А. Многообразия отрицательной кривизны

Напомним сначала некоторые классические свойства римановых многообразий отрицательной кривизны.

Теорема П21.1. Пусть $V$ — полное односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда:

1) Существует одна и только одна геодезическая, проходящая через две данные различные точки;
2) $V$ диффеоморфно евклидовому пространству;
3) пусть $A B C$-геодезический треугольник, углы которого $A, B, C$, а стороны $a, b, c$. Тогда:
\[
a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C \leqslant c^{2} .
\]

Доказательство может быть найдено в работе С. Хелгасона [1]. Прямым результатом является следующее следствие:
Следствие П21.2. Учитывая вышеупомянутые предположения, $р и$ мановы сферы $V$ являются выпуклыми, то есть геодезическая имеет не более двух общих со сферой точек.

В. Асимптоты к данной геодезической

Как обычно, $\gamma(x, \boldsymbol{u}, t)=\gamma(t)=\gamma$ обозначает геодезическую, исходящую из $x$ с вектором начальной скорости $\boldsymbol{u}$ и длиной дуги $t$. Точка на $\gamma$, соответствующая $t$, также записывается через $\gamma(t)$. Риманово расстояние между двумя точками $a$ и $b$ обозначается через $|a, b|$. Через $V$ обозначим полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны.

Теорема П21.3. Пусть $v^{\prime}$ — точка из V. Геодезическая, соединяющая $v^{\prime}$ с точкой $\gamma(t) \in \gamma$, стремится к пределу, когда $t \rightarrow+\infty$ (соответственно, $t \rightarrow-\infty$ ). Этот предел является геодезической.

Доказательство.
См. рис. П21.4
Рис. П21.4
Точки $v^{\prime}$ и $\gamma\left(t_{1}\right)$ определяют одну и только одну геодезическую $\gamma\left(v^{\prime}, \boldsymbol{u}_{1}, t\right)$. Положим $s_{1}=\left|v, \gamma\left(t_{1}\right)\right|$. Возьмем $t_{2}>t_{1}$ и применим неравенство (3) теоремы (П21.1) к геодезическому треугольнику $v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right), \gamma\left(t_{2}\right)$. В очевидных обозначениях имеем
\[
\left(s_{2}\right)^{2}+\left(s_{1}\right)^{2}-\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2} \leqslant 2 s_{1} s_{2} \cos \left(\boldsymbol{u}_{1}, \boldsymbol{u}_{2}\right) .
\]

С другой стороны, неравенство треугольника, примененное к $v, v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)$, дает
\[
t_{1}-\left|v, v^{\prime}\right| \leqslant s_{1} \leqslant t_{1}+\left|v, v^{\prime}\right|,
\]

откуда
\[
s_{1}=t_{1}+O(1), \quad t_{1} \rightarrow+\infty .
\]

Аналогично,
\[
s_{2}=t_{2}+O(1), \quad t_{2} \rightarrow+\infty .
\]

В результате получаем
\[
\lim _{t_{1}, t_{2} \rightarrow+\infty} \cos \left(u_{1}, u_{2}\right)=1
\]

то есть
\[
\lim _{t_{1}, t_{2} \rightarrow+\infty}\left(\widehat{u_{1}, u_{2}}\right)=0 .
\]

Таким образом, согласно Коши, $\boldsymbol{u}_{1}$ стремится к пределу $\boldsymbol{u}^{\prime}$, когда $t_{1} \rightarrow+\infty$.

Геодезическая $\gamma\left(v^{\prime}, \boldsymbol{u}^{\prime}, t\right)$ является предельным положением $\gamma\left(v^{\prime}, \boldsymbol{u}_{1}, t\right)$, поскольку экспоненциальное отображение $\exp _{v^{\prime}}$ непрерывно. Геодезическая $\gamma\left(v^{\prime}, u^{\prime}, t\right)$ называется положительной асимптотой $\kappa \gamma$. Отрицательные асимптоты определяются подобным образом при $t \rightarrow-\infty$.

