Построение инвариантных торов осуществлено в разделах Е-Н этого приложения. При этом использованы леммы разделов В-D. Доказательство основано на методе последовательных приближений ньютоновского типа, разработанном специально для этой цели А. Н. Колмогоровым $[6]$.

А. Метод Ньютона

Метод Ньютона нахождения корней уравнения $f(x)=0$ с заданной точностью состоит в замене кривой $y=f(x)$ касательной к ней в точке с абсциссой $x_{0}$, которая считается аппроксимацией корня $x$ подлежащего определению. Если $\left|x-x_{0}\right|<\varepsilon$, то отклонение кривой от касательной есть величина порядка $\varepsilon^{2}$, приближенное значение корня $x_{1}$ определяется линеаризованным уравнением
\[
f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x_{1}-x_{0}\right)=0
\]

и, следовательно, близко к $x$ с точностью до $\varepsilon^{2}$ (см. рис. П34.1).
Итерируя описанную операцию, получаем последовательность очень быстро сходящихся приближений:
\[
\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<C\left|x_{n}-x_{n-1}\right|^{2} ;
\]

следовательно, в $n$-м приближении
\[
\left|x-x_{n}\right| \sim \varepsilon^{2^{n-1}} .
\]

Этот метод легко обобщается на уравнения в банаховых пространствах $^{1}$; но в анализе чаще всего приходится иметь дело с полибанаховыми пространствами, и оператор $f^{\prime}\left(x_{0}\right)^{-1}$ отображает одно пространство в другое. Ситуацию иллюстрирует следующая лемма, которую можно рассматривать как характерный пример. Роль неравенства (П34.2) играет неравенство (П34.4).
Лемма П34.3ㄹ Пусть $L$ — оператор, преобразуюший функиию $f(z)$, аналитическую в некоторой комплексной области $G$, в функию $L f(z)$, аналитическую в меньшей ${ }^{3}$ области $G-\delta$, так, что при любом $0<\delta<\delta_{0}$
\[
|L f|_{G-\delta}<|f|_{G}^{2} \cdot \delta^{-
u},
\]

где $
u>0, \delta_{0}>0$ — абсолютные постоянные. Тогда при любом $\delta^{\prime}$ ряд $\sum_{s}\left|L^{s} f\right|$ сходится в $G-\delta^{\prime}$, если $|f|_{G}<M=M\left(\delta^{\prime}\right)$ достаточно мала.

Доказательство.
Пусть $M_{1}=\delta_{1}^{2
u+1}$ и $\delta_{2}=\delta_{1}^{3 / 2}, \ldots, \delta_{s+1}=\delta_{s}^{3 / 2}, \ldots, M_{2}=M_{1}^{3 / 2}, \ldots$, $M_{s+1}=M_{s}^{3 / 2}$, следовательно, $M_{s}=\delta_{s}^{2
u+1}$.

Тогда, если $\delta_{1}<\frac{1}{8}$, $\frac{\delta^{\prime}}{2}$, то $\sum \delta_{s}<\delta^{\prime}, \quad \sum M_{s}<2 M_{1}$.
Пусть теперь $G_{1}=G, G_{2}=G_{1}-\delta_{1}, \ldots, G_{s+1}=G_{s}-\delta_{s}$.
Тогда из неравенства $|f|_{G}<M_{1}$ мы заключаем, что $\left|L^{s} f\right|_{G_{s}}<M_{s}$, так как из неравенства (П34.4) и $|f|_{G_{s}}<M_{s}$ можно заключить, что
\[
|L f|_{G_{s+1}}=|L f|_{G_{s}-\delta_{s}}<M_{s}^{2} \delta_{s}^{-
u}<\delta_{s}^{3
u+2}<\delta_{s+1}^{2
u+1}=M_{s+1} .
\]

Но, так как $\sum \delta_{s}<\delta^{\prime}$, имеем $G_{s} \supset G-\delta^{\prime}$ при всех $s$. Следовательно, в $G-\delta^{\prime}$ выполняются неравенства
\[
\left|L^{s} f\right|<M_{s}, \sum\left|L^{s} f\right|<\sum M_{s}<2 M_{1} .
\]

B. Малые знаменатели

Пусть $f(q)$ — функция на торе $\mathbb{T}^{n}, q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)(\bmod 2 \pi)$ :
\[
f(q)=\sum_{k
eq 0} f_{k} e^{i(k, q)},
\]

где $(k, q)=k_{1} q_{1}+\cdots+k_{n} q_{n}$, и пусть $\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$ — вектор с иррациональными компонентами такой, что $(k, \omega)
eq k_{0}$ для неравных нулю целых $k, k_{0}$. Рассмотрим уравнение с неизвестной $2 \pi$-периодической функцией $g(q)$ :
\[
g(q+\omega)-g(q)=f(q) .
\]

Это уравнение допускает «формальное» решение
\[
g(q)=\sum_{k
eq 0} g_{k} e^{i(k, q)}, \quad g_{k}=\frac{f_{k}}{e^{i(k, \omega)}-1} .
\]

Сходимость ряда (П34.6) утверждает следующая лемма.

Лемма П34.7. Предположим, что при $|\operatorname{Im} q|<\rho, f(q)$ является аналитической функцей и что $|f(q)|<M$. Тогда при почти любом (в смысле Лебега) векторе $\omega$ функция $g(q)$, определяемая рядом (П34.6), — аналитическая, и при $|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta$ выполнено неравенство $|g(q)|<M \delta^{-
u},
u=2 n+4$, если $0<\delta<\delta_{0}$. Здесь $\delta_{0}>0$ абсолютная (не зависящая от $n$ ) постоянная.

