Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Определение 1.1. Классическая динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ это набор, состоящий из гладкого многообразия $M$, меры $\mu$ на $M$ с непрерывной положительной плотностью и однопараметрической группы $\varphi_{t}$ диффеоморфизмов многообразия $M$, сохраняющих меру: Параметр $t$ — действительное или целое число: $t \in \mathbb{R}$ или $\mathbb{Z}$. Если $t \in \mathbb{R}$, то группа $\varphi_{t}$ определяется в локальных координатах соотношениями: Если $t \in \mathbb{Z}$, то $\varphi_{t}$ — дискретная группа, порожденная сохраняющим меру диффеоморфизмом $\varphi=\varphi_{1}$. Такую систему принято обозначать $(M, \mu, \varphi)$, а $\varphi$ называется автоморфизмом. Пример 1.2. Квазипериодическое движение. Пусть $M$ — двумерный тор $\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженный обычной мерой $d x d y$, а группа $\varphi_{t}$ задана соотношениями Предположим, что $\alpha$ — рациональное число: $\alpha=\frac{p}{q}, p$ — целое число, $q$ — целое положительное число, взаимно простое с $p$. Траектории, соответствующие начальным условиям $x(0)=x_{0}$, $y(0)=y_{0}$, удовлетворяют уравнению: В силу этого, если $x=q+x_{0}$, то $y$ принимает значение $y_{0}+p$ и соответствующая точка на $M$ совпадает с начальной $\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Таким образом, тор $M$ покрывается замкнутыми траекториями. Если $\alpha$ — иррациональное число, то каждая орбита всюду плотна (Якоби, 1835; см. приложение 1). Каждая орбита всюду плотна на $\mathbb{T}^{n}$ тогда и только тогда, когда из того, что $k_{1} \omega^{1}+\ldots+k_{n} \omega^{n}=0$ при $k_{i} \in \mathbb{Z}$, следует, что $k_{1}=\ldots=k_{n}=0$. ПримеР 1.4. ГЕодеЗИческиЕ потоки. Пусть $M=T_{1} V$ — унитарное касательное расслоение над компактным римановым многообразием $V$. Единичный вектор $\xi \in T_{1} V_{x}$, касательный к $V$ в точке $x$, однозначно определяет геозедическую $\gamma$, имеющую в точке $x$ касательный вектор $\xi$. Обозначим через $\gamma(\xi, s)$ точку, полученную движением из $x$ за время $s$ по этой геодезической со скоростью 1 , и через единичный вектор, касательный к $\gamma$ в точке $\gamma(\xi, t)$. Определение 1.6. Группа $G_{t}$ называется геодезическим потоком на $V$. Можно показать,что $G_{t}$ сохраняет меру $\mu$, индуцированную на $M$ метрикой многообразия $V$ (теорема Лиувилля). Частные примеры 1.7. Описание геодезического потока на обычном торе в евклидовом пространстве $E^{3}$ имеется в приложении 2 , на эллипсоиде — в работе Кагана [1] и на группах Ли, снабженных левоинвариантной метрикой, — в приложениях 3 и 4. Наконец, заметим, что в механике геодезический поток известен под названием «движение материальной точки, вынужденной перемещаться по гладкой поверхности $V$ и не подверженной действию никакой внешней силы». Другие механические системы приводят к более общим потокам. Пример 1.8. Гамильтоновы потоки. Пусть $p_{1}, \ldots, p_{n} ; q_{1}, \ldots, q_{n}$ (кратко — $p, q)$ — система координат в $\mathbb{R}^{2 n}, H(p, q)$ — гладкая функция. Система $2 n$ дифференциальных уравнений Теорема Лиувилля 1.10. Доказательство. Теорема о сохранении энергии 1.11. Доказательство. Обозначим через $M$ поверхность уровня $H(p, q)=h$. При почти всех $h M$ есть многообразие. Это многообразие инвариантно относительно потока. Следствие 1.12. Существует инвариантная мера на многообразии $M$. Доказательство. где $\|\cdot\|$ — длина, $\sigma$ — элемент объема многообразия М, индуцированный метрикой пространства $\mathbb{R}^{2 n}$. Если система (1.9) имеет несколько первых интегралов $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{k}$, то уравнения (1.9) определяют классическую динамическую систему на каждом многообразии размерности $2 n-k$, задаваемом равенствами $I_{1}=h_{1}, \ldots, I_{k}=h_{k}$, где $h_{1}, \ldots, h_{k}$ — константы. Частный пример 1.13. линейные колебания в двумерном случае. Система (1.9) имеет два первых интеграла: Соответствующие поверхности уровня имеют вид двумерных торов. Динамические системы, индуцированные на этих торах, изоморфны динамическим системам из примера (1.2). Замечание 1.14. Глобальные гамильтоновы потоки. где $I: T^{*} M_{x} \rightarrow T M_{x}$ определяется как Приведем теперь примеры систем с дискретным временем $t \in \mathbb{Z}$. Пример 1.15. Преобразования тора. Если $1, \omega_{1}, \omega_{2}$ рационально несоизмеримы, то каждая траектория группы всюду плотна на $M$ (см. приложение 1 ). Пример 1.16. Автоморфизмы тора. На плоскости это — линейное преобразование с матрицей имеющей детерминант, равный 1 . Следовательно, $\varphi$ сохраняет меру $\mu$. На рисунке 1.17 изображены образы множества $A$ под действием сначала отображения $\varphi$, а затем отображения $\varphi^{2}$. Матрица $\widetilde{\varphi}$ имеет два действительных собственных значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ : Следовательно, при достаточно большом $n$ образ $\widetilde{\varphi}^{n} A$ имеет вид очень длинной и очень узкой полоски плоскости $(x, y)$. На $\mathbb{T}^{2}=M$ эта полоса располагается примерно в окрестности конечного отрезка орбиты системы: По теореме Якоби (пример 1.2), поскольку $\lambda_{2}-1$ — иррациональное число, $\varphi^{n} A$ стремится к винтовой линии, всюду плотно заполняющей тор при $n \rightarrow+\infty$.
|
1 |
Оглавление
|