Замечание П21.5. Легко доказать, что положительная асимптота к $\gamma$, исходящая из данной точки положительной асимптоты $\gamma\left(v^{\prime}, \boldsymbol{u}^{\prime}, t\right)$ является ничем иным, как $\gamma$ (геометрически). Таким образом, можно говорить о положительной асимптоте к $\gamma$, не упоминая определенную точку $v^{\prime}$. Более того, множество положительных асимптот к $\gamma$ является ( $\operatorname{dim} V-1$ )-параметрическим семейством геодезических.

С. Орисферы ${ }^{1} V$

Пусть снова $V$ — полное, односвязное риманово многообразие отрицательной кривизны. Пусть $\gamma(v, \boldsymbol{u}, t)=\gamma(t)$ — геодезическая и $v^{\prime}$ произвольная точка из $V$.

Лемма П21.6. Разность
\[
\left|v^{\prime}, \gamma(t)\right|-|v, \gamma(t)| \equiv \phi(t)
\]

стрелится к конечному пределу $L\left(v^{\prime} ; \gamma, v\right)$ при $t \rightarrow+\infty$. Этот предел является $C^{1}$-дифференцируелой функцей $v^{\prime} u v$.
Доказательство.
Примем $t_{2}>t_{1}$. Неравенство треугольника, примененное к $v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)$, $\gamma\left(t_{2}\right)$, дает
\[
\begin{array}{l}
\varphi\left(t_{2}\right)=\left|v^{\prime}, \gamma\left(t_{2}\right)\right|-\left|v, \gamma\left(t_{2}\right)\right| \leqslant\left|v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)\right|+\left|\gamma\left(t_{1}\right), \gamma\left(t_{2}\right)\right|-\left|v, \gamma\left(t_{2}\right)\right|= \\
=\left|v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)\right|-\left|v, \gamma\left(t_{1}\right)\right|=\varphi\left(t_{1}\right) . \\
\end{array}
\]

Таким образом, $\varphi(t)$ монотонно убывает. С другой стороны, $\varphi(t)$ ограничена, поскольку неравенство треугольника, примененное к $v, v^{\prime}, \gamma(t)$, дает
\[
|\varphi(t)|=|| v^{\prime}, \gamma(t)|-| v, \gamma(t)|\leqq| v, v^{\prime} \mid,
\]

что доказывает существование предела
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \varphi(t)=L\left(v^{\prime} ; \gamma, v\right)
\]

Второе утверждение следует из неравенства
\[
\left|\left[\left|v_{1}^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)\right|-\left|v_{1}, \gamma\left(t_{1}\right)\right|\right]-\left[\left|v^{\prime}, \gamma\left(t_{1}\right)\right|-\left|v, \gamma\left(t_{1}\right)\right|\right]\right| \leqslant\left|v^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right|+\left|v, v_{1}\right| \text {, }
\]
ru ect’b
\[
\left|L\left(v_{1}^{\prime} ; \gamma, v\right)-L\left(v^{\prime} ; \gamma, v\right)\right| \leqslant\left|v^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right|+\left|v, v_{1}\right| .
\]

Очевидно, что
\[
L\left(v^{\prime} ; \gamma, v\right)-L\left(v^{\prime} ; \gamma, v_{1}\right)=\bar{v}_{1},
\]

где $\bar{v}_{1}$ — алгебраическая мера $v v_{1}$ на ориентированной геодезической $\gamma$.

Определение П21.8. Геометрическое место точек $x$, для которых $L(x ; \gamma, O)=0$, называется положительной орисферой, проходящей через точку $O$ на $\gamma$, и будет обозначаться через $H^{+}(\gamma, O)$.