Доказательство этой леммы ${ }^{4}$ основано на использовании элементарных результатов теории диофантовых аппроксимаций. Действительно, результат леммы П34.7 с $\delta_{0}=\delta_{0}(n, k)$ верен для всех $\omega$, принадлежащих введенному выше множеству $\Omega_{0}(K)$, для которого $K>0$. Обозначим через $\Omega(K)$ множество точек $\omega_{0}$ таких, что
\[
\left|e^{(k, \omega)}-1\right|>K N^{-
u}
\]

при всех
$\omega,\left|\omega-\omega_{0}\right|<K N^{-
u}$
$
u=n+2$ и всех $k$, для которых $|k| \leqslant N$, каким бы ни было число $N$. Обозначим через $\Omega_{0}(K)$ множество точек $\omega$, удовлетворяющих неравенству
\[
\left|e^{i(k, \omega)}-1\right|>K|k|^{-
u}, \quad
u=n+2 .
\]

Ясно, что $\Omega(K) \subset \Omega_{0}(K)$.

Лемма П34.10. Почти каждая (в смысле Лебега) точка $\omega_{0}$ принадлежит множеству $\Omega(K)$ с соответствующим $K>0$ (и, следовательно, принадлежит $\Omega_{0}(K)$ ).

Доказательство.
Пусть $\Omega$ — конечная область в пространстве $\left\{\omega_{0}\right\}$ и
\[
\Gamma_{k, d}=\left\{\omega_{0}:\left|e^{i(k, \omega)}-1\right|<\delta \quad \text { при некотором } \omega,\left|\omega-\omega_{0}\right|<\delta\right\} .
\]

Ясно, что тогда мера $\operatorname{mes}\left(\Gamma_{k, d} \cap \Omega\right) \leqslant C d$, где постоянная $C$ зависит только от $\Omega$. Вне области $\bigcup_{k} \Gamma_{k, K|k|^{-
u}}$ неравенство (П34.8) выполняется. Ho
\[
\operatorname{mes}\left(\bigcup_{k} \Gamma_{k, K|k|^{-
u}}\right) \cap \Omega \leqslant \sum_{k} C K|k|^{-
u} \leqslant C^{\prime} K,
\]

так как
\[
\sum_{k}|k|^{-
u}<\infty \quad \text { для }
u=n+2 .
\]

Следовательно,
\[
\operatorname{mes}_{k \rightarrow 0} \bigcap \overline{\Omega(K)}=0 .
\]

Пусть теперь $f(q)=\sum_{k} f_{k} e^{i(k, q)}-$ аналитическая функция.

Лемма П34.11.

А) Если при $|\operatorname{Im} q|<\rho$ имеем $|f(q)|<M$, то $\left|f_{k}\right|<M e^{-p|k|}$.
В) Если $\left|f_{k}(q)\right|<M e^{-\rho|k|}$, то при $|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta, 0<\delta<\delta_{0}$ выполняется $|f|<M \delta^{-
u}$.
C) Если при $|\operatorname{Im} q|<p$ имеем $|f(q)|<M$, то при $|\operatorname{Im} q|<p-\delta$, $0<\delta<\delta_{0}$ выполняется $\left|R_{N} f\right|<M e^{-\delta N} \cdot \delta^{-
u}$. Здесь $\delta_{0}$ и — абсолютные (зависящие только от $n$ ) константы, а $R_{N}$-остаток ряда Фурье
\[
R_{N} f=\sum_{|k|>N} f_{k} r^{i(k, q)} .
\]

Чтобы доказать п. А, достаточно сместить на $\pm i \rho$ контур интегрирования в формуле
\[
f_{k}=\int f e^{-i(k, q)} d q .
\]

Доказательства пунктов В и С следуют из суммирования геометрических прогрессий.

Лемма П34.7 следует непосредственно из лемм (П34.10) и (П34.11): необходимо выбрать $\omega_{0} \in \Omega_{0}(K)$, воспользоваться соотношениями (П34.6), (П34.9), пунктами А и В из леммы П34.11 и элементарным неравенством
\[
e^{-|k| \delta} \cdot|k|^{-
u}<C(
u) \delta^{-
u} .
\]

Затем достаточно выбрать $\delta_{0}<\frac{K}{C(
u)}$, что бы получить лемму П34.7. Более подробно доказательство изложено в работе [1] В. И. Арнольда. ЗАМЕчанИЕ П34.12. Предположим, что $\omega_{0} \in \Omega(K)$ и что $f_{k}=0$ при $|k|>N$. Тогда ряд (П34.6) становится конечной суммой зависящей от $\omega$. Кроме того, утверждение леммы $\Pi 34.7$ с тем же $\delta_{0}=\delta(K, n)$ остается в силе при всех $\omega^{\prime}$ таких, что $\left|\omega-\omega^{\prime}\right|<K N^{-
u}$. Если $\omega \in \Omega(K)$, то, по определению (П34.8), все $\omega^{\prime},\left|\omega-\omega^{\prime}\right|<K N^{-
u}$, удовлетворяют неравенству (П34.9) при $|k| \leqslant N$; но доказательство леммы П34.7 использует неравенство (П34.9) лишь при $|k| \leqslant N$, если $f_{k}=0$ при $|k|>N$.

С. Набросок доказательства

Напомним обозначения теоремы (21.11) ( 21 , гл. 4). Пусть $\Omega=$ $=B^{n} \times \mathbb{T}^{n}$ есть область канонического пространства, точку $x$ из $\Omega$ обозначим через $x=(p, q)$, где $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ — точка евклидова

шара $B^{n}, q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)(\bmod 2 \pi)$ — точка на торе $\mathbb{T}^{n}$. Отображение $\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega(p)$ — «невозмущенное». Отображение В с производящей функцией (см. приложение 32$) P q+B(P, q$ ) представляет собой глобально каноническое, аналитическое, слабо возмущенное отображение. Требуется найти инвариантные торы отображения ВА.

