Построение инвариантных торов осуществлено в разделах Е-Н этого приложения. При этом использованы леммы разделов В-D. Доказательство основано на методе последовательных приближений ньютоновского типа, разработанном специально для этой цели А. Н. Колмогоровым $[6]$.

А. Метод Ньютона

Метод Ньютона нахождения корней уравнения $f(x)=0$ с заданной точностью состоит в замене кривой $y=f(x)$ касательной к ней в точке с абсциссой $x_0$, которая считается аппроксимацией корня $x$ подлежащего определению. Если $|x-x_0|<\epsilon$, то отклонение кривой от касательной есть величина порядка ${\epsilon }^2$, приближенное значение корня $x_1$ определяется линеаризованным уравнением
$$f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x_1-x_0)=0$$

и, следовательно, близко к $x$ с точностью до ${\epsilon }^2$ (см. рис. П34.1).
Итерируя описанную операцию, получаем последовательность очень быстро сходящихся приближений:
$$|x_{n+1}-x_n|<C{|x_n-x_{n-1}|}^2;$$

следовательно, в $n$-м приближении
$$|x-x_n|\sim {\epsilon }^{2^{n-1}}.$$

Этот метод легко обобщается на уравнения в банаховых пространствах ${}^1$; но в анализе чаще всего приходится иметь дело с полибанаховыми пространствами, и оператор $f^{\prime }{\left(x_0\right)}^{-1}$ отображает одно пространство в другое. Ситуацию иллюстрирует следующая лемма, которую можно рассматривать как характерный пример. Роль неравенства (П34.2) играет неравенство (П34.4).
Лемма П34.3ㄹ Пусть $L$ — оператор, преобразуюший функиию $f(z)$, аналитическую в некоторой комплексной области $G$, в функию $Lf(z)$, аналитическую в меньшей ${}^3$ области $G-\delta$, так, что при любом $0<\delta <{\delta }_0$
$$|Lf{|}_{G-\delta }<|f{|}_G^2\cdot {\delta }^{-u},$$

где $u>0,{\delta }_0>0$ — абсолютные постоянные. Тогда при любом ${\delta }^{\prime }$ ряд $\sum _s\left|L^{s}f\right|$ сходится в $G-{\delta }^{\prime }$, если $|f{|}_G<M=M\left({\delta }^{\prime }\right)$ достаточно мала.

Доказательство.
Пусть $M_1={\delta }_1^{2u+1}$ и ${\delta }_2={\delta }_1^{3/2},\dots ,{\delta }_{s+1}={\delta }_s^{3/2},\dots ,M_2=M_1^{3/2},\dots$, $M_{s+1}=M_s^{3/2}$, следовательно, $M_s={\delta }_s^{2u+1}$.

Тогда, если ${\delta }_1<\frac{1}{8}$, $\frac{{\delta }^{\prime }}{2}$, то $\sum {\delta }_s<{\delta }^{\prime },\sum M_s<2M_1$.
Пусть теперь $G_1=G,G_2=G_1-{\delta }_1,\dots ,G_{s+1}=G_s-{\delta }_s$.
Тогда из неравенства $|f{|}_G<M_1$ мы заключаем, что ${\left|L^{s}f\right|}_{G_s}<M_s$, так как из неравенства (П34.4) и $|f{|}_{G_s}<M_s$ можно заключить, что
$$|Lf{|}_{G_{s+1}}=|Lf{|}_{G_s-{\delta }_s}<M_s^2{\delta }_s^{-u}<{\delta }_s^{3u+2}<{\delta }_{s+1}^{2u+1}=M_{s+1}.$$

Но, так как $\sum {\delta }_s<{\delta }^{\prime }$, имеем $G_s\supset G-{\delta }^{\prime }$ при всех $s$. Следовательно, в $G-{\delta }^{\prime }$ выполняются неравенства
$$\left|L^{s}f\right|<M_s,\sum \left|L^{s}f\right|<\sum M_s<2M_1.$$

B. Малые знаменатели

Пусть $f(q)$ — функция на торе ${\mathbb{T}}^n,q=(q_1,\dots ,q_n)(mod2\pi )$ :
$$f(q)=\sum _{keq0}{f}_k{e}^{i(k,q)},$$

где $(k,q)=k_1{q}_1+\cdots +k_n{q}_n$, и пусть $\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)$ — вектор с иррациональными компонентами такой, что $(k,\omega )eq{k}_0$ для неравных нулю целых $k,k_0$. Рассмотрим уравнение с неизвестной $2\pi$-периодической функцией $g(q)$ :
$$g(q+\omega )-g(q)=f(q).$$

Это уравнение допускает «формальное» решение
$$g(q)=\sum _{keq0}{g}_k{e}^{i(k,q)},g_k=\frac{f_k}{e^{i(k,\omega )}-1}.$$

Сходимость ряда (П34.6) утверждает следующая лемма.

Лемма П34.7. Предположим, что при $|\mathrm{Im}q|<\rho ,f(q)$ является аналитической функцей и что $|f(q)|<M$. Тогда при почти любом (в смысле Лебега) векторе $\omega$ функция $g(q)$, определяемая рядом (П34.6), — аналитическая, и при $|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta$ выполнено неравенство $|g(q)|<M{\delta }^{-u},u=2n+4$, если $0<\delta <{\delta }_0$. Здесь ${\delta }_0>0$ абсолютная (не зависящая от $n$ ) постоянная.