Согласно лемме (П21.7), $H^{+}(\gamma, O)$ является $C^{1}$-дифференцируемым подмногообразием размерности $(\operatorname{dim} V-1)$. Пусть $v_{1}$ — произвольная точка на $\gamma$. Отношение (I21.7) показывает, что $H^{+}(\gamma, O)$ имеет уравнение
\[
L\left(x ; \gamma, v_{1}\right)=\overline{O v_{1}} .
\]

Получаем орисферы, являющиеся сферами бесконечного радиуса с центром в бесконечности. Риманова сфера с центром в точке $a$, проходящая через $b$, будет обозначаться $\sum(a, b)$.

Лемма П21.9. $\quad \sum(\gamma(t), O)$ стремится $\kappa H^{+}(\gamma, O)$ при $t \rightarrow+\infty$.
Доказательство.
Пусть $x$ — точка положительной орисферы $H^{+}(\gamma, O)$. Имеем
\[
\varphi(t) \equiv|x, \gamma(t)|-|O, \gamma(t)| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty .
\]

С другой стороны, $\varphi(t) \geqslant 0$. Таким образом, $\sum(\gamma(t), O)$ пересекает отрезок геодезической $x \gamma(t)$ в точке $b(t)$ (см. рис. П21.10).
Имеем
\[
|x, b(t)|=|x, \gamma(t)|-|\gamma(t), b(t)|=|x, \gamma(t)|-|O, \gamma(t)| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty .
\]

Это означает, что каждая точка положительной орисферы $H^{+}(\gamma, O)$ является предельной точкой сфер $\sum(\gamma(t), O)$ при $t \rightarrow+\infty$. Обратно, докажем, что такая предельная точка принадлежит $H^{+}(\gamma, O)$. Пусть $b(t)-$ точка сфер $\sum(\gamma(t), O)$ и $x=\lim _{t \rightarrow+\infty} b(t)$. Неравенство треугольника дает
\[
\begin{aligned}
|| x, \gamma(t)|-| O, \gamma(t)|| & \leqslant|| x, \gamma(t)|-| b(t), \gamma(t)||+|| b(t), \gamma(t)|-| O, \gamma(t)||= \\
& =|x, b(t)| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty .
\end{aligned}
\]

Таким образом, $L(x ; \gamma, O)=0$, то есть
\[
x \in H^{+}(\gamma, O) .
\]

Следствие П21.11. Орисферы являются выпуклыми и, если кривизна многообразия $V$ ограничена сверх отрицательной постоянной, строго выпуклыми.

Доказательство.
Орисфера $H^{+}(\gamma, O)$ является пределом шаров, проходящих через $O$ и центр которых стремится к бесконечности вдоль $\gamma$, и эти шары выпуклые (см. П21.2).

Лемма П21.12. Пусть $\mathrm{H}^{+}(\gamma, O)$ и $\mathrm{H}^{+}\left(\gamma, O^{\prime}\right)$ — две орисферы на $\gamma$. Если $a \in H^{+}(\gamma, O)$ и $a^{\prime} \in H^{+}\left(\gamma, O^{\prime}\right)$, тогда $\left|a, a^{\prime}\right| \geqslant\left|O, O^{\prime}\right|$.

Доказательство.

Предположим, что $\left|a, a^{\prime}\right|<\left|O, O^{\prime}\right|$. Из (П21.9) заключаем, что каждому $t$ соответствует точка $a(t) \in \sum(\gamma(t), O)$ такая, что
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} a(t)=a,
\]

и точка $a^{\prime}(t) \in \sum\left(\gamma(t), O^{\prime}\right)$ такая, что
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} a^{\prime}(t)=a^{\prime} .
\]

Таким образом, для достаточно больших $t$, имеем
\[
\left|a(t), a^{\prime}(t)\right|<\left|O, O^{\prime}\right| .
\]

Не меняя общности, предположим, что точка $O^{\prime}$ лежит между точками $O$ и $\gamma(t)$. Получаем следующее противоречие
\[
\begin{array}{c}
|a(t), \gamma(t)| \leqslant\left|a(t), a^{\prime}(t)\right|+\left|a^{\prime}(t), \gamma(t)\right|<\left|O, O^{\prime}\right|+\left|a^{\prime}(t), \gamma(t)\right|= \\
=|O, \gamma(t)|=|a(t), \gamma(t)| .
\end{array}
\]

Лемма П21.13. Две положительные орисферы $\mathrm{H}^{+}(\gamma, O)$ и $\mathrm{H}^{+}\left(\gamma, O^{\prime}\right)$ отрезают дугу длиной $\left|O, O^{\prime}\right|$ на каждой положительной асимптоте к геодезической $\gamma$.