Следующая идея заимствована из теории возмущений (приложение 30) и заключается в том, чтобы попытаться «уничтожить» возмущение В путем замены переменных (с помощью подходящего канонического отображения $\mathbf{C}$ ) с производящей функцией $P q+C(p, q)$. Отображение ВА в координатах $\mathbf{C} x$ записывается в виде
\[
\mathbf{C}(\mathbf{B A}) \mathbf{C}^{-1}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A},
\]

где $\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{C B A C}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$. Таким образом, из следствия (П33.20) приложения 32 мы заключаем, что производящая функция отображения $\mathbf{B}^{\prime}$ имеет вид
\[
P q+B^{\prime}(p, q) \quad \text { где } \quad B^{\prime}(x)=C(x)+B(x)-C\left(\mathbf{A}^{-1} x\right)+O\left(B^{2}+C^{2}\right)
\]

что позволяет «уничтожить» отображение $\mathbf{B}$ при условии $C$
\[
C(x)+B(x)-C\left(\mathbf{A}^{-1} x\right)=0 .
\]

Заметим теперь, что это уравнение при любом фиксированном $p$ по форме в точности совпадает с уравнением (П34.5) (с $\omega=\omega(p), f=-B$, $g=C$ ). Достаточно получить теперь в области $\Omega^{\prime} \subset \Omega$ (но «слишком малой») неравенства
\[
\left|B^{\prime}\right|_{\Omega^{\prime}}<|B|_{\Omega}^{2} \delta^{-
u}, \quad|C|_{\Omega^{\prime}}<|B|_{\Omega} \delta^{-
u},
\]

чтобы построить последовательные приближения инвариантных торов во все более малых областях. Сходимость при этом доказывается как в лемме ПЗ34.3. Неравенства (II34.13) доказываются с использованием леммы П34.7; они имеют место «далеко от резонансов», т.е. при $\omega(p) \in \Omega(K)$.

Чтобы реализовать намеченную в п. Е-Н в общих чертах программу, нам придется прибегнуть к еще нескольким небольшим «трюкам». Прежде всего, оказывается, что при «уничтожении» отображения В удобно ограничиться уничтожением конечного числа членов ряда Фурье: остаток ряда $R_{N} B$ может рассматриваться как часть «членов высшего порядка» $O\left(B^{2}\right), O\left(C^{2}\right)$. Таким образом, в каждом приближении

мы имеем в (П34.6) лишь конечное число резонансов и малых знаменателей ${ }^{5}$. С другой стороны, чтобы воспользоваться леммой П34.7, необходимо прежде всего исключить постоянный член $B_{0}$ (среднее значение от $B$ по $q$ ), а затем добавить «невозмущенное» отображение $A$ (вариацию частот см. ниже раздел $\mathrm{E}$ ).

Наконец, заметим, что как показал Мозер [4], метод Колмогорова, модифицированный подходящим выбором числа членов, оставляемых в каждом приближении, остается сходящимся и при неаналитических отображениях. Действительно, Мозер [1] доказал теорему 21.11 для случая $n=1$ (отображения плоскости) в предположении, что отображение $B$ дифференцируемо 333 раза. Недавно Мозер [6] дал доказательство, которое требует ограниченное число производных.

D. Канонические отображения, близкие к тождественному

В этом разделе мы воспользуемся следующими обозначениями.
Пусть $F(\delta, M)$ — любая функция, $\alpha$ — некоторое утверждение, в которое входят $\delta, M$ и $F$. Будем говорить, что « $\alpha$ истинно $u|F| \lesseqgtr M$ », если существуют абсолютные константы ${ }^{6}
u_{1},
u_{2}>0$ и $\delta_{0}>0$ такие, что
\[
\alpha \text { истинно, и }|F| \leqslant M \delta^{-
u_{2}}
\]

лишь при условии, что $0<\delta<\delta_{0}, M<\delta^{
u_{1}}$.

Лемма П34.15. Пусть $G$ — некоторая комплексная область и $f(z)$ функция, аналитическая в $G$, которая удовлетворяет неравенству $|f(z)|<M$. Тогда при $z \in G-\delta$ производная $k$-го порядка аналитична и
\[
\left|\frac{d^{k} f}{d z^{k}}\right| \lesssim M \text {. }
\]

Доказательство.
Из формулы Коши
\[
\left|\frac{d^{k} f}{d z^{k}}\right|=\frac{k !}{2 \pi i} \oint_{\gamma} \frac{F(\xi) d \xi}{(\xi-z)^{k+1}}, \quad \gamma:|\xi-z|=\delta,
\]

следует, что
\[
\left|\frac{d^{k} f}{d z^{k}}\right| \leqslant k ! M \delta^{-k},
\]

и мы получаем (П34.14) с
\[

u_{2}=k+1, \quad \delta_{0}=\frac{1}{k !}, \quad
u_{1}=0 .
\]

Здесь
\[
F(\delta, M)=\sup _{f, G, x \in G-\delta}\left|\frac{d^{k} f}{d z^{k}}\right|,
\]

где sup берется по всем ограниченным областям $G$, всем аналитическим функциям $f$ в $G(|f|<M)$ и всем $z \in G-\delta$.

Заметим, что в наших обозначениях $C M \delta^{-
u} \lesssim M$ и что из неравенств $F \lesseqgtr M$ и $G \lesseqgtr M$ следуют неравенства $F+G \lesseqgtr M, F G \lesseqgtr M^{2}$. Таким образом, если $F(\delta, M) \lesseqgtr M$, то $F(C \delta, M) \lesseqgtr M$ (здесь $C$ и $
u-$ абсолютные положительные постоянные).

Уточним теперь соотношения между глобальными каноническими отображениями $\mathbf{S}$, близкими к тождественному отображению, и их производящими функциями $P q+S(P, q)$. Пусть
\[
\begin{array}{c}
\Omega=B^{n} \times \mathbb{T}^{n}, \quad B^{n}=\left\{p:|p|<\gamma, p \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \\
\mathbb{T}^{n}=\left\{q \quad(\bmod 2 \pi), q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)\right\},
\end{array}
\]

и $[\Omega]$ — комплексная область в $\Omega$, задаваемая неравенствами $|p|<\gamma$, $|\operatorname{Im} q|<\rho$, где $0<\gamma<1,0<\rho<1$.

