Пусть $A$ – аналитическое каноническое отображение плоскости $p, q$, оставляющее неподвижной точку $O=(0,0)$. Предположим, что $O$ – эллиптическая точка, т.е. что дифференциал отображения $A$ имеет в $O$ собственные значения $\lambda_{1}=e^{-i \alpha}, \lambda_{2}=e^{i \alpha}$.

Дж. Д. Биркгоф ${ }^{1}$ доказал, что если $\alpha$ несоизмеримо с $2 \pi$, то при любом $s>0$ существует каноническое отображение $B=B(s)$ окрестности точки $O$ :
\[
B: p, q \rightarrow P, Q, \quad B(O)=O,
\]

такое, что в координатах $P, Q$ отображение $A$ представимо в следующей «нормальной форме»:
\[
A^{\prime}=B A B^{-1}: P, Q \rightarrow P^{\prime}, Q^{\prime} .
\]

Пусть $I, \varphi$ – канонические полярные координаты:
\[
\begin{array}{l}
2 I=P^{2}+Q^{2}, \quad \varphi=\operatorname{arctg}\left(\frac{P}{Q}\right), \\
2 I^{\prime}=P^{\prime 2}+Q^{\prime 2}, \quad \varphi^{\prime}=\operatorname{arctg}\left(\frac{P^{\prime}}{Q^{\prime}}\right) . \\
\end{array}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
I^{\prime}-I & =O\left(I^{n+1}\right), \\
\varphi^{\prime}-\varphi & =\alpha+\alpha_{1} I+\alpha_{2} I^{2}+\ldots+\alpha_{n} I^{n}+O\left(I^{n+1}\right) .
\end{aligned}
\]

Коэффициенты $\alpha, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ – инварианты канонических преобразований, т. е. не зависят от $B$. Если $\alpha
eq 2 \pi \frac{m}{n}$ и среди $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ найдется отличный от нуля коэффициент, то Биркгоф называет преобразование $A$ «общим эллиптическим отображением».

Теорема П28.2 ${ }^{2}$ Неподвижная точка общего эллиптического отображения устойчива.

Доказательство.
Доказательство состоит в применении конструкции доказательства теоремы 21.11 из гл. 4 (см. приложение 34) к преобразованию (П28.1), где $O\left(I^{n+1}\right)$ при $I \ll 1$ рассматривается как возмущение отображения
\[
I^{\prime}=I, \quad \varphi^{\prime}=\varphi+\alpha+\alpha_{1} I+\ldots+\alpha_{n} I^{n} .
\]

Аналогичные теоремы можно доказать и относительно устойчивости положений равновесия и эллиптических периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. В. И. Арнольд [7]).
Наиболее сильный результат был получен Ю. Мозером [1].

Теорема П28.3 (Мозер). Неподвижная точка канонического эллиптического отображения А плоскости устойчива, если:

1) $\alpha
eq 2 \pi \frac{m}{3}, 2 \pi \frac{m}{4}$
2) $\alpha_{1}
eq 0$;
3) А дифференцируемо 333 раза. (Как показано в работе Мозера [3], это число производных может быть значительно уменьшено.)

Полное доказательство см. в упоминавшейся работе Ю. Мозера.

Замечание П28.4. Если $\alpha=2 \pi \frac{m}{3}$, то, как доказал Леви- Чивита [1], неподвижная точка может быть неустойчивой.