Доказательство.
Пусть $\gamma\left(a^{\prime}, \boldsymbol{u}, t\right)$ — положительная асимптота к $\gamma$, которая пересекает $H^{+}\left(\gamma, O^{\prime}\right)$ в точке $a^{\prime}$. Точки $\gamma(t)$ и $a^{\prime}$ определяют геодезическую, на которой выберем точку $a(t)$ так, что $\left|a(t), a^{\prime}\right|=-L\left(a^{\prime} ; \gamma, O\right)=$ $=\left|O, O^{\prime}\right|$, и точка $a^{\prime}$ лежит между $a(t)$ и $\gamma(t)$ (см. рис. П21.14). Поскольку экспоненциальное отображение $\exp _{a^{\prime}}$ непрерывно, получаем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} a(t)=a \in \gamma\left(a^{\prime}, u^{\prime}, t\right) \quad \text { и } \quad\left|a, a^{\prime}\right|=-L\left(a^{\prime} ; \gamma, O\right) .
\]

Отсюда выводим, что
\[
\begin{array}{l}
|| a, \gamma(t)|-| O, \gamma(t)|| \leqslant|| a, a(t)|+| a(t), \gamma(t)|-| O, \gamma(t)||= \\
=|| a, a(t)|+| a^{\prime}(t), \gamma(t)|-| O^{\prime}, \gamma(t)|| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow+\infty .
\end{array}
\]

Таким образом, $a \in H^{+}(\gamma, O)$.

Теорема П21.15. Положительные асимптоты к $\gamma$ являются ортогональными траекториями положительных орисфер на $\gamma$.

Доказательство.
Доказательство теоремы П21.15 является прямым следствием лемм П21.12 и П21.13.

Наконец, заметим, что отрицательные орисферы $H^{-}(\gamma, O)$ определяются аналогично из отрицательных асимптот $(t \rightarrow-\infty)$.

D. Орисферы на $T_{1} V$

Унитарное касательное расслоение многообразия $V$ обозначается через $T_{1} V$ и $p: T_{1} V \rightarrow T$ является канонической проекцией.

Пусть $u$ — точка на $T_{1} V ; \boldsymbol{u}$ определяет геодезическую $\gamma(p \boldsymbol{u}, \boldsymbol{u}, t)=$ $=\gamma(\boldsymbol{u}, t)=\gamma(t)$, подъем которой в $T_{1} V$ снова обозначается через $\gamma(t)$. Из раздела $B$ нам известно, что существуют две орисферы $H^{+}(\gamma, p \boldsymbol{u})=H^{+}(\boldsymbol{u})$ и $H^{-}(\gamma, p \boldsymbol{u})=H^{-}(\boldsymbol{u})$, проходящие через $\boldsymbol{p} \boldsymbol{u}$. Множество унитарных векторов, ортогональных $H^{+}(\boldsymbol{u})$ (соотв. $H^{-}(\boldsymbol{u})$ ) вдоль $H^{+}(\boldsymbol{u})$ (соотв. $H^{-}(\boldsymbol{u})$ ) и ориентированных подобно $\boldsymbol{u}$ является $(\operatorname{dim} V-1)$-размерным подмногообразием $\mathscr{H}^{+}(\boldsymbol{u})$ (соотв. $\mathscr{H}^{-}(\boldsymbol{u})$ ) на $T_{1} V$. Подмногообразия $\mathscr{H}$ называются орисферами из $T_{1} V$.

Теорема П21.16.