Доказательство этой леммы ${}^4$ основано на использовании элементарных результатов теории диофантовых аппроксимаций. Действительно, результат леммы П34.7 с ${\delta }_0={\delta }_0(n,k)$ верен для всех $\omega$, принадлежащих введенному выше множеству ${\mathrm{\Omega }}_0(K)$, для которого $K>0$. Обозначим через $\mathrm{\Omega }(K)$ множество точек ${\omega }_0$ таких, что
$$|e^{(k,\omega )}-1|>K{N}^{-u}$$

при всех
$\omega ,|\omega -{\omega }_0|<K{N}^{-u}$
$u=n+2$ и всех $k$, для которых $|k|⩽N$, каким бы ни было число $N$. Обозначим через ${\mathrm{\Omega }}_0(K)$ множество точек $\omega$, удовлетворяющих неравенству
$$|e^{i(k,\omega )}-1|>K|k{|}^{-u},u=n+2.$$

Ясно, что $\mathrm{\Omega }(K)\subset {\mathrm{\Omega }}_0(K)$.

Лемма П34.10. Почти каждая (в смысле Лебега) точка ${\omega }_0$ принадлежит множеству $\mathrm{\Omega }(K)$ с соответствующим $K>0$ (и, следовательно, принадлежит ${\mathrm{\Omega }}_0(K)$ ).

Доказательство.
Пусть $\mathrm{\Omega }$ — конечная область в пространстве $\left\{{\omega }_0\right\}$ и
$${\mathrm{\Gamma }}_{k,d}=\{{\omega }_0:|e^{i(k,\omega )}-1|<\delta \text{ при некотором }\omega ,|\omega -{\omega }_0|<\delta \}.$$

Ясно, что тогда мера $\mathrm{mes}({\mathrm{\Gamma }}_{k,d}\cap \mathrm{\Omega })⩽Cd$, где постоянная $C$ зависит только от $\mathrm{\Omega }$. Вне области $\bigcup _k{\mathrm{\Gamma }}_{k,K|k{|}^{-u}}$ неравенство (П34.8) выполняется. Ho
$$\mathrm{mes}\left(\bigcup _k{\mathrm{\Gamma }}_{k,K|k{|}^{-u}}\right)\cap \mathrm{\Omega }⩽\sum _{k}CK|k{|}^{-u}⩽C^{\prime }K,$$

так как
$$\sum _k|k{|}^{-u}<\mathrm{\infty }\text{ для }u=n+2.$$

Следовательно,
$${\mathrm{mes}}_{k\to 0}\bigcap \overline{\mathrm{\Omega }(K)}=0.$$

Пусть теперь $f(q)=\sum _k{f}_k{e}^{i(k,q)}-$ аналитическая функция.

Лемма П34.11.

А) Если при $|\mathrm{Im}q|<\rho$ имеем $|f(q)|<M$, то $\left|f_k\right|<M{e}^{-p|k|}$.
В) Если $|f_k(q)|<M{e}^{-\rho |k|}$, то при $|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta ,0<\delta <{\delta }_0$ выполняется $|f|<M{\delta }^{-u}$.
C) Если при $|\mathrm{Im}q|<p$ имеем $|f(q)|<M$, то при $|\mathrm{Im}q|<p-\delta$, $0<\delta <{\delta }_0$ выполняется $\left|R_{N}f\right|<M{e}^{-\delta N}\cdot {\delta }^{-u}$. Здесь ${\delta }_0$ и — абсолютные (зависящие только от $n$ ) константы, а $R_N$-остаток ряда Фурье
$$R_{N}f=\sum _{|k|>N}{f}_k{r}^{i(k,q)}.$$

Чтобы доказать п. А, достаточно сместить на $\pm i\rho$ контур интегрирования в формуле
$$f_k=\int f{e}^{-i(k,q)}dq.$$

Доказательства пунктов В и С следуют из суммирования геометрических прогрессий.

Лемма П34.7 следует непосредственно из лемм (П34.10) и (П34.11): необходимо выбрать ${\omega }_0\in {\mathrm{\Omega }}_0(K)$, воспользоваться соотношениями (П34.6), (П34.9), пунктами А и В из леммы П34.11 и элементарным неравенством
$$e^{-|k|\delta }\cdot |k{|}^{-u}<C(u){\delta }^{-u}.$$

Затем достаточно выбрать ${\delta }_0<\frac{K}{C(u)}$, что бы получить лемму П34.7. Более подробно доказательство изложено в работе [1] В. И. Арнольда. ЗАМЕчанИЕ П34.12. Предположим, что ${\omega }_0\in \mathrm{\Omega }(K)$ и что $f_k=0$ при $|k|>N$. Тогда ряд (П34.6) становится конечной суммой зависящей от $\omega$. Кроме того, утверждение леммы $\mathrm{\Pi }34.7$ с тем же ${\delta }_0=\delta (K,n)$ остается в силе при всех ${\omega }^{\prime }$ таких, что $|\omega -{\omega }^{\prime }|<K{N}^{-u}$. Если $\omega \in \mathrm{\Omega }(K)$, то, по определению (П34.8), все ${\omega }^{\prime },|\omega -{\omega }^{\prime }|<K{N}^{-u}$, удовлетворяют неравенству (П34.9) при $|k|⩽N$; но доказательство леммы П34.7 использует неравенство (П34.9) лишь при $|k|⩽N$, если $f_k=0$ при $|k|>N$.

С. Набросок доказательства

Напомним обозначения теоремы (21.11) ( 21 , гл. 4). Пусть $\mathrm{\Omega }=$ $=B^n\times {\mathbb{T}}^n$ есть область канонического пространства, точку $x$ из $\mathrm{\Omega }$ обозначим через $x=(p,q)$, где $p=(p_1,\dots ,p_n)$ — точка евклидова

шара $B^n,q=(q_1,\dots ,q_n)(mod2\pi )$ — точка на торе ${\mathbb{T}}^n$. Отображение $\mathbf{A}:p,q\to p,q+\omega (p)$ — «невозмущенное». Отображение В с производящей функцией (см. приложение 32$)Pq+B(P,q$ ) представляет собой глобально каноническое, аналитическое, слабо возмущенное отображение. Требуется найти инвариантные торы отображения ВА.