Лемма П34.16. Пусть $S(P, q)$ — функция, аналитическая в $[\Omega]$, удовлетворяющая неравенству $|S(P, q)|<M$. Тогда формулы
\[
p=P+\frac{\partial S}{\partial q}, \quad Q=q+\frac{\partial S}{\partial P}, \quad S=S(P, q)
\]

определяют глобальный канонический диффеоморфизм $\mathbf{S}$ :
\[
P=P(p, q), \quad Q=Q(p, q) ; \quad \mathbf{S}:[\Omega]-2 \delta \rightarrow[\Omega]-\delta
\]

и в $[\Omega]-2 \delta$ справедливы неравенства
\[
\begin{array}{l}
\left|(P-p)-\frac{\partial S(p, q)}{\partial p}\right| \lesssim M^{2}, \\
\left|(Q-q)+\frac{\partial S(p, q)}{\partial q}\right| \lesseqgtr M^{2} .
\end{array}
\]

Лемма П34.18. Пусть $P=P(p, q), Q=Q(p, q)$ — глобальное каноническое отображение, аналитическое в $[\Omega]$, где оно удовлетворяет неравенствам $|P-p|<M,|Q-q|<M$. Тогда в $\Omega-\delta$ это отображение определяется формулами (П34.17), где $S$ — аналитическая функиия, удовлетворяюшал неравенствам
\[
|S| \lesssim M, \quad\left|S(p, q)-\int^{(p, q)}(Q-q) d p-(P-p) d q\right| \lesssim M^{2} .
\]

Лемма П34.19. Если $S(p, q)$ и $T(p, q)$ — две функции, аналитические в $[\Omega]$, где они удовлетворяют неравенствам $|S|<M,|T|<M$, то произведение соответствующих канонических отображений $\mathbf{R}=\mathbf{S T}$ есть глобальный канонический диффеоморфизм области $[\Omega]-3 \delta$ в область $[\Omega]-2 \delta$, определяемый производящей функцией $R$, аналитической в $[\Omega]-\delta$, где она удовлетворяет неравенству $|R-(S+T)| \lesseqgtr M^{2}$.

Пусть теперь $\mathbf{A}:[\Omega] \rightarrow\left[\Omega^{\prime}\right]$ — аналитический глобально канонический диффеоморфизм (область $\left[\Omega^{\prime}\right]$ задается неравенствами $|p|<\gamma^{\prime}$, $\left.|\operatorname{Im} q|<\rho^{\prime}, 0<\gamma^{\prime}, \rho^{\prime}<1\right)$. Пусть $a^{-1}|y-x|<|A(y)-A(x)|<a|y-x|$, $S$ — функция, аналитическая в $[\Omega], \mathbf{S}$ — диффеоморфизм, который соответствует ей по лемме (П34.16).
Лемма П34.20. Формула $\mathbf{T}=\mathbf{A S A}^{-1}$ задает глобальный канонический диффеоморфизм области $\left[\Omega^{\prime}\right]-3 \delta$ в область $\left[\Omega^{\prime}\right]-2 \delta$, задаваемый производящей функцией $T$, аналитической в $\left[\Omega^{\prime}\right]-\delta$, где она удовлетворяет неравенству ${ }^{7}$
\[
|T(\mathbf{A} x)-S(x)| \lesssim M^{2} .
\]

Доказательства предшествующих лемм воспроизводят доказательства из приложения 32 , используя лемму (П34.15) для вычисления членов порядка $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Подробности см. в работах Арнольда [4], [5].

Е. Вариация частоты

Приступим теперь к построению инвариантных торов отображения ВА (см. теорему 21.11, гл. 4).

Чтобы понять выкладки, приводимые в разделах $\mathrm{E}-\mathrm{H}$, полезно иметь в виду, что положительные числа $\beta, \gamma, \delta, M$ и $\rho, K, \theta$ связаны неравенствами
\[
O<M \ll \delta \ll \gamma \ll \beta \ll \rho, K, \theta^{-1}<1,
\]

и что $
u_{i}, c_{i}$ — абсолютные постоянные, $
u>1>c$.

Построение вариации частоты П34.21

Пусть А и В — два глобальных канонических отображения
\[
\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega(q),
\]

и В с производящей функцией $P q+B(P, q)$. Положим
\[
\begin{array}{c}
\bar{B}(p)=(2 \pi)^{-n} \int \ldots \int B(p, q) d q_{1} \ldots d q_{n}, \\
\omega_{1}(p)=\omega(p)+\frac{\partial \bar{B}}{\partial p}
\end{array}
\]

Рис. П 34.22
и рассмотрим канонические отображения (см. рис. П34.22):
\[
\mathbf{A}_{1}: p, q \rightarrow p, q+\omega_{1}(p), \quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B A A}_{1}^{-1} .
\]

Ясно, что
\[
\mathbf{B A}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}_{1} .
\]

Лемма о вариации частот П34.23. Предположим, что в области $\left|p-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<p$ выполняются неравенства $\theta^{-1}|d p|<|d \omega|<$ $<\theta|d p| u|B(p, q)|<M$.

Тогда для глобального канонического отображения $\mathbf{B}^{\prime}$ с производящей функцией $P q+B^{\prime}(P, q)$ такой, что при $\left|p-p^{*}\right|<\gamma-\delta,|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta$ справедливы неравенства ${ }^{8}$
\[
\left|\omega_{1}(p)-\omega(p)\right| \lesssim M, \quad\left|B^{\prime}\right| \lesssim M, \quad\left|\bar{B}^{\prime}\right| \lesssim M^{2},
\]

где
\[
\bar{B}^{\prime}=(2 \pi)^{-n} \int \ldots \int B^{\prime}(p, q) d q_{1} \ldots d q_{n} .
\]

Доказательство.