1) Все $\gamma(\boldsymbol{u}, t)$ и подмногообразия $\mathscr{H}^{+}(\boldsymbol{u}), \mathscr{H}^{-}(\boldsymbol{u})$ являются слоениями $T_{1} V$;
2) В каждой точке $\boldsymbol{u} \in T_{1} V$ эти слоения трансверсальны, то есть
\[
T\left(T_{1} V\right)_{u}=X_{u}^{+} \oplus X_{u}^{-} Z_{u},
\]

где $X_{u}^{+}$(соответственно, $X_{u}^{-}, Z_{u}$ ) является касательным пространством к $\mathscr{H}^{+}(\boldsymbol{u})$ (соответственно, $\left.\mathscr{H}^{-}(\boldsymbol{u}), \gamma(\boldsymbol{u}, t)\right)$ к точке $\boldsymbol{u}$;
3) Эти расслоения инвариантны относительно геодезического потока $\varphi_{t}$
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{t} \mathscr{H}^{ \pm}(\boldsymbol{u})=\mathscr{H}^{ \pm}\left(\varphi_{t} \boldsymbol{u}\right), \\
\varphi_{t} \gamma\left(\boldsymbol{u}, t^{\prime}\right)=\gamma\left(\varphi_{t} \boldsymbol{u}, t^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Доказательство.
(1) Следует из самого построения слоев;
(2) Следует из строгой выпуклости $H^{+}$(соотв. $H^{-}$) (см. П21.11);
(3) Следует из теоремы П21.15.
Инвариантность расслоений сводит исследование дифференциала $\varphi_{t}^{*}$ к исследованию его ограничений на $\mathscr{H}^{+}(\boldsymbol{u})$ (соотв. $\mathscr{H}^{-}(\boldsymbol{u})$ ) и $\gamma(\boldsymbol{u})$. Теперь, в завершение предположим, что $V$ является универсальным накрытием $\widetilde{W}$ компактного риманова многообразия $W$ отрицательной кривизны. В частности, кривизна $V$ ограничена сверху отрицательной постоянной $-k^{2}$.
Лемма П21.17. Пусть $r_{s}(t)$ — однопараметрическое семейство $(s>0)$ числовых, $C^{2}$-дифференцируемых функций. Предположим, что
\[
\ddot{r}_{s} \geqslant k^{2} r_{s} \quad(k=\text { const }>0)
\]

для каждых $s, t \geqslant 0$ и $r_{s}(0)>0, r_{s}(s)=0$. Тогда
\[
r_{s}(t)<r_{s}(0) \frac{\operatorname{ch}[k(s-t)]}{\operatorname{ch}[k s]}, \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t \leqslant s .
\]

Предположим также, что
\[
\left.\lim _{s \rightarrow+\infty} \dot{r}_{s}\right|_{t=s}=0 .
\]

Тогда, для достаточно больших значений $s$,
\[
\left|\dot{r}_{s}(t)\right|<k r_{s}(0) \frac{\operatorname{sh}[k(s-t)]}{\operatorname{ch}(k s)}, \quad \text { пpu } \quad 0 \leqslant t \leqslant 4 .
\]

Доказательство.
Функция
\[
l_{s}(t)=r_{s}(t)-\frac{r_{s}(0)}{\operatorname{ch}(k s)} \operatorname{ch}[k(s-t)]
\]

удовлетворяет
\[
\ddot{l}_{s}(t) \geqslant k^{2} l_{s}(t), \quad l_{s}(0)=l_{s}(s)=0 .
\]

Таким образом, $l_{s}$ вогнут между 0 и $s$ и принимает нулевое значение при $t=0, s$, следовательно $l_{s}(t) \leqslant 0$ при $0 \leqslant t \leqslant s$, что доказывает первую часть леммы. Это также доказывает, что $\dot{l}_{s}$ увеличивается между 0 и $s$. Таким образом, $i_{s}(t) \leqslant \dot{l}_{s}(s)$ при $0 \leqslant t \leqslant s$. С другой стороны
\[
i_{s}(t)=\dot{r}_{s}(t)+k r_{s}(o) \frac{\operatorname{sh}[k(s-t)]}{\operatorname{ch}[k s]},
\]

в частности,
\[
\dot{l}_{s}(t) \leqslant \dot{l}_{s}(s)=\dot{r}_{s}(s) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad s \rightarrow+\infty,
\]

откуда вторая часть легко выводится.