Следующая идея заимствована из теории возмущений (приложение 30) и заключается в том, чтобы попытаться «уничтожить» возмущение В путем замены переменных (с помощью подходящего канонического отображения $\mathbf{C}$ ) с производящей функцией $Pq+C(p,q)$. Отображение ВА в координатах $\mathbf{C}x$ записывается в виде
$$\mathbf{C}(\mathbf{B}\mathbf{A}){\mathbf{C}}^{-1}={\mathbf{B}}^{\prime }\mathbf{A},$$

где ${\mathbf{B}}^{\prime }={\mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$. Таким образом, из следствия (П33.20) приложения 32 мы заключаем, что производящая функция отображения ${\mathbf{B}}^{\prime }$ имеет вид
$$Pq+B^{\prime }(p,q)\text{ где }{B}^{\prime }(x)=C(x)+B(x)-C\left({\mathbf{A}}^{-1}x\right)+O(B^2+C^2)$$

что позволяет «уничтожить» отображение $\mathbf{B}$ при условии $C$
$$C(x)+B(x)-C\left({\mathbf{A}}^{-1}x\right)=0.$$

Заметим теперь, что это уравнение при любом фиксированном $p$ по форме в точности совпадает с уравнением (П34.5) (с $\omega =\omega (p),f=-B$, $g=C$ ). Достаточно получить теперь в области ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }\subset \mathrm{\Omega }$ (но «слишком малой») неравенства
$${\left|B^{\prime }\right|}_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}<|B{|}_{\mathrm{\Omega }}^2{\delta }^{-u},|C{|}_{{\mathrm{\Omega }}^{\prime }}<|B{|}_{\mathrm{\Omega }}{\delta }^{-u},$$

чтобы построить последовательные приближения инвариантных торов во все более малых областях. Сходимость при этом доказывается как в лемме ПЗ34.3. Неравенства (II34.13) доказываются с использованием леммы П34.7; они имеют место «далеко от резонансов», т.е. при $\omega (p)\in \mathrm{\Omega }(K)$.

Чтобы реализовать намеченную в п. Е-Н в общих чертах программу, нам придется прибегнуть к еще нескольким небольшим «трюкам». Прежде всего, оказывается, что при «уничтожении» отображения В удобно ограничиться уничтожением конечного числа членов ряда Фурье: остаток ряда $R_{N}B$ может рассматриваться как часть «членов высшего порядка» $O\left(B^2\right),O\left(C^2\right)$. Таким образом, в каждом приближении

мы имеем в (П34.6) лишь конечное число резонансов и малых знаменателей ${}^5$. С другой стороны, чтобы воспользоваться леммой П34.7, необходимо прежде всего исключить постоянный член $B_0$ (среднее значение от $B$ по $q$ ), а затем добавить «невозмущенное» отображение $A$ (вариацию частот см. ниже раздел $\mathrm{E}$ ).

Наконец, заметим, что как показал Мозер [4], метод Колмогорова, модифицированный подходящим выбором числа членов, оставляемых в каждом приближении, остается сходящимся и при неаналитических отображениях. Действительно, Мозер [1] доказал теорему 21.11 для случая $n=1$ (отображения плоскости) в предположении, что отображение $B$ дифференцируемо 333 раза. Недавно Мозер [6] дал доказательство, которое требует ограниченное число производных.

D. Канонические отображения, близкие к тождественному

В этом разделе мы воспользуемся следующими обозначениями.
Пусть $F(\delta ,M)$ — любая функция, $\alpha$ — некоторое утверждение, в которое входят $\delta ,M$ и $F$. Будем говорить, что « $\alpha$ истинно $u|F|⋚M$ », если существуют абсолютные константы ${}^6{u}_1,u_2>0$ и ${\delta }_0>0$ такие, что
$$\alpha \text{ истинно, и }|F|⩽M{\delta }^{-u_2}$$

лишь при условии, что $0<\delta <{\delta }_0,M<{\delta }^{u_1}$.

Лемма П34.15. Пусть $G$ — некоторая комплексная область и $f(z)$ функция, аналитическая в $G$, которая удовлетворяет неравенству $|f(z)|<M$. Тогда при $z\in G-\delta$ производная $k$-го порядка аналитична и
$$\left|\frac{d^{k}f}{d{z}^k}\right|\lesssim M\text{. }$$

Доказательство.
Из формулы Коши
$$\left|\frac{d^{k}f}{d{z}^k}\right|=\frac{k!}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{F(\xi )d\xi }{(\xi -z{)}^{k+1}},\gamma :|\xi -z|=\delta ,$$

следует, что
$$\left|\frac{d^{k}f}{d{z}^k}\right|⩽k!M{\delta }^{-k},$$

и мы получаем (П34.14) с
\[

u_{2}=k+1, \quad \delta_{0}=\frac{1}{k !}, \quad
u_{1}=0 .
\]

Здесь
$$F(\delta ,M)=\underset{f,G,x\in G-\delta }{sup}\left|\frac{d^{k}f}{d{z}^k}\right|,$$

где sup берется по всем ограниченным областям $G$, всем аналитическим функциям $f$ в $G(|f|<M)$ и всем $z\in G-\delta$.

Заметим, что в наших обозначениях $CM{\delta }^{-u}\lesssim M$ и что из неравенств $F⋚M$ и $G⋚M$ следуют неравенства $F+G⋚M,FG⋚M^2$. Таким образом, если $F(\delta ,M)⋚M$, то $F(C\delta ,M)⋚M$ (здесь $C$ и $u-$ абсолютные положительные постоянные).

