$\sigma$-алгеброй $\mathscr{B}$ на множестве $M$ называется семейство содержащихся в $M$ подмножеств, замкнутое относительно операций взятия счетного объединения и перехода к дополнению. Счетно аддитивное множество функций $\mu$ на $\mathscr{B}$ с неотрицательными значениями (возможно, бесконечными) называется мерой. Пусть $A_{i} \in \mathscr{B},\left\{A_{i}\right\}_{i \in I}$ – счетное множество, $A_{i} \cap A_{j}=\varnothing$, если $i
eq j$. Тогда
\[
\mu\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)=\sum_{i \in I} \mu\left(A_{i}\right) .
\]

Набор $(M, \mathscr{B}, \mu)$, или проще $(M, \mu)$, называется измеримым пространством; $\mathscr{B}$ – семейство измеримых множеств, $\mu$ – мера (относительно всех этих понятий см. Халмош (Halmos [2]) и Рохлин [3]).

Придадим смысл выражению «с точностью до множества меры нуль». Пусть $A, B \in \mathscr{B}$. Обозначим через $A=B(\bmod 0)$, если $\mu((A \cup B) \backslash(A \cap B))=0$. Это отношение есть отношение эквивалентности. Класс $\varnothing$ есть класс множеств меры нуль. Фактор-множество обозначим $\mathscr{B}(\bmod 0)$ – это алгебра Буля, поскольку, если
\[
A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2} \in \mathscr{B}, \quad A_{1}=A_{2} \quad(\bmod 0), \quad B_{1}=B_{2} \quad(\bmod 0),
\]

то
\[
\begin{array}{c}
A_{1} \cup B_{1}=A_{2} \cup B_{2} \quad(\bmod 0), \quad A_{1} \cap B_{1}=A_{2} \cap B_{2} \quad(\bmod 0), \\
M \backslash A_{1}=M \backslash A_{2} \quad(\bmod 0) .
\end{array}
\]

Если $A=B(\bmod 0)$, то $\mu(A)=\mu(B)$, следовательно, $\mu$ можно рассматривать как функцию на $\mathscr{B}(\bmod 0)$.

При исследовании абстрактных динамических систем множества меры нуль рассматриваются как пренебрежимо малые. Это означает, что изучение набора ( $M, \mathscr{B}, \mu$ ) заменяется исследованием набоpa $(M, \mathscr{B}(\bmod 0), \mu)$, который мы нестрого будем обозначать $(M, \mu)$,

поскольку функция $\mu$ полностью определяет $\mathscr{B}(\bmod 0)$ (но не $\mathscr{B})$. $\mathscr{B}(\bmod 0)$ называется измеримой $\sigma$-алгеброй на $(M, \mu)$.

Пусть $(M, \mu)$ и $\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ – два измеримых пространства. Гомоморфизм (измеримых пространств) $\varphi: M \rightarrow M^{\prime}$ есть сюръекция, сохраняющая меру.
Из $A^{\prime} \in \mathscr{B}^{\prime}$ следует, что
\[
\varphi^{-1}\left(A^{\prime}\right) \in \mathscr{B} \quad \text { и } \quad \mu\left(\varphi^{-1} A^{\prime}\right)=\mu^{\prime}\left(A^{\prime}\right) .
\]

Таким образом, $\varphi$ индуцирует гомоморфизм $\varphi^{-1}: \mathscr{B}^{\prime} \rightarrow \mathscr{B}$ измеримых алгебр. Если $M=M^{\prime}$, то $\varphi$ называется эндоморфизмом. Если $\varphi-$ биекция $M$ на $M^{\prime}$, то $\varphi$ называется изоморфизмом; если, кроме того, $M=M^{\prime}$, то $\varphi$ называется автоморфизмом.

Пусть $(M, \mu),\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$ – два измеримых пространства. Говорят, что отображение $\varphi: M \rightarrow M^{\prime}$ – гомоморфизм по модулю нуль, если:

a) $\varphi$ определен на всем $M$, за исключением, может быть, множества $I$ меры нуль;
b) $\varphi(M \backslash I)$ отличается от $M^{\prime}$ лишь на множестве меры нуль;
c) $\varphi$ сохраняет меру (по формуле (П6.1)).

Если $(M, \mu)=\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$, то $\varphi$ называется эндоморфизмом $(\bmod 0)$. Если отображения $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ являются гомоморфизмами $(\bmod 0)$, то $\varphi$ называется изоморфизмом $(\bmod 0)$; если при этом совпадают $(M, \mu)$ и $\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}\right)$, то $\varphi$ – автоморфизм $(\bmod 0)$.