Достаточно применить лемму (П34.19) к отображениям В и $\mathbf{A A}_{1}^{-1}$ : $p, q \rightarrow p, q-\frac{\partial \bar{B}}{\partial p}$, чтобы получить неравенство $\left|B^{\prime}-(B-\bar{B})\right| \lesssim M^{2}$.

F. Главная лемма

Воспользуемся теперь оценками для малых знаменателей (раздел В), чтобы получить неравенства типа $\left|B_{1}\right| \lesseqgtr M^{2}$ после подходящей замены переменных $\mathbf{C}$.

Главная конструкция П34.24

Пусть А и В — глобальные канонические отображения:
\[
\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega_{1}(p)
\]

отображение В определяется производящей функцией $P q+B(P, q)$, где
\[
B(P, q)=\bar{B}(P)+\sum_{k
eq 0} B_{k}(P) e^{i(k, q)},
\]

Пусть $N$ — положительное целое число. Положим
\[
\begin{array}{c}
C(P, q)=\sum_{0<|k| \leqslant N} C_{k}(P) e^{i(k, q)}, \\
C_{k}(P)=\frac{B_{k}(P)}{e^{-i\left(k, \omega_{1}(P)\right)}-1} .
\end{array}
\]

Обозначим через С глобальное каноническое отображение, определяемое производящей функцией $P q+C(P, q)$, и рассмотрим глобальное каноническое отображение $\mathbf{B}_{1}=\mathbf{C B A C}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$. Ясно, что
\[
\mathbf{B}_{\mathbf{1}} \mathbf{A}=\mathbf{C}(\mathbf{B A}) \mathbf{C}^{-1}
\]
(см. рис. П34.26). Заметим, что $\mathbf{A} \gg \sim \mathbf{B C} \gg \mathbf{B}_{1}$.
Рис. П34.26

Главная лемма П34.27

Лемма 1. Предположим, что в области $\left|p-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<\rho$ функции $\omega_{1}(p), B(p, q)$ — аналитические и удовлетворяют неравенствам
\[
\begin{aligned}
\theta^{-1}|d p| & <\left|d \omega_{1}(p)\right|<\theta|d p|, \\
|B(p, q)| & <M, \quad|\bar{B}(p)|<\bar{M} .
\end{aligned}
\]

Предположим также, что $\omega^{*}=\omega_{1}\left(p^{*}\right)$ принадлежит множеству $\Omega(K)$ из леммы (П34.10). Тогда
1) функция $C(P, q)$ аналитична при $\left|P-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta$ и удовлетворяет в этой области неравенству
\[
|C(P, q)|<M \delta^{-
u_{1}} ;
\]
2) производящая функция $P q+B_{1}(P, q)$ аналитического отображения $\mathbf{B}_{1}$ удовлетворяет в области $\left|P-p^{*}\right|<\gamma-\delta,|\operatorname{Im} q|<\rho-\beta$ неравенству
\[
\left|B_{1}(P, q)\right|<M^{2} \delta^{-
u_{1}}+\bar{M}+M e^{-\beta N} \beta^{-
u_{1}}
\]

при условии, что (в случае 1 и 2)
\[
\bar{M}<M<\delta^{
u_{2}} ; \quad \delta<C_{1} \gamma, \quad \gamma<C_{2} \beta, \quad \beta<C_{3}, \quad \gamma<C_{4} N^{-(n+2)},
\]

где $
u_{1},
u_{2}>1>C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}>0$ — абсолютные постоянные ${ }^{9}$.
Доказательство.
Из неравенств $|d \omega|<\theta|d p|$ и $\gamma<C_{4} N^{-(n+2)}$, где $C_{4}<\frac{K}{\theta}$, следует, что все $\omega_{1}(p)$ из области $\left|p-p^{*}\right|<\gamma$ удовлетворяют неравенству $\left|\omega-\omega^{*}\right|<K N^{-(n+2)}$. Следовательно, в силу заключительного примечания из раздела $B$ утверждение леммы П 34.7 имеет место для тригонометрической суммы $C$. Пусть $\delta_{0}=\delta_{0}(n, K)$ — постоянная, упомянутая в лемме П34.7. Тогда, если $C_{3}<\delta_{0}$, то $\delta<\delta_{0}$; таким образом, лемма ПІ34.7 утверждает, что $|C|<M \delta^{-
u_{1}}$ при $|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta$. Более точно, это составляет п. 1 нашей леммы.

Заметим далее, что $|\operatorname{Im} \omega(p)|<\theta \gamma<\beta$, если постоянная $C_{2}$ (в неравенстве $\gamma<C_{2} \beta$ ) достаточно мала. При этих условиях отображения $\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}^{-1}$ являются диффеоморфизмами:
\[
\left\{p, q|| p-p^{*}\left|<\gamma^{\prime},\right| \operatorname{Im} q \mid<\rho^{\prime}\right\} \rightarrow\left\{p, q|| p-p^{*}\left|<\gamma^{\prime \prime},\right| \operatorname{Im} q \mid<\rho^{\prime \prime}\right\}
\]

при $\rho^{\prime \prime}<\rho^{\prime}+\theta \gamma<\rho$. Это позволяет применить лемму П 34.20 к $\mathbf{A} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$. Кроме того, если $
u_{1}$ и $
u_{2}$ (в неравенстве $M<\delta^{
u_{2}}$ ) достаточно велики, а постоянная $C_{3}$ (в неравенстве $\delta<\beta<C_{3}$ ) достаточно мала, то соотношения § из лемм $І 34.16,18,19,20$ принимают вид неравенства $<M \delta^{-
u_{1}}$.