Уточним теперь соотношения между глобальными каноническими отображениями $\mathbf{S}$, близкими к тождественному отображению, и их производящими функциями $Pq+S(P,q)$. Пусть
$$\begin{array}{c}\mathrm{\Omega }=B^n\times {\mathbb{T}}^n,B^n=\{p:|p|<\gamma ,p\in {\mathbb{R}}^n\},\\ {\mathbb{T}}^n=\{q(mod2\pi ),q=(q_1,\dots ,q_n)\},\end{array}$$

и $[\mathrm{\Omega }]$ — комплексная область в $\mathrm{\Omega }$, задаваемая неравенствами $|p|<\gamma$, $|\mathrm{Im}q|<\rho$, где $0<\gamma <1,0<\rho <1$.

Лемма П34.16. Пусть $S(P,q)$ — функция, аналитическая в $[\mathrm{\Omega }]$, удовлетворяющая неравенству $|S(P,q)|<M$. Тогда формулы
$$p=P+\frac{\partial S}{\partial q},Q=q+\frac{\partial S}{\partial P},S=S(P,q)$$

определяют глобальный канонический диффеоморфизм $\mathbf{S}$ :
$$P=P(p,q),Q=Q(p,q);\mathbf{S}:[\mathrm{\Omega }]-2\delta \to [\mathrm{\Omega }]-\delta$$

и в $[\mathrm{\Omega }]-2\delta$ справедливы неравенства
$$\begin{array}{l}|(P-p)-\frac{\partial S(p,q)}{\partial p}|\lesssim M^2,\\ |(Q-q)+\frac{\partial S(p,q)}{\partial q}|⋚M^2.\end{array}$$

Лемма П34.18. Пусть $P=P(p,q),Q=Q(p,q)$ — глобальное каноническое отображение, аналитическое в $[\mathrm{\Omega }]$, где оно удовлетворяет неравенствам $|P-p|<M,|Q-q|<M$. Тогда в $\mathrm{\Omega }-\delta$ это отображение определяется формулами (П34.17), где $S$ — аналитическая функиия, удовлетворяюшал неравенствам
$$|S|\lesssim M,|S(p,q)-{\int }^{(p,q)}(Q-q)dp-(P-p)dq|\lesssim M^2.$$

Лемма П34.19. Если $S(p,q)$ и $T(p,q)$ — две функции, аналитические в $[\mathrm{\Omega }]$, где они удовлетворяют неравенствам $|S|<M,|T|<M$, то произведение соответствующих канонических отображений $\mathbf{R}=\mathbf{S}\mathbf{T}$ есть глобальный канонический диффеоморфизм области $[\mathrm{\Omega }]-3\delta$ в область $[\mathrm{\Omega }]-2\delta$, определяемый производящей функцией $R$, аналитической в $[\mathrm{\Omega }]-\delta$, где она удовлетворяет неравенству $|R-(S+T)|⋚M^2$.

Пусть теперь $\mathbf{A}:[\mathrm{\Omega }]\to \left[{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right]$ — аналитический глобально канонический диффеоморфизм (область $\left[{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right]$ задается неравенствами $|p|<{\gamma }^{\prime }$, $|\mathrm{Im}q|<{\rho }^{\prime },0<{\gamma }^{\prime },{\rho }^{\prime }<1)$. Пусть $a^{-1}|y-x|<|A(y)-A(x)|<a|y-x|$, $S$ — функция, аналитическая в $[\mathrm{\Omega }],\mathbf{S}$ — диффеоморфизм, который соответствует ей по лемме (П34.16).
Лемма П34.20. Формула $\mathbf{T}={\mathbf{A}\mathbf{S}\mathbf{A}}^{-1}$ задает глобальный канонический диффеоморфизм области $\left[{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right]-3\delta$ в область $\left[{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right]-2\delta$, задаваемый производящей функцией $T$, аналитической в $\left[{\mathrm{\Omega }}^{\prime }\right]-\delta$, где она удовлетворяет неравенству ${}^7$
$$|T(\mathbf{A}x)-S(x)|\lesssim M^2.$$

Доказательства предшествующих лемм воспроизводят доказательства из приложения 32 , используя лемму (П34.15) для вычисления членов порядка $O\left({\epsilon }^2\right)$. Подробности см. в работах Арнольда [4], [5].

Е. Вариация частоты

Приступим теперь к построению инвариантных торов отображения ВА (см. теорему 21.11, гл. 4).

Чтобы понять выкладки, приводимые в разделах $\mathrm{E}-\mathrm{H}$, полезно иметь в виду, что положительные числа $\beta ,\gamma ,\delta ,M$ и $\rho ,K,\theta$ связаны неравенствами
$$O<M\ll \delta \ll \gamma \ll \beta \ll \rho ,K,{\theta }^{-1}<1,$$

и что $u_i,c_i$ — абсолютные постоянные, $u>1>c$.

Построение вариации частоты П34.21

Пусть А и В — два глобальных канонических отображения
$$\mathbf{A}:p,q\to p,q+\omega (q),$$

и В с производящей функцией $Pq+B(P,q)$. Положим
$$\begin{array}{c}\overline{B}(p)=(2\pi {)}^{-n}\int \dots \int B(p,q)d{q}_1\dots d{q}_n,\\ {\omega }_1(p)=\omega (p)+\frac{\partial \overline{B}}{\partial p}\end{array}$$

Рис. П 34.22
и рассмотрим канонические отображения (см. рис. П34.22):
$${\mathbf{A}}_1:p,q\to p,q+{\omega }_1(p),{\mathbf{B}}^{\prime }={\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{A}}_1^{-1}.$$

Ясно, что
$$\mathbf{B}\mathbf{A}={\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}_1.$$

Лемма о вариации частот П34.23. Предположим, что в области $|p-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<p$ выполняются неравенства ${\theta }^{-1}|dp|<|d\omega |<$ $<\theta |dp|u|B(p,q)|<M$.

