибольшую из подалгебр алгебры $\widehat{1}$, содержащуюся в каждой $\mathfrak{A}_{i}$.

Сумма П17.4
Аналогичным образом обозначим через
\[
\bar{\bigvee}_{i \in I} \mathfrak{A}_{i}
\]

сумму всех подалгебр алгебры $\widehat{1}$ таких, что каждая их них содержит все $\mathfrak{A}_{i}$.

Пространство $L_{2}(\mathfrak{A})$. П17.5

Пусть $\mathfrak{A}$ – подалгебра алгебры $\hat{1}$. Обозначим через $L_{2}(\mathfrak{A})$ подпространство пространства $L_{2}(M, \mu)$, порожденного характеристическими функциями $\mathscr{X}_{A}$ элементов $A \in \mathfrak{A}$.
Нетрудно проверить, что имеют место следующие свойства:
из $\mathfrak{A} \subset \mathfrak{B}$ следует, что $L_{2}(\mathfrak{A}) \subset L_{2}(\mathfrak{B})$,
\[
\begin{aligned}
L_{2}\left(\bigcap_{i \in I} \mathfrak{A}_{i}\right) & =\bigcap_{i \in I} L_{2}\left(\mathfrak{A}_{i}\right), \\
L_{2}\left(\bigvee_{i \in I} \mathfrak{A}_{i}\right) & =\overline{\bigcup_{i \in I} L_{2}\left(\mathfrak{A}_{i}\right)},
\end{aligned}
\]
$L_{2}(\widehat{0})=H_{0}-$ пространство функций, постоянных почти всюду.

В. Спектры $K$-систем
Докажем следующую теорему (см. теорему 11.5).

Теорема П17.6. $К$-система $(M, \mu, \varphi)$ имеет счетнократный лебеговский спектр.

По определению 11.1 (гл. 2), существует подалгебра $\mathfrak{A}$ алгебры $\widehat{1}$ такая, что
\[
\widehat{0}=\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A} \ldots \subset \varphi^{-1} \mathfrak{A} \subset \mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A} \subset \ldots \subset \overline{\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \ldots \varphi^{n} \mathfrak{A}}=\widehat{1}
\]

Доказательство теоремы сводится к доказательству следующих лемм.

Лемма П17.8. Пусть $U$ – унитарный оператор, индуцированный диффеоморфизмом $\varphi$. Если обозначить $H=L_{2}(\mathfrak{A})$, то
\[
\begin{aligned}
H_{0}=\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H \subset \ldots \subset U H \subset H \subset & \\
& \subset U^{-1} H \subset \ldots \subset \overline{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H}=L_{2}(M, \mu),
\end{aligned}
\]

а если обозначить временно $H \ominus H_{0}=H^{\prime}$ (ортогональное дополнение), mo
\[
\begin{aligned}
\{0\}=\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H^{\prime} & \subset \ldots \subset U H^{\prime} \subset H^{\prime} \subset \\
& \subset U^{-1} H^{\prime} \subset \ldots \subset \overline{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H^{\prime}}=L_{2}^{\prime}=L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0} .
\end{aligned}
\]

Доказательство.
Пусть $A \in \mathfrak{A}, \mathscr{X}_{A}$ – характеристическая функция элемента $A$. Тогда
\[
U \mathscr{X}_{A}(x)=\mathscr{X}_{A}(\varphi(x))=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } \varphi(x)
otin A, \\
1, & \text { если } \varphi(x) \in A,
\end{array}\right.
\]
T. e.
\[
U \mathscr{X}_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } x
otin \varphi^{-1} A, \\
1, & \text { если } x \in \varphi^{-1} A .
\end{array}\right.
\]

Следовательно,
\[
U \mathscr{X}_{A}=\mathscr{X}_{\varphi^{-1} A} .
\]

Поэтому из определения $L_{2}(\mathfrak{A})$ получаем
\[
U L_{2}(\mathfrak{A})=L_{2}\left(\varphi^{-1} \mathfrak{A}\right) .
\]

Таким образом, лемма следует из свойств П17.5.
Лемма П17.9. $Н а L_{2}^{\prime}=L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0}$ оператор $U$ имеет лебеговский спектр с кратностью, равной $\operatorname{dim}(H \ominus U H)$.

Доказательство.