Из лемм $\Pi 34.16,18,19,20$ следует, что в условиях главной леммы с подходящим образом выбранными постоянными $C,
u$ отображение $\mathbf{B}_{1}=\mathbf{C B A C}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$ задается производящей функцией $P q+B_{1}(p, q)$, где $B_{1}(p, q)$ — аналитическая функция при $\left|P-p^{*}\right|<\gamma-\delta,|\operatorname{Im} q|<\rho-\beta$ и что в этой области
\[
\left|B_{1}(x)-\left(B(x)+C(x)-C\left(\mathbf{A}^{-1} x\right)\right)\right|<M^{2} \delta^{-
u_{1}} .
\]

Но по формуле (П34.25) справедливо соотношение
\[
B(x)+C(x)-C\left(\mathbf{A}^{-1} x\right)=\bar{B}+R_{N} B,
\]

а по утверждению $C$ леммы П34.11 при
\[
|\operatorname{Im} q|<\rho-\beta<\rho-\delta
\]

справедливо неравенство
\[
\left|R_{N} B\right|<M e^{-\beta N} \beta^{-
u_{1}} .
\]

Так как $|\bar{B}|<\bar{M}$, из формул (П34.30, 31, 32) следует (П34.28).

G. Индуктивная лемма

Построение инвариантных торов опирается на итерационную процедуру, каждый шаг который основан на следующей конструкции.

Индуктивное построение П34.33

Пусть А и В — два канонических преобразования
\[
\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega(p) .
\]

Преобразование В задается производящей функцией $P q+B(p, q)$, $N$ — положительное целое число. Выполнив вариацию частоты (раздел Е), получаем:
\[
\mathbf{A}_{1}: p, q \rightarrow p, q+\omega_{1}(p) .
\]

и отображение $\mathbf{B}^{\prime}$, задаваемое производящей функцией $P q+B^{\prime}(p, q)$ такое, что $\mathbf{B A}=\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}_{1}$.

Применим теперь основное построение раздела $\mathrm{F}$ к отображениям $\mathbf{A}_{1}, \mathbf{B}^{\prime}$. Мы получим канонические отображения $\mathbf{C}$ и $\mathbf{B}_{1}=$ $=\mathbf{C B}^{\prime} \mathbf{A}_{1} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{A}_{1}^{-1}$; таким образом (см. рис. П134.34),
\[
\mathbf{B}_{1} \mathbf{A}_{1}=\mathbf{C}(\mathbf{B A}) \mathbf{C}^{-1}
\]
Рис. П3 34.34

Индуктивная лемма П34.35

Предположим, что в области $\left|p-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<\rho$ справедливы неравенства
\[
\begin{array}{c}
\theta^{-1}|d p|<|d \omega|<\theta|d p|, \quad \theta<\theta_{0}, \\
|B(p, q)|<M, \quad \omega\left(p^{*}\right)=\omega^{*} \in \Omega(K) .
\end{array}
\]

Определим $p_{1}^{*}$ из соотношения $\omega_{1}\left(p_{1}^{*}\right)=\omega^{*}$. Пусть $P q+B_{1}(p, q), P q+$ $+C(p, q)$ — производящие функции отображений $\mathbf{B}_{1}$ и $\mathbf{C}$. Тогда:
1) в области $\left|P-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<\rho-\delta$ функция $C(p, q)$ аналитическая и $|C|<M \delta^{-
u_{1}}$;
2) область $\left|P-p_{1}^{*}\right|<\gamma_{1},|\operatorname{Im} q|<\rho_{1}=\rho-\beta$ составляет часть области $\left|P-p^{*}\right|<\gamma,|\operatorname{Im} q|<\rho$. В самой малой из таких областей функция $B_{1}$ является аналитической и $\left|B_{1}\right|<M^{2} \delta^{-
u_{1}}+M e^{-\beta N} \beta^{-
u_{1}}$;
3) $\theta_{1}^{-1}|d p|<\left|d \omega_{1}\right|<\theta_{1}|d p|,\left|\theta_{1}-\theta\right|<\delta,\left|\omega_{1}-\omega\right|<\delta$ при условии, что $M<\delta^{
u_{1}} ; \delta<C_{1} \gamma, \gamma<C_{2} \beta, \beta<C_{3} ; \gamma<C_{4} N^{-(n+2)}, \gamma_{1}<C_{5} \gamma$, где постоянные $
u_{1},
u_{2},
u_{3},
u_{4}>1>C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}>0$ — абсолютные постоянные, то есть зависят лишь от размерности $n$, постоянных $\theta_{0}$ и $К$, но не зависят от $B, \omega, \theta, M$ и т.д.
Доказательство.
Доказательство индуктивной леммы непосредственно следует из двух предыдущих лемм. Двумя новыми моментами являются следующие.
1) Существование $p_{1}^{*}$.
Существование $p_{1}^{*}$ вместе с неравенством $\left|p_{1}^{*}\right|<C_{5} \gamma$ следует из неравенств
\[
\left|d \omega_{s}\right|<\theta_{0}^{-1}|d p|,\left|\omega_{1}-\omega\right|<M \delta^{-
u}, \quad\left|\frac{\omega_{1}}{p}-\frac{\omega}{p}\right|<M \delta^{-
u}
\]
(см. раздел Е) и неравенства $M \delta^{-
u}<C_{6} \gamma$ (которое получается из неравенства $M \delta^{-
u}<\delta^{
u_{2}-
u}<C_{6} \gamma$ при достаточно большом $
u_{2}$ ).