Тогда для глобального канонического отображения ${\mathbf{B}}^{\prime }$ с производящей функцией $Pq+B^{\prime }(P,q)$ такой, что при $|p-p^{\ast }|<\gamma -\delta ,|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta$ справедливы неравенства ${}^8$
$$|{\omega }_1(p)-\omega (p)|\lesssim M,\left|B^{\prime }\right|\lesssim M,\left|{\overline{B}}^{\prime }\right|\lesssim M^2,$$

где
$${\overline{B}}^{\prime }=(2\pi {)}^{-n}\int \dots \int B^{\prime }(p,q)d{q}_1\dots d{q}_n.$$

Доказательство.

Достаточно применить лемму (П34.19) к отображениям В и ${\mathbf{A}\mathbf{A}}_1^{-1}$ : $p,q\to p,q-\frac{\partial \overline{B}}{\partial p}$, чтобы получить неравенство $|B^{\prime }-(B-\overline{B})|\lesssim M^2$.

F. Главная лемма

Воспользуемся теперь оценками для малых знаменателей (раздел В), чтобы получить неравенства типа $\left|B_1\right|⋚M^2$ после подходящей замены переменных $\mathbf{C}$.

Главная конструкция П34.24

Пусть А и В — глобальные канонические отображения:
$$\mathbf{A}:p,q\to p,q+{\omega }_1(p)$$

отображение В определяется производящей функцией $Pq+B(P,q)$, где
$$B(P,q)=\overline{B}(P)+\sum _{keq0}{B}_k(P)e^{i(k,q)},$$

Пусть $N$ — положительное целое число. Положим
$$\begin{array}{c}C(P,q)=\sum _{0<|k|⩽N}{C}_k(P)e^{i(k,q)},\\ C_k(P)=\frac{B_k(P)}{e^{-i(k,{\omega }_1(P))}-1}.\end{array}$$

Обозначим через С глобальное каноническое отображение, определяемое производящей функцией $Pq+C(P,q)$, и рассмотрим глобальное каноническое отображение ${\mathbf{B}}_1={\mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$. Ясно, что
$${\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}\mathbf{A}=\mathbf{C}(\mathbf{B}\mathbf{A}){\mathbf{C}}^{-1}$$
(см. рис. П34.26). Заметим, что $\mathbf{A}\gg \sim \mathbf{B}\mathbf{C}\gg {\mathbf{B}}_1$.
Рис. П34.26

Главная лемма П34.27

Лемма 1. Предположим, что в области $|p-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<\rho$ функции ${\omega }_1(p),B(p,q)$ — аналитические и удовлетворяют неравенствам
$$\begin{array}{rl}{\theta }^{-1}|dp|& <|d{\omega }_1(p)|<\theta |dp|,\\ |B(p,q)|& <M,|\overline{B}(p)|<\overline{M}.\end{array}$$

Предположим также, что ${\omega }^{\ast }={\omega }_1\left(p^{\ast }\right)$ принадлежит множеству $\mathrm{\Omega }(K)$ из леммы (П34.10). Тогда
1) функция $C(P,q)$ аналитична при $|P-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta$ и удовлетворяет в этой области неравенству
$$|C(P,q)|<M{\delta }^{-u_1};$$
2) производящая функция $Pq+B_1(P,q)$ аналитического отображения ${\mathbf{B}}_1$ удовлетворяет в области $|P-p^{\ast }|<\gamma -\delta ,|\mathrm{Im}q|<\rho -\beta$ неравенству
$$|B_1(P,q)|<M^2{\delta }^{-u_1}+\overline{M}+M{e}^{-\beta N}{\beta }^{-u_1}$$

при условии, что (в случае 1 и 2)
$$\overline{M}<M<{\delta }^{u_2};\delta <C_1\gamma ,\gamma <C_2\beta ,\beta <C_3,\gamma <C_4{N}^{-(n+2)},$$

где $u_1,u_2>1>C_1,C_2,C_3,C_4>0$ — абсолютные постоянные ${}^9$.
Доказательство.
Из неравенств $|d\omega |<\theta |dp|$ и $\gamma <C_4{N}^{-(n+2)}$, где $C_4<\frac{K}{\theta }$, следует, что все ${\omega }_1(p)$ из области $|p-p^{\ast }|<\gamma$ удовлетворяют неравенству $|\omega -{\omega }^{\ast }|<K{N}^{-(n+2)}$. Следовательно, в силу заключительного примечания из раздела $B$ утверждение леммы П 34.7 имеет место для тригонометрической суммы $C$. Пусть ${\delta }_0={\delta }_0(n,K)$ — постоянная, упомянутая в лемме П34.7. Тогда, если $C_3<{\delta }_0$, то $\delta <{\delta }_0$; таким образом, лемма ПІ34.7 утверждает, что $|C|<M{\delta }^{-u_1}$ при $|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta$. Более точно, это составляет п. 1 нашей леммы.

Заметим далее, что $|\mathrm{Im}\omega (p)|<\theta \gamma <\beta$, если постоянная $C_2$ (в неравенстве $\gamma <C_2\beta$ ) достаточно мала. При этих условиях отображения $\mathbf{A}$ и ${\mathbf{A}}^{-1}$ являются диффеоморфизмами:
$$\{p,q||p-p^{\ast }|<{\gamma }^{\prime },|\mathrm{Im}q\mid <{\rho }^{\prime }\}\to \{p,q||p-p^{\ast }|<{\gamma }^{\prime \prime },|\mathrm{Im}q\mid <{\rho }^{\prime \prime }\}$$

при ${\rho }^{\prime \prime }<{\rho }^{\prime }+\theta \gamma <\rho$. Это позволяет применить лемму П 34.20 к $\mathbf{A}{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$. Кроме того, если $u_1$ и $u_2$ (в неравенстве $M<{\delta }^{u_2}$ ) достаточно велики, а постоянная $C_3$ (в неравенстве $\delta <\beta <C_3$ ) достаточно мала, то соотношения § из лемм $І34.16,18,19,20$ принимают вид неравенства $<M{\delta }^{-u_1}$.

