Рассмотрим группу $G$ сдвигов и положительных гомотетий прямой $\{t \mid t \in \mathbb{R}\}$.
Элемент $g$ группы $G$ вида
\[
g: t \rightarrow y t+x, \quad x, y \in \mathbb{R}, y>0,
\]

можно обозначить $(x, y)$.
Если $g^{\prime} \in G$ соответствует $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, то
\[
g^{\prime}(g(t))=y(y t+x)+x^{\prime}=y^{\prime} y t+y^{\prime} x+x^{\prime} .
\]

Это доказывает, что если $\perp$ означает закон композиции группы $G$, то
\[
\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \perp(x, y)=\left(y^{\prime} x+x^{\prime}, y^{\prime} y\right) .
\]

Единичным элементом $е$ является $(0,1)$. Элементом, обратным $(x, y)$, служит $\left(-\frac{x}{y}, \frac{1}{y}\right)$.

Операция $\perp$ и переход к обратному элементу – операции дифференцируемые. Следовательно, $G$ – группа Ли, диффеоморфная полуплоскости $\{(x, y) \mid y>0\}$.

Теорема П20.1. Метрика группы $G$. Левоинвариантная метрика на группе $G$, удовлетворяющая при $x=0, y=1$ условию $d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}$, имеет вид:
\[
d s^{2}=\frac{d x^{2}+d y^{2}}{y^{2}} \text {. }
\]

Доказательство.
Обозначим через $L_{X}$ левое действие:
\[
L_{X}(U)=X \perp U, \quad X, U \in G .
\]

Если $X=(x, y), U=(u, v)$, то
\[
L_{X^{-1}}(U)=\left(\frac{u-x}{y}, \frac{v}{y}\right) .
\]

Следовательно, касательное линейное отображение $L_{X-1}^{*}$ имеет вид
\[
L_{X-1}^{*} \xi=\left(\begin{array}{ll}
y^{-1} & \xi_{1} \\
y^{-1} & \xi_{2}
\end{array}\right) \quad \text { при } \quad \xi=\left(\begin{array}{l}
\xi_{1} \\
\xi_{2}
\end{array}\right) \in T G_{X} .
\]

Установив это, определим метрику на алгебре Ли $T G_{e}$ следующим образом:
\[
\langle\varphi \mid \varphi\rangle_{e}=\left(\varphi_{1}\right)^{2}+\left(\varphi_{2}\right)^{2}, \quad \varphi=\left(\begin{array}{l}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2}
\end{array}\right) \in T G_{e} .
\]

В каждой точке $X$ из $G$ это определяет левоинвариантную метрику, если положить
\[
\langle\xi \mid \xi\rangle_{X}=\left\langle L_{X-1}^{*} \xi \mid L_{X-1}^{*} \xi\right\rangle .
\]

Следовательно, из соотношений (П20.2) получаем:
\[
\langle\xi \mid \xi\rangle_{X}=\frac{\left(\xi_{1}\right)^{2}+\left(\xi_{2}\right)^{2}}{y^{2}} \quad \text { при } \quad X=(x, y) \in G .
\]

Таким образом, метрика $d s^{2}$ имеет вид:
\[
d s^{2}=\frac{d x^{2}+d y^{2}}{y^{2}} .
\]

Определение П20.4. Полуплоскость $\{(x, y) \mid y>0\}$, снабженная метрикой (П20.3), называется плоскостью Лобачевского.

Глобальная система координат ( $x, y$ ) называется моделью Пуанкаре геометрии Лобачевского.

Условимся представлять точку $(x, y)$ плоскости Лобачевского комплексным числом $z=x+i y$.

Теорема П20.5. Изометрии группы $G$.
Симметрия $(x, y) \rightarrow(-x, y)$ и гомографии
\[
z \rightarrow z^{\prime}=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}, \quad a d-b c=1,
\]

являются изометриями метрики (П20.3).

