Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – классическая система, $U_{t}$ – унитарная группа, порожденная диффеоморфизмом $\varphi_{t}$. Рассмотрим дискретную компоненту спектра $U_{t}$, это – дискретный спектр.

Динамические системы, построенные во второй части теоремы о дискретном спектре ( 9.13, гл. 2 ), являются классическими системами, если ранг ${ }^{1}$ абелевой группы собственных значений конечен.

Во всех известных примерах классических эргодических систем ранг дискретного спектра меньше или равен размерности пространства $M .^{2}$ Естественно предположить, что этот ранг всегда конечен. Вот результат, полученный в этом смысле.

Собственные функции классической системы могут быть всюду разрывны (см. пример А. Н. Колмогорова [1]), но если они непрерывны, то ранг дискретного спектра меньше или равен первому числу Бетти $b_{1}=\operatorname{dim} H_{1}(M, \mathbb{Z})$ пространства $M$. Более точно, справедлива следующая теорема.

Теорема П16.1. Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – классическая эргодическая динамическая система. Если собственные функиии индуцированной унитарной группы $U_{t}$ непрерывны, то
\[
\text { ранг дискретного спектра } \leqslant b_{1} .
\]

Ясно, что эта теорема является следствием следующей.

Теорема П16.2. Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – классическая эргодическая система. Ранг подгруппы дискретного спектра, образованного собственными значениями непрерывных собственных функций, меньше или равен $b_{1}$.

Прежде чем доказывать эту теорему, введем понятие чисел вращения.

Числа вращения П16.3

Пусть $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ – предыдущая система. Так как $M$ – компактное дифференцируемое многообразие, любой паре точек $a, b$ из $M$ можно поставить в соптветствие дифференцируемую дугу $\overparen{a b}$, длина ${ }^{3}$ которой ограничена некоторым числом $A$, не зависящим от $a$ и $b$.

Пусть, далее, $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{b_{1}}$ – образующие группы целочисленных гомологий $H_{1}(M, \mathbb{R})$. Каждый элемент $\gamma_{k}$ – это замкнутая кривая на $M$, которую можно предполагать дифференцируемой.
Рис. П16.3′
Если $\alpha=\left\{\varphi_{t} x \mid x \in M, 0 \leqslant t \leqslant T\right\}$ – отрезок траектории, то его концы связаны кривой $\beta$ из семейства $\widehat{a b}$, введенного выше. Таким образом, $\gamma(T)=\alpha \beta$ – кусочно дифференцируемая замкнутая кривая (см. рис. П16.3′). Это означает, что существуют целые числа $n_{k}(T)$ такие, что
\[
\gamma(T)=n_{1}(T) \gamma_{1}+\ldots+n_{k_{1}}(T) \gamma_{k_{1}} .
\]

Пусть $\left(\omega_{k}\right)$ – дуальный базис к $\left(\gamma_{k}\right)$ первой группы когомологий $H^{1}(M, \mathbb{R})$, т. е. замкнутых 1 -форм таких, что
\[
\int_{\gamma_{k}} \omega_{i}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } i=k, \\
0 & \text { при } i
eq k .
\end{array}\right.
\]

Имеем:
\[
\int_{\gamma(T)} \omega_{k}=n_{k}(T)
\]

или, иначе,
\[
\int_{0}^{T}\left(\dot{\gamma}, \omega_{k}\right) d t+\int_{\beta} \omega_{k}=n_{k}(T),
\]

где $\left(\dot{\gamma}, \omega_{k}\right)$ – значение 1 -формы $\omega_{k}$ на касательном векторе $\dot{\gamma}$ к потоку $\varphi_{t}$ в точке $\varphi_{t} x$. Так как длина кривой $\beta$ ограничена величиной $M$, получаем:
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{\beta} \omega_{k}=0 .
\]

С другой стороны, из эргодичности следует (7.1, гл. 2), что
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left(\dot{\gamma}, \omega_{k}\right) d t=\int_{M}\left(\dot{\gamma}, \omega_{k}\right) d \mu
\]

для почти всех начальных точек $x$, и предел не зависит от выбора точки $x$ на траектории.

Таким образом, из соотношений (П16.4), (П16.5) и (П16.6) заключаем, что предел
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{n_{k}(T)}{T}=\int_{M}\left(\dot{\gamma}, \omega_{k}\right) d \mu \stackrel{\text { def }}{=} \mu_{k}
\]

существует при почти всех $x$ и не зависит от $x$.
पисла $\sigma_{k}=e^{2 \pi i \mu_{k}}, k=1, \ldots, b_{1}$, являются образующими абелевой мультипликативной группы $\mathfrak{R}$, которая называется группой чисел вращений.
Ясно, что $\mathfrak{R}$ не зависит от базиса $\left(\gamma_{k}\right)$.
Нетрудно видеть, что $\varphi_{t}$ определяет класс вещественных гомологий
\[
\gamma=\mu_{1} \gamma_{1}+\ldots+\mu_{b_{1}} \gamma_{b_{1}}
\]

числа вращений $\mu_{k}$ определяют «гомологическое положение» траектории $\gamma$.