Принимая во внимание, что $\gamma_{1}<C_{4} \gamma$, заключаем, что область $\left|p-p_{1}^{*}\right|<\gamma_{1}$ содержится в области $\left|p-p^{*}\right|<\gamma-\delta$ (так как $\delta<C_{1} \gamma$ ).
2) Оценка для функции $B_{1}$.
Из раздела Е следует, что среднее функции $B^{\prime}$ удовлетворяет неравенству $\left|\bar{B}^{\prime}\right|<M^{2} \delta^{-
u}=\bar{M}$.
Подставляя $\bar{M}$ в соотношение (П34.28) основной леммы, получаем:
\[
M^{2} \delta^{-
u_{1}}+\bar{M}<M^{2} \delta^{-
u_{4}} .
\]

Н. Доказательство теоремы 21.11 (см. гл. 4)

Построение Пз4.36

Инвариантный тор $T\left(\omega^{*}\right)$ отображения $\mathbf{B A}$, соответствующего частоте $\omega^{*}$, мы строим с помощью метода, изложенного в предыдущем разделе, и зависящего от последовательности $0<N_{1}<N_{2}<\ldots<N_{S}<\ldots$, $N_{S} \rightarrow \infty$. Эту последовательность мы уточним в дальнейшем.

После того, как последовательность $N_{S}$ выбрана, построение производится следующим образом. Мы полагаем $\mathbf{A}_{1}=\mathbf{A}, \mathbf{B}_{1}=\mathbf{B}, N_{1}=N$ и используем индуктивное построение из предыдущего раздела G. Эта конструкция определяет канонические отображения, которые мы обозначим $\mathbf{C}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \mathbf{B}_{2}$; имеем:
\[
\mathbf{B}_{2} \mathbf{A}_{2}=\mathbf{C}_{1}\left(\mathbf{B}_{1} \mathbf{A}_{1}\right) \mathbf{C}_{1}^{-1} .
\]
(a) Рис. ПЗ34.37
Используя ту же конструкцию с $\mathbf{A}_{2}=\mathbf{A}, \mathbf{B}_{2}=\mathbf{B}, N_{2}=N$, мы получаем $\mathbf{A}_{3} \mathbf{B}_{3} \mathbf{C}_{2}$ и т. д. Если $\mathbf{A}_{s}, \mathbf{B}_{s}$ построены, конструкция, изложенная в разделе $\mathrm{G}$, с $\mathbf{A}=\mathbf{A}_{s}, \mathbf{B}=\mathbf{B}_{s}, N=N_{s}$ позволяет найти $\mathbf{C}_{s}, \mathbf{A}_{s+1}, \mathbf{B}_{s+1}$ (см. рис. ПЗ34.37):
\[
\mathbf{B}_{s+1} \mathbf{A}_{s+1}=\mathbf{C}_{s}\left(\mathbf{B}_{s} \mathbf{A}_{s}\right) \mathbf{C}_{s}^{-1} .
\]

Эта конструкция определяет также точки $p_{s}^{*}, \omega_{s}\left(p_{s}^{*}\right)=\omega^{*}$. Обозначим теперь через $T_{s}\left(\omega^{*}\right)$ тор $p=p_{s}^{*}$. На таком торе отображение $\mathbf{A}_{s}$

представляет собой трансляцию, определяемую частотой $\omega^{*}$. Обозначим $p_{\infty}^{*}=\lim _{s \rightarrow \infty} p_{s}$, и пусть $T_{\infty}^{*}$ — тор $p=p_{s}^{*}$, а $\mathbf{A}_{\infty}$ — отображение
\[
\mathbf{A}_{\infty}: T_{\infty}^{*} \rightarrow T_{\infty}^{*}, \quad \mathbf{A}_{\infty} q=q+\omega^{*} .
\]

Наконец, обозначим
\[
\mathbf{D}_{s}=\mathbf{C}_{1}^{-1} \mathbf{C}_{2}^{-1} \ldots \mathbf{C}_{s-1}^{-1}, \quad \mathbf{D}=\lim _{s \rightarrow \infty} \mathbf{D}_{s} .
\]

Тор, инвариантный относительно ВА, задается соотношением
\[
T\left(\omega^{*}\right)=D T_{\infty}^{*} .
\]

Докажем теперь, что рассматриваемые пределы существуют и что на $T\left(\omega^{*}\right)$ выполняется соотношение $\mathbf{D} \mathbf{A}_{\infty}=\mathbf{B A D}$.

Сходимость П34.38 ведливы неравенства
\[
\theta^{-1}|d p|<|d \omega(p)|<\theta|d p| .
\]

Предположим, что $\omega^{*}$ принадлежит $\Omega(K)$. По лемме (П34.10) почти любая частота $\omega^{*}$ принадлежит $\Omega(K)$ при некотором $K>0$. Положим $\theta_{0}=2 \theta$ и определим последовательность постоянных с помощью соотношений
\[
\delta_{1}=\delta>0, \quad \delta_{2}=\delta_{1}^{3 / 2}, \quad \delta_{3}=\delta_{2}^{3 / 2}, \ldots, \delta_{s+1}=\delta_{s}^{3 / 2}, \ldots
\]

Положим
\[
\gamma_{s}=\delta_{s}^{1 / 2}, \quad \beta_{s}=\gamma_{s}^{1 / 4(n+2)}, \quad N_{s}=\beta_{s}^{-2}=\gamma_{s}^{-1 / 2(n+2)} .
\]

Тогда
\[
\gamma_{s+1}=\gamma_{s}^{3 / 2}, \beta_{s+1}=\beta_{s}^{3 / 2}, \quad N_{s+1}=N_{s}^{3 / 2} .
\]

Чтобы определить все эти числа, достаточно выбрать $\delta$. Обозначим через $\alpha$ положительную постоянную, достаточно большую для того, чтобы было выполнено
\[
\alpha>
u_{2}, \quad \alpha>2
u_{4}+1, \quad \alpha>
u_{1}+2 .
\]