Из лемм $\mathrm{\Pi }34.16,18,19,20$ следует, что в условиях главной леммы с подходящим образом выбранными постоянными $C,u$ отображение ${\mathbf{B}}_1={\mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$ задается производящей функцией $Pq+B_1(p,q)$, где $B_1(p,q)$ — аналитическая функция при $|P-p^{\ast }|<\gamma -\delta ,|\mathrm{Im}q|<\rho -\beta$ и что в этой области
$$|B_1(x)-(B(x)+C(x)-C\left({\mathbf{A}}^{-1}x\right))|<M^2{\delta }^{-u_1}.$$

Но по формуле (П34.25) справедливо соотношение
$$B(x)+C(x)-C\left({\mathbf{A}}^{-1}x\right)=\overline{B}+R_{N}B,$$

а по утверждению $C$ леммы П34.11 при
$$|\mathrm{Im}q|<\rho -\beta <\rho -\delta$$

справедливо неравенство
$$\left|R_{N}B\right|<M{e}^{-\beta N}{\beta }^{-u_1}.$$

Так как $|\overline{B}|<\overline{M}$, из формул (П34.30, 31, 32) следует (П34.28).

G. Индуктивная лемма

Построение инвариантных торов опирается на итерационную процедуру, каждый шаг который основан на следующей конструкции.

Индуктивное построение П34.33

Пусть А и В — два канонических преобразования
$$\mathbf{A}:p,q\to p,q+\omega (p).$$

Преобразование В задается производящей функцией $Pq+B(p,q)$, $N$ — положительное целое число. Выполнив вариацию частоты (раздел Е), получаем:
$${\mathbf{A}}_1:p,q\to p,q+{\omega }_1(p).$$

и отображение ${\mathbf{B}}^{\prime }$, задаваемое производящей функцией $Pq+B^{\prime }(p,q)$ такое, что $\mathbf{B}\mathbf{A}={\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}_1$.

Применим теперь основное построение раздела $\mathrm{F}$ к отображениям ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{B}}^{\prime }$. Мы получим канонические отображения $\mathbf{C}$ и ${\mathbf{B}}_1=$ $={\mathbf{C}\mathbf{B}}^{\prime }{\mathbf{A}}_1{\mathbf{C}}^{-1}{\mathbf{A}}_1^{-1}$; таким образом (см. рис. П134.34),
$${\mathbf{B}}_1{\mathbf{A}}_1=\mathbf{C}(\mathbf{B}\mathbf{A}){\mathbf{C}}^{-1}$$
Рис. П3 34.34

Индуктивная лемма П34.35

Предположим, что в области $|p-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<\rho$ справедливы неравенства
$$\begin{array}{c}{\theta }^{-1}|dp|<|d\omega |<\theta |dp|,\theta <{\theta }_0,\\ |B(p,q)|<M,\omega \left(p^{\ast }\right)={\omega }^{\ast }\in \mathrm{\Omega }(K).\end{array}$$

Определим $p_1^{\ast }$ из соотношения ${\omega }_1\left(p_1^{\ast }\right)={\omega }^{\ast }$. Пусть $Pq+B_1(p,q),Pq+$ $+C(p,q)$ — производящие функции отображений ${\mathbf{B}}_1$ и $\mathbf{C}$. Тогда:
1) в области $|P-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<\rho -\delta$ функция $C(p,q)$ аналитическая и $|C|<M{\delta }^{-u_1}$;
2) область $|P-p_1^{\ast }|<{\gamma }_1,|\mathrm{Im}q|<{\rho }_1=\rho -\beta$ составляет часть области $|P-p^{\ast }|<\gamma ,|\mathrm{Im}q|<\rho$. В самой малой из таких областей функция $B_1$ является аналитической и $\left|B_1\right|<M^2{\delta }^{-u_1}+M{e}^{-\beta N}{\beta }^{-u_1}$;
3) ${\theta }_1^{-1}|dp|<\left|d{\omega }_1\right|<{\theta }_1|dp|,|{\theta }_1-\theta |<\delta ,|{\omega }_1-\omega |<\delta$ при условии, что $M<{\delta }^{u_1};\delta <C_1\gamma ,\gamma <C_2\beta ,\beta <C_3;\gamma <C_4{N}^{-(n+2)},{\gamma }_1<C_5\gamma$, где постоянные $u_1,u_2,u_3,u_4>1>C_1,C_2,C_3,C_4,C_5>0$ — абсолютные постоянные, то есть зависят лишь от размерности $n$, постоянных ${\theta }_0$ и $К$, но не зависят от $B,\omega ,\theta ,M$ и т.д.
Доказательство.
Доказательство индуктивной леммы непосредственно следует из двух предыдущих лемм. Двумя новыми моментами являются следующие.
1) Существование $p_1^{\ast }$.
Существование $p_1^{\ast }$ вместе с неравенством $\left|p_1^{\ast }\right|<C_5\gamma$ следует из неравенств
$$\left|d{\omega }_s\right|<{\theta }_0^{-1}|dp|,|{\omega }_1-\omega |<M{\delta }^{-u},|\frac{{\omega }_1}{p}-\frac{\omega }{p}|<M{\delta }^{-u}$$
(см. раздел Е) и неравенства $M{\delta }^{-u}<C_6\gamma$ (которое получается из неравенства $M{\delta }^{-u}<{\delta }^{u_2-u}<C_6\gamma$ при достаточно большом $u_2$ ).

