Определение 1.1. Классическая динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ это набор, состоящий из гладкого многообразия $M$, меры $\mu$ на $M$ с непрерывной положительной плотностью и однопараметрической группы $\varphi_{t}$ диффеоморфизмов многообразия $M$, сохраняющих меру:
\[
\mu(A)=\mu\left(\varphi_{t} A\right) \text { при всех } t \text { и всех измеримых } A .
\]

Параметр $t$ – действительное или целое число: $t \in \mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$. Если $t \in \mathbb{R}$, то группа $\varphi_{t}$ определяется в локальных координатах соотношениями:
\[
\dot{x}^{i}=f^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right), \quad i=1, \ldots, n, \quad n=\operatorname{dim} M .
\]

Если $t \in \mathbb{Z}$, то $\varphi_{t}$ – дискретная группа, порожденная сохраняющим меру диффеоморфизмом $\varphi=\varphi_{1}$. Такую систему принято обозначать $(M, \mu, \varphi)$, а $\varphi$ называется автоморфизмом.

Пример 1.2. Квазипериодическое движение. Пусть $M$ – двумерный тор $\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженный обычной мерой $d x d y$, а группа $\varphi_{t}$ задана соотношениями
\[
\dot{x}=1, \quad \dot{y}=\alpha, \quad \text { где } \alpha \in \mathbb{R} .
\]

Предположим, что $\alpha$ – рациональное число: $\alpha=\frac{p}{q}, p$ – целое число, $q$ – целое положительное число, взаимно простое с $p$.

Траектории, соответствующие начальным условиям $x(0)=x_{0}$, $y(0)=y_{0}$, удовлетворяют уравнению:
\[
y=y_{0}+\frac{p}{q}\left(x-x_{0}\right) \quad(\bmod 1) .
\]

В силу этого, если $x=q+x_{0}$, то $y$ принимает значение $y_{0}+p$ и соответствующая точка на $M$ совпадает с начальной $\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Таким образом, тор $M$ покрывается замкнутыми траекториями. Если $\alpha$ – иррациональное число, то каждая орбита всюду плотна (Якоби, 1835; см. приложение 1).
В более общем случае, пусть $\mathbb{T}^{n}=$ $=\left\{\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) \bmod 1\right\}-n$-мерный тор, снабженный мерой $d x^{1} \ldots d x^{n}$, и $\varphi_{t}$ – однопараметрическая группа, определяемая соотношениями
\[
\dot{x}^{i}=\omega^{i}, \quad i=1, \ldots, n, \quad \omega^{i} \in \mathbb{R} .
\]

Каждая орбита всюду плотна на $\mathbb{T}^{n}$ тогда и только тогда, когда из того, что $k_{1} \omega^{1}+\ldots+k_{n} \omega^{n}=0$ при $k_{i} \in \mathbb{Z}$, следует, что $k_{1}=\ldots=k_{n}=0$. ПримеР 1.4. ГЕодеЗИческиЕ потоки. Пусть $M=T_{1} V$ – унитарное касательное расслоение над компактным римановым многообразием $V$. Единичный вектор $\xi \in T_{1} V_{x}$, касательный к $V$ в точке $x$, однозначно определяет геозедическую $\gamma$, имеющую в точке $x$ касательный вектор $\xi$. Обозначим через $\gamma(\xi, s)$ точку, полученную движением из $x$ за время $s$ по этой геодезической со скоростью 1 , и через
\[
G_{t} \xi=\left.\frac{d}{d s} \gamma(\xi, s)\right|_{s=t} \in T_{1} V_{\gamma(\xi, t)}
\]

единичный вектор, касательный к $\gamma$ в точке $\gamma(\xi, t)$.
Формула (1.5) определяет однопараметрическую группу диффеоморфизмов:
\[
G_{t}: M \rightarrow M, \quad M=T_{1} V .
\]

Определение 1.6. Группа $G_{t}$ называется геодезическим потоком на $V$.

Можно показать,что $G_{t}$ сохраняет меру $\mu$, индуцированную на $M$ метрикой многообразия $V$ (теорема Лиувилля).

Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве $E^{3}$ имеется в приложении 2 , на эллипсоиде – в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, – в приложениях 3 и 4.

Наконец, заметим, что в механике геодезический поток известен под названием «движение материальной точки, вынужденной перемещаться по гладкой поверхности $V$ и не подверженной действию никакой внешней силы».

Другие механические системы приводят к более общим потокам.

Пример 1.8. Гамильтоновы потоки.

Пусть $p_{1}, \ldots, p_{n} ; q_{1}, \ldots, q_{n}$ (кратко – $p, q)$ – система координат в $\mathbb{R}^{2 n}, H(p, q)$ – гладкая функция. Система $2 n$ дифференциальных уравнений
\[
\frac{d q}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p}, \quad \frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q}
\]
определяет однопараметрическую группу диффеоморфизмов пространства $\mathbb{R}^{2 n}$. Эта группа называется гамильтоновым потоком в $\mathbb{R}^{2 n}$.