Доказательство сводится к простым вычислениям, если заметить, что
\[
d s^{2}=\frac{-4 d z d \bar{z}}{(z-\bar{z})^{2}}, \quad \text { где } \quad \bar{z}=x-i y .
\]

Теорема П20.7. Углы метрики (П20.3) совпадают с углами евклидовой метрики.

Доказательство.
Величина
\[
\frac{d x^{2}+d y^{2}}{y^{2}}
\]

пропорциональна $d x^{2}+d y^{2}$.

Теорема П20.8. Геодезические. Геодезические метрики (П20.3) полупрямые, параллельные $O y: x_{0}, y>0$, и полуокружности с центрами на Ох. В частности, существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две заданные точки.

Доказательство.
По теореме П20.5, симметрия $x \rightarrow-x$ сохраняет метрику. Поскольку эта симметрия сохраняет также полупрямую $x=0, y>0$, эта полупрямая – геодезическая.

Образ геодезической $x=0, y>0$ под действием изометрии (п20.6) есть геодезическая. Таким образом, получаются все полуокружности с центрами на оси $O x$ и все полупрямые $x=x_{0}, y>0$. Этими полуокружностями и полупрямыми исчерпываются все геодезические, так как для любого вектора полуплоскости всегда существует полуокружность с центром на оси $O x$ (или полупрямая, параллельная оси $O y$ ), касательная к этому вектору.
Теорема П20.9. Кривизна. Полная кривизна метрики (П20.3) постоянна и равна -1 .
Доказательство.
Инвариантность метрики относительно преобразований (П20.6) доказывает, что кривизна $K$ постоянна.

Если $A B C=\Delta$ – геодезический треугольник, то по теореме Гаусса-Бонне
\[
\angle A+\angle B+\angle C=\pi+\iint_{\Delta} K d \sigma=\pi+K \times(\text { площадь треугольника } \Delta) .
\]

Выберем заштрихованный треугольник в качестве геодезического (рис. П20.10)
Его углы равны нулю, гиперболический элемент площади равен
\[
d \sigma=\frac{d x d y}{y^{2}}
\]

следовательно,
\[
\text { площадь } A B C=2 \int_{0}^{r} d x \int_{r \sin \theta}^{\infty} \frac{d y}{y^{2}}=\pi .
\]

Таким образом, $K=-1$.

Теорема П20.11. Асимптотические геодезические. Пусть $\gamma(\mathbf{u}, t)=\gamma(t)$ – геодезическая, параметризованная длиной своей дуги, $g$ – точка полуплоскости. Тогда

1) через точки $g$ и $\gamma\left(t_{1}\right)$ проходит геодезическая и притом только одна;
2) при $t_{1} \rightarrow+\infty$ (соответственно, при $t_{1} \rightarrow-\infty$ ) эта геодезическая стремится к предельному положению;
3) это предельное положение есть геодезическая, проходящая через точку g и пересечение $\gamma(+\infty)$ (соответственно, $\gamma(-\infty)$ ) кривой $\gamma$ с осью Ох. Эта геодезическая называется геодезической, положительно (соответственно, отрицательно) асимптотической $\kappa \gamma$.

Доказательство.
Пусть $\gamma\left(t_{1}\right)$ – точка кривой $\gamma$. Через $g$ и $\gamma\left(t_{1}\right)$ проходит окружность, имеющая единственный центр на оси $O x$ (в пределе эта окружность вырождается в прямую, паралельную оси $O y$ ). По теореме П20.8, это доказывает утверждение 1.
Рис. П20.12
Из формулы (П20.3) для метрики видно, что при $t_{1} \rightarrow+\infty$ (соответственно, при $\left.t_{1} \rightarrow-\infty\right) \gamma\left(t_{1}\right)$ стремится к оси $O x$, т.е. к пересечению $\gamma(+\infty)$ (соответственно, $\gamma(-\infty)$ ) геодезической $\gamma$ с осью $O x$ (см. рис. П20.12). Это делает очевидным остальную часть теоремы. Таким образом, геодезические, положительно асимптотические к $\gamma(t)$, являются полуокружностями с центрами на оси $O x$ и полупрямыми, параллельные оси $O y$, проходящие через $\gamma(+\infty)$.
Определение П20.13. Орициклы ${ }^{1}$. Траектории, ортогональные по-

ложительной (соответственно, отрицательной) асимптотике геодезической $\gamma$, называются положительными (соответственно, отрицательными) орициклами геодезической $\gamma$.