Принимая во внимание, что ${\gamma }_1<C_4\gamma$, заключаем, что область $|p-p_1^{\ast }|<{\gamma }_1$ содержится в области $|p-p^{\ast }|<\gamma -\delta$ (так как $\delta <C_1\gamma$ ).
2) Оценка для функции $B_1$.
Из раздела Е следует, что среднее функции $B^{\prime }$ удовлетворяет неравенству $\left|{\overline{B}}^{\prime }\right|<M^2{\delta }^{-u}=\overline{M}$.
Подставляя $\overline{M}$ в соотношение (П34.28) основной леммы, получаем:
$$M^2{\delta }^{-u_1}+\overline{M}<M^2{\delta }^{-u_4}.$$

Н. Доказательство теоремы 21.11 (см. гл. 4)

Построение Пз4.36

Инвариантный тор $T\left({\omega }^{\ast }\right)$ отображения $\mathbf{B}\mathbf{A}$, соответствующего частоте ${\omega }^{\ast }$, мы строим с помощью метода, изложенного в предыдущем разделе, и зависящего от последовательности $0<N_1<N_2<\dots <N_S<\dots$, $N_S\to \mathrm{\infty }$. Эту последовательность мы уточним в дальнейшем.

После того, как последовательность $N_S$ выбрана, построение производится следующим образом. Мы полагаем ${\mathbf{A}}_1=\mathbf{A},{\mathbf{B}}_1=\mathbf{B},N_1=N$ и используем индуктивное построение из предыдущего раздела G. Эта конструкция определяет канонические отображения, которые мы обозначим ${\mathbf{C}}_1,{\mathbf{A}}_2,{\mathbf{B}}_2$; имеем:
$${\mathbf{B}}_2{\mathbf{A}}_2={\mathbf{C}}_1\left({\mathbf{B}}_1{\mathbf{A}}_1\right){\mathbf{C}}_1^{-1}.$$
(a) Рис. ПЗ34.37
Используя ту же конструкцию с ${\mathbf{A}}_2=\mathbf{A},{\mathbf{B}}_2=\mathbf{B},N_2=N$, мы получаем ${\mathbf{A}}_3{\mathbf{B}}_3{\mathbf{C}}_2$ и т. д. Если ${\mathbf{A}}_s,{\mathbf{B}}_s$ построены, конструкция, изложенная в разделе $\mathrm{G}$, с $\mathbf{A}={\mathbf{A}}_s,\mathbf{B}={\mathbf{B}}_s,N=N_s$ позволяет найти ${\mathbf{C}}_s,{\mathbf{A}}_{s+1},{\mathbf{B}}_{s+1}$ (см. рис. ПЗ34.37):
$${\mathbf{B}}_{s+1}{\mathbf{A}}_{s+1}={\mathbf{C}}_s\left({\mathbf{B}}_s{\mathbf{A}}_s\right){\mathbf{C}}_s^{-1}.$$

Эта конструкция определяет также точки $p_s^{\ast },{\omega }_s\left(p_s^{\ast }\right)={\omega }^{\ast }$. Обозначим теперь через $T_s\left({\omega }^{\ast }\right)$ тор $p=p_s^{\ast }$. На таком торе отображение ${\mathbf{A}}_s$

представляет собой трансляцию, определяемую частотой ${\omega }^{\ast }$. Обозначим $p_{\mathrm{\infty }}^{\ast }=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_s$, и пусть $T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ — тор $p=p_s^{\ast }$, а ${\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}$ — отображение
$${\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}:T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }\to T_{\mathrm{\infty }}^{\ast },{\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}q=q+{\omega }^{\ast }.$$

Наконец, обозначим
$${\mathbf{D}}_s={\mathbf{C}}_1^{-1}{\mathbf{C}}_2^{-1}\dots {\mathbf{C}}_{s-1}^{-1},\mathbf{D}=\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathbf{D}}_s.$$

Тор, инвариантный относительно ВА, задается соотношением
$$T\left({\omega }^{\ast }\right)=D{T}_{\mathrm{\infty }}^{\ast }.$$

Докажем теперь, что рассматриваемые пределы существуют и что на $T\left({\omega }^{\ast }\right)$ выполняется соотношение $\mathbf{D}{\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}=\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{D}$.

Сходимость П34.38 ведливы неравенства
$${\theta }^{-1}|dp|<|d\omega (p)|<\theta |dp|.$$

Предположим, что ${\omega }^{\ast }$ принадлежит $\mathrm{\Omega }(K)$. По лемме (П34.10) почти любая частота ${\omega }^{\ast }$ принадлежит $\mathrm{\Omega }(K)$ при некотором $K>0$. Положим ${\theta }_0=2\theta$ и определим последовательность постоянных с помощью соотношений
$${\delta }_1=\delta >0,{\delta }_2={\delta }_1^{3/2},{\delta }_3={\delta }_2^{3/2},\dots ,{\delta }_{s+1}={\delta }_s^{3/2},\dots$$

Положим
$${\gamma }_s={\delta }_s^{1/2},{\beta }_s={\gamma }_s^{1/4(n+2)},N_s={\beta }_s^{-2}={\gamma }_s^{-1/2(n+2)}.$$

Тогда
$${\gamma }_{s+1}={\gamma }_s^{3/2},{\beta }_{s+1}={\beta }_s^{3/2},N_{s+1}=N_s^{3/2}.$$

Чтобы определить все эти числа, достаточно выбрать $\delta$. Обозначим через $\alpha$ положительную постоянную, достаточно большую для того, чтобы было выполнено
$$\alpha >u_2,\alpha >2u_4+1,\alpha >u_1+2.$$