Выберем в $H^{\prime} \ominus U H^{\prime}$ полный ортонормированный базис $\left\{h_{i}\right\}$. Пусть $\mathscr{H}_{i}$ – замыкание подпространства, порожденного $\left\{h_{i}, U h_{i}, \ldots\right\}$. Следовательно, по построению $U^{j} h_{i}, \mathscr{H}_{i}$ попарно ортогональны. Так как (см. предыдущую лемму) $\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H^{\prime}=\{0\}$, система $\left\{U^{j} h_{i}\right\}$ полна в $H^{\prime}$ :
\[
H^{\prime}=\oplus \sum_{i} \mathscr{H}_{i} .
\]

Установив это, запишем предыдущую лемму в виде
\[
\overline{\bigcup_{n=-\infty}^{n} U^{n} H^{\prime}}=L_{2}^{\prime},
\]

или
\[
\overline{\bigcup_{n=0}^{\infty} U^{-n} H^{\prime}}=L_{2}^{\prime} .
\]

Таким образом, с учетом (П17.10) получаем:
\[
L_{2}^{\prime}=\overline{\bigcup_{n=0}^{\infty} U^{-n}\left(\oplus \sum_{i} \mathscr{H}_{i}\right)}=\oplus \sum_{i} \overline{\bigcup_{n=0}^{\infty} U^{-n} \mathscr{H}_{i}},
\]

или, полагая
\[
H_{i}=\overline{\bigcup_{n=0}^{\infty} U^{-n} \mathscr{H}_{i}},
\]

преобразуем к виду
\[
L_{2}^{\prime}=\oplus \sum_{i} H_{i} .
\]

По формуле (П17.11), исходя из базиса $\left\{h_{i}, U h_{i}, \ldots\right\}$ в $\mathscr{H}_{i}$, построим полный ортонормированный базис в $H_{i}$ :
\[
\left\{e_{i, j} \stackrel{\text { def }}{=} U^{j} h_{i} \mid j \in \mathbb{Z}\right\},
\]

и
\[
U e_{i, j}=U\left(U^{j} h_{i}\right)=U^{j+1} h_{i}=e_{i, j+1} \quad \text { при любых } i \text { и любых } j .
\]

Итак, используя соотношение (П17.12), мы заключаем, что $U$ имеет на $L_{2}^{\prime}$ лебеговский спектр. Порядок его кратности равен числу подпространств $H_{j}$, т.е.
\[
\operatorname{dim}\left(H^{\prime} \ominus U H^{\prime}\right)=\operatorname{dim}(H \ominus U H) .
\]

Лемма П17.13.
\[
\operatorname{dim}(H \ominus U H)=\infty .
\]

Доказательство.
По лемме П17.8
\[
\ldots \leqslant \operatorname{dim} U H \leqslant \operatorname{dim} H \leqslant \operatorname{dim} U^{-1} H \leqslant \ldots
\]

Это означает, что $\operatorname{dim} H=\infty$ и что $U H
eq H$. В противном случае, начиная с некоторого $n>0$, выполнялось бы соотношение $\operatorname{dim} U^{n} H=$ $=\operatorname{dim} U^{n+1} H=\operatorname{dim}\{0\}$, т.е. $H=0$. По той же причине $\operatorname{dim} U H=\infty$.

Так как $U H
eq H$, можно найти $0
eq f \in H \ominus U H$. Обозначим $F=$ $=\{m \mid m \in M, f(m)
eq 0\}$. Поскольку $F \in \mathfrak{A}$ и $\mu(F)>0$ для $f \in L_{2}(\mathfrak{A})$, пространство
\[
L=\left\{g \mathscr{X}_{F} \mid g \in H\right\}
\]

имеет бесконечную размерность при $\operatorname{dim} H=\infty\left(\mathscr{X}_{F}\right.$ – характеристическая функция $F$ ).
Точно также, поскольку $\mu(F)>0$ и $\operatorname{dim} U H=\infty$, пространство
\[
L_{1}=\left\{g \mathscr{X}_{F} \mid g \in U H\right\}
\]

имеет бесконечную размерность. Пусть $L_{0}=L \ominus L_{1}$. Если $g \mathscr{X}_{F} \in L_{0}$ и $h \in U H$, то
\[
\left\langle g \mathscr{X}_{F} \mid h\right\rangle=\left\langle g \mathscr{X}_{F} \mid h \mathscr{X}_{F}\right\rangle=0,
\]

следовательно,
\[
L_{0} \subset H \ominus U H,
\]

и достаточно доказать, что $\operatorname{dim} L_{0}=\infty$.
Так как пространство $L_{1}$ бесконечномерно, можно выбрать последовательность линейно независимых ограниченных действительных функций $h_{1}, h_{2}, \ldots \in U H$ таких, что
\[
\mathscr{X}_{F} h_{1}, \mathscr{X}_{F} h_{2}, \ldots, \in L_{1}
\]

будут линейно независимы.