Теорема П20.14. Орициклами служат окружности, касательные (сверху) к $y=0$, и прямые $y=$ const $>0$.
Доказательство.
Найдем (для определенности) положительные орициклы геодезической $\gamma$.

По определению П20.13 и теореме П20.11, это – траектории, ортогональные полуокружностям, проходящим через $\gamma(+\infty)$ с центрами на оси $O x$ (и расположенным над ней).
Инверсия с полюсом $\gamma(+\infty)=(0, a)$ :
\[
x+i y-a \rightarrow \frac{-1}{x-i y-a}
\]

преобразует эти полуогружности в полупрямые
\[
y<0, \quad x=\text { const. }
\]

Траекториями, ортогональными этим полупрямым, служат прямые, параллельные оси $O x$ :
\[
y=\text { const }<0 .
\]

Но наша инверсия есть инволюция, сохраняющая углы, и евклидовы углы равны римановым углам (теорема П20.7). Поэтому образами прямых (П20.15) относительно нашей инверсии служат искомые ортогональные траектории: это окружности, проходящие через $\gamma(+\infty)$, касательные к оси $O x$ и расположенные над осью $O x$ (см. рис. П20.12).

Теорема П20.16. Римановы окружности. Орициклами служат римановы окружности бесконечного радиуса с центрами на бесконечности.

Доказательство.

Рассмотрим все геодезические, проходящие через точку $m$ : это семейство полуокружностей, проходящих через точку $m$ и ортогональных оси $O x$ (теорема ПІ20.8).

Их траектории, ортогональные в римановом (или евклидовом, см. теорему П20.7) смысле, имеют вид римановых окруяностей с центром в точке $m$. Это – окружности пучка с точками Понселе $m$ и $m^{\prime}$ (точка $m^{\prime}$ симметрична точке $m$ относительно оси $O x$ ). В частности, степень точки оси $O x$ относительно одной из этих окружностей равна $\frac{1}{4}\left(m m^{\prime}\right)^{2}$.

Рис. П20.17

Установив это, рассмотрим риманову окружность, проходящую через неподвижную точку $n$ геодезической $\gamma$ и центр $m$ на геодезической $\gamma$ (см. рис. П20.17). Если точка $m$ удаляется в бесконечность по $\gamma$, т. е. стремится к $O x$, то $m m^{\prime} \rightarrow 0$. Следовательно, степень точки оси $O x$ относительно нашей окружности стремится к нулю. Таким образом, наша окружность в пределе переходит в окружность, касающуюся оси $O x$ в точке $\gamma(+\infty)$ и проходящую через точку $n$, т.е. в орицикл (теорема П20.16). Наоборот, ясно, что таким образом получаются все орициклы.
Теорема П20.18. Пусть $\gamma(\boldsymbol{u}, t) u \gamma^{\prime}\left(\boldsymbol{u}^{\prime}, t^{\prime}\right)$ – две взаимно асимптотические геодезические, параметризованные дугой $t$. При подходящем выборе начала отсчета на $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ имеем:
\[
d\left(\gamma(t), \gamma^{\prime}(t)\right) \leqslant a e^{-t}, \quad t \geqslant 0,
\]

где $d$ – риманово растояние между точками геодезических $\gamma(t)$ $u \gamma^{\prime}\left(t^{\prime}\right), a$ – постоянная, не зависящая от $t$.