Если $\delta<C$ (где $0<C<\frac{1}{10}$ — абсолютная постоянная, т.е. зависит только от $n, K, \theta_{0}, \alpha$ и постоянных $
u_{k}, C_{k}$, которые входят в индуктивную лемму), то, как нетрудно видеть,
1)
\[
\sum \beta_{s}<\frac{1}{10} \rho
\]
2)
\[
\sum \delta_{s}<\theta
\]
3) при всех $s=1,2, \ldots$ имеют место неравенства
\[
\begin{array}{c}
\delta_{s}<C_{1} \gamma_{s}, \gamma_{s}<C_{2} \beta_{s}, \beta_{s}<C_{3}, \\
\gamma_{s}<C_{4} N_{s}^{-(n+2)}, \gamma_{s+1}<C_{5} \gamma_{1},
\end{array}
\]

где $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}$ — постоянные из индуктивной леммы, зависящие от $K$ и $\theta$, выбранных выше;
4)
\[
e^{-\beta_{s} N_{s}}=e^{-\frac{1}{\beta_{s}}}<\delta_{s}^{\left(\frac{\alpha}{2}+
u_{1}\right)+1} .
\]

Постоянная $\delta$ удовлетворяет неравенству $\theta<\delta<C$. Теперь числа $N_{s}$, от которых зависит наше построение, полностью определены.

Предположим теперь, что наше отображение $\mathbf{B}_{1}=\mathbf{B}$ имеет производящую функцию $P q+B_{1}(P, q)$, которая удовлетворяет в $\left|p-p_{1}^{*}\right|<\gamma_{1},|\operatorname{Im} q|<\rho_{1}=\frac{1}{2} \rho$ неравенству $\left|B_{1}\right|<M_{1}=\delta_{1}^{\alpha}$. По лемме $П 34.18$ это неравенство выполняется, если $\varepsilon$ в условиях теоремы 21.11 (гл. 4) достаточно мало. Принимая во внимание неравенства (П34.41), нетрудно понять, что условия индуктивной леммы выполняются при $\mathbf{A}=\mathbf{A}_{1}, \mathbf{B}=\mathbf{B}_{1}$ (так как $\alpha>
u_{2}$ ). Следовательно, индуктивная лемма позволяет нам найти $\mathbf{A}_{2}, \mathbf{B}_{2}, \mathbf{C}_{2}, p_{2}^{*}$ и т.д.

Докажем теперь, что в области $\left|p-p_{2}^{*}\right|<\gamma_{2},|\operatorname{Im} q|<\rho_{2}=\rho_{1}-\beta_{1}$ отображения $\mathbf{B}_{2}, \mathbf{A}_{2}$ снова удовлетворнют всем условиям индуктивной леммы.

Действительно, из (П34.39) следует, что $\rho_{2}>0$; из (П34.40) и третьей части индуктивной леммы мы заключаем, что $\mathbf{A}_{2}$ удовлетворяет неравенствам
\[
\theta_{2}^{-1}|d p|<\left|d \omega_{2}(p)\right|<\theta_{2}|d p| \quad \text { с } \quad \theta_{2}<\theta_{0} .
\]

Наконец, в силу второй части индуктивной леммы, из неравенств (П34.42) и $\alpha>2
u_{4}+1, \alpha>
u_{1}+2$ получаем
\[
\left|B_{2}\right|<M_{1}^{2} \delta_{1}^{-\gamma_{4}}+M_{1} e^{-\beta_{1} N_{1}} \cdot \delta^{-
u_{1}}<\delta_{1}^{2 \alpha-
u_{4}}+\delta_{1}^{3 / 2(\alpha+1)}<\delta_{1}^{3 / 2 \alpha} ;
\]

иначе говоря,
\[
\left|B_{2}\right|<M_{2}=\delta_{2}^{\alpha} .
\]

Таким образом, все условия индуктивной теоремы выполнены и для $\mathbf{B}_{2}$ и $\mathbf{A}_{2}$.

Повторяя те же рассуждения, получаем $\left|B_{s}\right|<M_{s}=\delta_{s}^{\alpha}$ в области $\left|p-p_{s}^{*}\right|<\gamma_{s},|\operatorname{Im} q|<\rho_{s}$.

Пусть $G_{s}$ — область $\left|p-p_{s}^{*}\right|<\gamma_{s},|\operatorname{Im} q|<\rho_{s}$. Тогда диффеоморфизмы $\mathbf{C}_{s}^{-1}$ отображают $G_{s+1}$ в $G_{s}$, и в смысле $C^{1}$-нормы в $G_{s+1}$ справедливо неравенство
\[
\left\|\mathbf{C}_{s}^{-1}-\mathbf{E}\right\|_{C_{1}}<\delta_{s},
\]

где $\mathbf{E}$ — тождественное отображение.
Точка $p_{\infty}^{*}$ есть пересечение шаров $\left|p-p_{s}^{*}\right|<\gamma_{s}, s \rightarrow \infty$. Из оценки (П34.43) немедленно следует сходимость отображений $\mathbf{D}_{s}, s \rightarrow \infty$, на торе
\[
T_{\infty}^{*}=\bigcap_{s \geqslant 1} G_{s} .
\]

Из неравенств $\left|B_{s}\right|<\delta_{s}^{\alpha}$ следует, что на торе $T_{\infty}^{*}$ выполняется
\[
\left|\mathbf{D}_{s}^{-1} \mathbf{B A D}_{s}-\mathbf{A}_{s}\right|=\left|\mathbf{B}_{s} \mathbf{A}_{s}-\mathbf{A}_{s}\right| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad s \rightarrow \infty .
\]

Наконец, из $\left|\omega s+1-\omega_{s}\right|<\delta_{s}$ следует сходимость на $T_{\infty}^{*}$ отображений $\mathbf{A}_{s}$ :
\[
\lim _{s \rightarrow \infty} \mathbf{A}_{s}=\mathbf{A}_{\infty}: q \rightarrow q+\omega^{*} .
\]

Следовательно, на $T_{\infty}^{*}$ выполняется
\[
\mathbf{D}^{-1}(\mathbf{B A}) \mathbf{D}=\mathbf{A}_{\infty} .
\]