Введением этого понятия мы обязаны А. Пуанкаре [1], который воспользовался им при изучении дифференциальных систем на торе $\mathbb{T}^{2}$. Дальнейшие исследования систем
\[
\dot{x}=F(x, y), \quad \dot{y}=G(x, y)
\]

на торе $\mathbb{T}^{2}$ содержатся в работах А. Данжуа [1] и К. Л. Зигеля.

Доказательство теоремы П16.2 4 .
Заметим, что, по построению, ранг группы чисел вращений меньше или равен $b_{1}$, равенство достигается только в том случае, если числа вращений линейно независимы над $\mathbb{Z}$. Поэтому достаточно доказать следующую лемму.

Лемма П 16.8. Подгруппа дискретного спектра, образованная собственными числами непрерывных собственных функций, есть подгруппа группы чисел вращений.

Доказательство.
Пусть $f(x)$ – отличная от нуля непрерывная собственная функция диффеоморфизма $\varphi_{t}$ :
\[
f\left(\varphi_{t} x\right)=e^{2 \pi i \lambda t} f(x) .
\]

Функция $f$ дифференцируема по направлению $\dot{\gamma}(t)$ :
\[
\left(\dot{\gamma}(t), d f\left(\varphi_{t} x\right)\right)=2 \pi i \lambda e^{2 \pi i \lambda t} f(x),
\]

или при $t=0$ :
\[
(\dot{\gamma}, d f(x))=2 \pi i \lambda f(x) .
\]

Вследствие эргодичности системы из теоремы 9.12 (гл. 2) следует, что
\[
|f(x)|=\text { const. }
\]

Так как функция $f(x)$ непрерывна, мы заключаем, что
\[
|f(x)|=\text { const }
eq 0,
\]
т.е. с точностью до постоянной
\[
f(x)=e^{2 \pi i \psi(x)},
\]

где $\psi(x)$ – непрерывная действительная функция $\psi: M \rightarrow S^{1}$, для которой вследствие (П16.9) выполняется соотношение
\[
(\dot{\gamma}, d \psi)=\lambda .
\]

Таким образом, $d \psi$ – замкнутый поток в смысле де Рама ${ }^{5}$ и который гомологичен замкнутой дифференциальной 1-форме $[d \psi]: d \psi=$ $=[d \psi]+d h$. Следовательно, так как $\dot{\gamma}$ козамкнута ( $\varphi_{t}$ сохраняет элемент объема) и (П16.9) можно записать в виде (П16.10), имеем:
\[
\int_{M}(\dot{\gamma},[d \psi]) d \mu=\int_{M}(\dot{\gamma}, d \psi) d \mu=\lambda .
\]

С учетом II16.3 достаточно доказать, что периоды формы $[d \psi]$ целые. Пусть $\xi:[0,1] \rightarrow M$ – дифференцируемая петля в $M$. Так как форма $d \psi$ гомологична $[d \psi]$, имеем:
\[
\int_{\xi}[d \psi]=\int_{\xi} d \psi=\psi[\xi(1)]-\psi[\xi(0)] \in \mathbb{Z} .
\]

Следствие П16.10 (Арнольд [2], [3]). Пусть $V$ – компактное $p u$ маново многообразие размерности $n \geqslant 2$, не являющееся тором. Если геодезический поток на унитарном касательном расслоении $M=T_{1} V$ эргодичен, то непрерывные собственные функции – константы.

Доказательство.
По лемме П16.8 достаточно доказать, что числа вращений равны нулю. Можно показать (Gysin [1]), что при сделанных топологических предположениях каждая замкнутая не гомологичная нулю 1 -форма $\omega$ из $T_{1} V$ является поднятием замкнутой формы, не гомологичной нулю, из $V$, также обозначенному через $\omega$.
Установив это, запишем числа вращений в виде (П16.7):
\[
\mu=\int_{T_{1} V}(\dot{\gamma}, \omega) \eta \wedge \sigma
\]

где $\eta$ и $\sigma$ – элементы объема, соответственно, в $V$ и слое $S^{n-1}$.

Так как
\[
\int_{S^{n-1}} \dot{\gamma} \sigma=0,
\]

мы заключаем, что
\[
\mu=\int_{V}\left(\int_{S^{n-1}}(\dot{\gamma}, \omega) \sigma\right) \eta=\int_{V}\left(\int_{S^{n-1}} \dot{\gamma} \sigma, \omega\right) \eta=0 .
\]