Доказательство.
Выберем начала отсчета $n$ на геодезической $\gamma$ и $n^{\prime}$ – на геодезической $\gamma^{\prime}$ на одном и том же орицикле (см. рис. П20.19). Если $m$ и $m^{\prime}-$ точки пересечения геодезических $\gamma$ и $\gamma^{\prime}$ с орициклом 2 , то дуги $\overrightarrow{n m}$ и $\overrightarrow{n^{\prime} m^{\prime}}$ равны (1 и 2 – параллельные кривые). Пусть
\[
\overrightarrow{n m}=\overrightarrow{n^{\prime} m^{\prime}}=t
\]

Вычислим $\overrightarrow{m m^{\prime}}$ на орицикле 2. Уравнение орицикла 2 имеет вид:
\[
x=r \sin u, \quad y=r+r \cos u,
\]

откуда, используя соотношение для $d s^{2}$, получаем:
\[
\overrightarrow{m m^{\prime}}=\int_{m}^{m^{\prime}} \frac{\sqrt{d x^{2}+d y^{2}}}{y}=\int_{m}^{m^{\prime}} \frac{d u}{1+\cos u}=\operatorname{tg} \frac{u_{m^{\prime}}}{2}-\operatorname{tg} \frac{u_{m}}{2} .
\]

Точно также на орицикле 1 имеем:
\[
\overrightarrow{n n^{\prime}}=\operatorname{tg} \frac{u_{n^{\prime}}}{2}-\operatorname{tg} \frac{u_{n}}{2} .
\]

Аналогичные вычисления показывают, что
\[
\begin{array}{c}
t=\overrightarrow{n m}=\log \left|\operatorname{tg} \frac{u_{n}}{2}\right|-\log \left|\operatorname{tg} \frac{u_{m}}{2}\right|, \\
t^{\prime}=\overrightarrow{n^{\prime} m^{\prime}}=\log \left|\operatorname{tg} \frac{u_{n^{\prime}}}{2}\right|-\log \left|\operatorname{tg} \frac{u_{m^{\prime}}}{2}\right| .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
e^{t}=\frac{\operatorname{tg} \frac{u_{n}}{2}}{\operatorname{tg} \frac{u_{m}}{2}}=\frac{\operatorname{tg} \frac{u_{n^{\prime}}}{2}}{\operatorname{tg} \frac{u_{m^{\prime}}}{2}}=\frac{\operatorname{tg} \frac{u_{n^{\prime}}}{2}-\operatorname{tg} \frac{u_{n}}{2}}{\operatorname{tg} \frac{u_{m^{\prime}}}{2}-\operatorname{tg} \frac{u_{m}}{2}}=\frac{\overrightarrow{n n^{\prime}}}{\overrightarrow{m m^{\prime}}}, \\
\overrightarrow{m m^{\prime}}=\overrightarrow{n n^{\prime}} \cdot e^{-t} \text {. } \\
\end{array}
\]

Но риманово расстояние $d\left(m, m^{\prime}\right)$ меньше или равно длине дуги $\overrightarrow{m m^{\prime}}$, поэтому
\[
d\left(m, m^{\prime}\right) \leqslant \overrightarrow{n n^{\prime}} \cdot e^{-t} .
\]

Обобщение П20.20
Очевидное обобщение мы получим, снабдив полупространство $x_{n}>0$ пространства $\mathbb{R}^{n}$ метрикой
\[
d s^{2}=\frac{\left(d x_{1}\right)^{2}+\ldots+\left(d x_{n}\right)^{2}}{\left(x_{n}\right)^{2}} .
\]

Это – пространство Лобачевского постоянной кривизны, равной -1 . Орициклы представляют собой ( $n-1$ )-мерные многообразия, а именно: евклидовы плоскости $x_{n}=C$ и евклидовы сферы, касательные к плоскости $x_{n}=0$ и расположенные под плоскостью $x_{n}=0$.