Теорема Лиувилля 1.10.
Гамильтонов поток сохраняет меру $d p_{1} \ldots d p_{n} d q_{1} \ldots d q_{n}$.

Доказательство.
Дивергенция поля векторов (1.9) равна нулю:
\[
\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)=0 .
\]

Теорема о сохранении энергии 1.11.
Функция $H$ есть первый интеграл системы уравнений (1.9).

Доказательство.
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q} \cdot \frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial H}{\partial p} \cdot\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)=0 .
\]

Обозначим через $M$ поверхность уровня $H(p, q)=h$. При почти всех $h M$ есть многообразие. Это многообразие инвариантно относительно потока.

Следствие 1.12. Существует инвариантная мера на многообразии $M$.

Доказательство.
Инвариантная мера на $M$ определяется соотношением
\[
d \mu=\frac{d \sigma}{\|\operatorname{grad} H\|},
\]

где $\|\cdot\|$ – длина, $\sigma$ – элемент объема многообразия М, индуцированный метрикой пространства $\mathbb{R}^{2 n}$.

Если система (1.9) имеет несколько первых интегралов $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{k}$, то уравнения (1.9) определяют классическую динамическую систему на каждом многообразии размерности $2 n-k$, задаваемом равенствами $I_{1}=h_{1}, \ldots, I_{k}=h_{k}$, где $h_{1}, \ldots, h_{k}$ – константы.

Частный пример 1.13. линейные колебания в двумерном случае.
В этом случае гамильтониан $H$ равен
\[
H=\frac{\omega_{1}}{2}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)+\frac{\omega_{2}}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) .
\]

Система (1.9) имеет два первых интеграла:
\[
I_{1}=p_{1}^{2}+q_{1}^{2}, \quad I_{2}=p_{2}^{2}+q_{2}^{2} .
\]

Соответствующие поверхности уровня имеют вид двумерных торов. Динамические системы, индуцированные на этих торах, изоморфны динамическим системам из примера (1.2).
Другие примеры приведены в приложении 5.

Замечание 1.14. Глобальные гамильтоновы потоки.
Пространство $\mathbb{R}^{2 n}$ в примере 1.8 можно заменить симплектическим ${ }^{1}$ многообразием $M^{2 n}$ размерности $2 n$, а $H$ – замкнутой 1 -формой $\omega_{1}(=d H)$. Тогда систему (1.9) можно записать в виде
\[
\dot{x}=I \omega_{1}, \quad x \in M^{2 n},
\]

где $I: T^{*} M_{x} \rightarrow T M_{x}$ определяется как
\[
\omega\left(I \omega_{1}, \xi\right)=\omega_{1}(\xi) \quad \text { при всех } \quad \xi \in T M_{x} .
\]

Приведем теперь примеры систем с дискретным временем $t \in \mathbb{Z}$.

Пример 1.15. Преобразования тора.
Пусть $M-$ тор $\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженный мерой $d \mu=d x d y$. Автоморфизм $\varphi$ определяется как
\[
\varphi(x, y)=\left(x+\omega_{1}, y+\omega_{2}\right) \quad(\bmod 1), \quad \omega_{i} \in \mathbb{R} .
\]

Если $1, \omega_{1}, \omega_{2}$ рационально несоизмеримы, то каждая траектория группы
\[
\left\{\left.\varphi^{n}\right|_{n \in \mathbb{Z}}\right\}
\]

всюду плотна на $M$ (см. приложение 1 ).

Пример 1.16. Автоморфизмы тора.
$M$ и $\mu$ – такие же, как в предыдущем примере, автоморфизм $\varphi$ определяется соотношением
\[
\varphi(x, y)=(x+y, x+2 y) \quad(\bmod 1) .
\]

На плоскости это – линейное преобразование с матрицей
\[
\widetilde{\varphi}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right),
\]

имеющей детерминант, равный 1 . Следовательно, $\varphi$ сохраняет меру $\mu$. На рисунке 1.17 изображены образы множества $A$ под действием сначала отображения $\varphi$, а затем отображения $\varphi^{2}$. Матрица $\widetilde{\varphi}$ имеет два действительных собственных значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ :
\[
0<\lambda_{2}<1<\lambda_{1} .
\]

Следовательно, при достаточно большом $n$ образ $\widetilde{\varphi}^{n} A$ имеет вид очень длинной и очень узкой полоски плоскости $(x, y)$.

На $\mathbb{T}^{2}=M$ эта полоса располагается примерно в окрестности конечного отрезка орбиты системы:
\[
\dot{x}=1, \quad \dot{y}=\lambda_{2}-1 .
\]

По теореме Якоби (пример 1.2), поскольку $\lambda_{2}-1$ – иррациональное число, $\varphi^{n} A$ стремится к винтовой линии, всюду плотно заполняющей тор при $n \rightarrow+\infty$.