Если $\delta <C$ (где $0<C<\frac{1}{10}$ — абсолютная постоянная, т.е. зависит только от $n,K,{\theta }_0,\alpha$ и постоянных $u_k,C_k$, которые входят в индуктивную лемму), то, как нетрудно видеть,
1)
$$\sum {\beta }_s<\frac{1}{10}\rho$$
2)
$$\sum {\delta }_s<\theta$$
3) при всех $s=1,2,\dots$ имеют место неравенства
$$\begin{array}{c}{\delta }_s<C_1{\gamma }_s,{\gamma }_s<C_2{\beta }_s,{\beta }_s<C_3,\\ {\gamma }_s<C_4{N}_s^{-(n+2)},{\gamma }_{s+1}<C_5{\gamma }_1,\end{array}$$

где $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5$ — постоянные из индуктивной леммы, зависящие от $K$ и $\theta$, выбранных выше;
4)
$$e^{-{\beta }_s{N}_s}=e^{-\frac{1}{{\beta }_s}}<{\delta }_s^{(\frac{\alpha }{2}+u_1)+1}.$$

Постоянная $\delta$ удовлетворяет неравенству $\theta <\delta <C$. Теперь числа $N_s$, от которых зависит наше построение, полностью определены.

Предположим теперь, что наше отображение ${\mathbf{B}}_1=\mathbf{B}$ имеет производящую функцию $Pq+B_1(P,q)$, которая удовлетворяет в $|p-p_1^{\ast }|<{\gamma }_1,|\mathrm{Im}q|<{\rho }_1=\frac{1}{2}\rho$ неравенству $\left|B_1\right|<M_1={\delta }_1^{\alpha }$. По лемме $П34.18$ это неравенство выполняется, если $\epsilon$ в условиях теоремы 21.11 (гл. 4) достаточно мало. Принимая во внимание неравенства (П34.41), нетрудно понять, что условия индуктивной леммы выполняются при $\mathbf{A}={\mathbf{A}}_1,\mathbf{B}={\mathbf{B}}_1$ (так как $\alpha >u_2$ ). Следовательно, индуктивная лемма позволяет нам найти ${\mathbf{A}}_2,{\mathbf{B}}_2,{\mathbf{C}}_2,p_2^{\ast }$ и т.д.

Докажем теперь, что в области $|p-p_2^{\ast }|<{\gamma }_2,|\mathrm{Im}q|<{\rho }_2={\rho }_1-{\beta }_1$ отображения ${\mathbf{B}}_2,{\mathbf{A}}_2$ снова удовлетворнют всем условиям индуктивной леммы.

Действительно, из (П34.39) следует, что ${\rho }_2>0$; из (П34.40) и третьей части индуктивной леммы мы заключаем, что ${\mathbf{A}}_2$ удовлетворяет неравенствам
$${\theta }_2^{-1}|dp|<|d{\omega }_2(p)|<{\theta }_2|dp|\text{ с }{\theta }_2<{\theta }_0.$$

Наконец, в силу второй части индуктивной леммы, из неравенств (П34.42) и $\alpha >2u_4+1,\alpha >u_1+2$ получаем
$$\left|B_2\right|<M_1^2{\delta }_1^{-{\gamma }_4}+M_1{e}^{-{\beta }_1{N}_1}\cdot {\delta }^{-u_1}<{\delta }_1^{2\alpha -u_4}+{\delta }_1^{3/2(\alpha +1)}<{\delta }_1^{3/2\alpha };$$

иначе говоря,
$$\left|B_2\right|<M_2={\delta }_2^{\alpha }.$$

Таким образом, все условия индуктивной теоремы выполнены и для ${\mathbf{B}}_2$ и ${\mathbf{A}}_2$.

Повторяя те же рассуждения, получаем $\left|B_s\right|<M_s={\delta }_s^{\alpha }$ в области $|p-p_s^{\ast }|<{\gamma }_s,|\mathrm{Im}q|<{\rho }_s$.

Пусть $G_s$ — область $|p-p_s^{\ast }|<{\gamma }_s,|\mathrm{Im}q|<{\rho }_s$. Тогда диффеоморфизмы ${\mathbf{C}}_s^{-1}$ отображают $G_{s+1}$ в $G_s$, и в смысле $C^1$-нормы в $G_{s+1}$ справедливо неравенство
$${\Vert {\mathbf{C}}_s^{-1}-\mathbf{E}\Vert }_{C_1}<{\delta }_s,$$

где $\mathbf{E}$ — тождественное отображение.
Точка $p_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ есть пересечение шаров $|p-p_s^{\ast }|<{\gamma }_s,s\to \mathrm{\infty }$. Из оценки (П34.43) немедленно следует сходимость отображений ${\mathbf{D}}_s,s\to \mathrm{\infty }$, на торе
$$T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }=\bigcap _{s⩾1}{G}_s.$$

Из неравенств $\left|B_s\right|<{\delta }_s^{\alpha }$ следует, что на торе $T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ выполняется
$$|{\mathbf{D}}_s^{-1}{\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{D}}_s-{\mathbf{A}}_s|=|{\mathbf{B}}_s{\mathbf{A}}_s-{\mathbf{A}}_s|\to 0\text{ при }s\to \mathrm{\infty }.$$

Наконец, из $|\omega s+1-{\omega }_s|<{\delta }_s$ следует сходимость на $T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ отображений ${\mathbf{A}}_s$ :
$$\underset{s\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathbf{A}}_s={\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}:q\to q+{\omega }^{\ast }.$$

Следовательно, на $T_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ выполняется
$${\mathbf{D}}^{-1}(\mathbf{B}\mathbf{A})\mathbf{D}={\mathbf{A}}_{\mathrm{\infty }}.$$