Пусть $A$ — аналитическое каноническое отображение плоскости $p,q$, оставляющее неподвижной точку $O=(0,0)$. Предположим, что $O$ — эллиптическая точка, т.е. что дифференциал отображения $A$ имеет в $O$ собственные значения ${\lambda }_1=e^{-i\alpha },{\lambda }_2=e^{i\alpha }$.

Дж. Д. Биркгоф ${}^1$ доказал, что если $\alpha$ несоизмеримо с $2\pi$, то при любом $s>0$ существует каноническое отображение $B=B(s)$ окрестности точки $O$ :
$$B:p,q\to P,Q,B(O)=O,$$

такое, что в координатах $P,Q$ отображение $A$ представимо в следующей «нормальной форме»:
$$A^{\prime }=BA{B}^{-1}:P,Q\to P^{\prime },Q^{\prime }.$$

Пусть $I,\phi$ — канонические полярные координаты:
$$\begin{array}{l}2I=P^2+Q^2,\phi =\mathrm{arctg}\left(\frac{P}{Q}\right),\\ 2I^{\prime }=P^{\prime 2}+Q^{\prime 2},{\phi }^{\prime }=\mathrm{arctg}\left(\frac{P^{\prime }}{Q^{\prime }}\right).\end{array}$$

Тогда
$$\begin{array}{rl}{I}^{\prime }-I& =O\left(I^{n+1}\right),\\ {\phi }^{\prime }-\phi & =\alpha +{\alpha }_{1}I+{\alpha }_2{I}^2+\dots +{\alpha }_n{I}^n+O\left(I^{n+1}\right).\end{array}$$

Коэффициенты $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$ — инварианты канонических преобразований, т. е. не зависят от $B$. Если $\alpha eq2\pi \frac{m}{n}$ и среди ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$ найдется отличный от нуля коэффициент, то Биркгоф называет преобразование $A$ «общим эллиптическим отображением».

Теорема П28.2 ${}^2$ Неподвижная точка общего эллиптического отображения устойчива.

Доказательство.
Доказательство состоит в применении конструкции доказательства теоремы 21.11 из гл. 4 (см. приложение 34) к преобразованию (П28.1), где $O\left(I^{n+1}\right)$ при $I\ll 1$ рассматривается как возмущение отображения
$$I^{\prime }=I,{\phi }^{\prime }=\phi +\alpha +{\alpha }_{1}I+\dots +{\alpha }_n{I}^n.$$

Аналогичные теоремы можно доказать и относительно устойчивости положений равновесия и эллиптических периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. В. И. Арнольд [7]).
Наиболее сильный результат был получен Ю. Мозером [1].

Теорема П28.3 (Мозер). Неподвижная точка канонического эллиптического отображения А плоскости устойчива, если:

1) $\alpha eq2\pi \frac{m}{3},2\pi \frac{m}{4}$
2) ${\alpha }_{1}eq0$;
3) А дифференцируемо 333 раза. (Как показано в работе Мозера [3], это число производных может быть значительно уменьшено.)

Полное доказательство см. в упоминавшейся работе Ю. Мозера.

Замечание П28.4. Если $\alpha =2\pi \frac{m}{3}$, то, как доказал Леви- Чивита [1], неподвижная точка может быть неустойчивой.