Теорема П21.18. Пусть $\phi_{t}$ — геодезический поток подмногообразия $T_{1} V$. Тогда, для любого положительного числа $t$
\[
\begin{array}{c}
\left\|\phi_{t}^{*} \xi\right\| \leqslant b e^{-k t}\|\xi\|, \quad\left\|\phi_{-t}^{*} \xi\right\| \geqslant a e^{k t}\|\xi\|, \quad \text { если } \quad \xi \in X_{u}^{+}, \\
\left\|\phi_{t}^{*} \xi\right\| \geqslant a e^{k t}\|\xi\|, \quad\left\|\phi_{-t}^{*} \xi\right\| \leqslant b e^{-k t}\|\xi\|, \quad \text { если } \quad \xi \in X_{u}^{-} .
\end{array}
\]

Положительные постоянные а и в независимы от $t$ и $\xi$ || || обозначает длину вектора из $T_{1} V$ с обычной римановой метрикой.

Доказательство.
Докажем только первое неравенство, справедливость остальных может быть доказана тем же способом.

Пусть $\gamma(O, \boldsymbol{u}, t)=\gamma(t)=\gamma$ геодезическая из $V$ и пусть $x$ точка из $H^{+}(\gamma, O)$, достаточно близкая к $O$. Существует определенная геодезическая $\gamma_{s}\left(x, \boldsymbol{u}_{s}, t\right)=\gamma_{s}(t)$, проходящая через $x$ и $\gamma(t) \in \gamma$. Наше первое намерение заключается в вычислении риманова расстояния между точками $\dot{\gamma}(t)$ и $\dot{\gamma}_{s}(t)$, рассматриваемыми как элементы $T_{1} V$. Пусть $r_{s}(t)$ — риманово расстояние между их проекциями $\gamma(t)$

и $\gamma_{s}(t)$ на $V$. Для того, чтобы вычислить $r_{s}(t)$, рассмотрим поле Якоби ${ }^{2} \psi(t)$ вдоль $\gamma$, которое ортогонально к $\gamma$ и которое обращается в нуль при $t=s$. По определению,
\[
\langle R(\dot{\gamma}, \psi) \dot{\gamma}, \psi\rangle=-\left\langle
abla^{2} \psi, \psi\right\rangle,
\]

где $R(\cdot, \cdot)$ является тензором кривизны и $
abla$ — ковариантная производная вдоль $\gamma$. По определению, секционная кривизна в двумерном пространстве $(\gamma, \psi)$ имеет вид
\[
\rho(\dot{\gamma}, \psi)=\frac{\langle R(\dot{\gamma}, \psi) \dot{\gamma}, \psi\rangle}{\|\psi\|^{2}} .
\]

Известно, что $\rho(\dot{\gamma}, \psi) \geqslant-k^{2}$, следовательно,
\[
\left\langle
abla^{2} \psi, \psi\right\rangle \geqslant k^{2}\|\psi\|^{2} \text {. }
\]

С другой стороны,
\[
\begin{array}{c}
\left\langle
abla^{2} \psi, \psi\right\rangle=
abla\langle
abla \psi, \psi\rangle-\|
abla \psi\|^{2}, \\

abla\langle
abla \psi, \psi\rangle=1 / 2
abla^{2}\|\psi\|^{2}=1 / 2 \frac{d^{2}}{d t^{2}}\|\psi\|^{2}, \\
\|
abla \psi\|^{2} \geqslant\left(\frac{d}{d t}\|\psi\|\right)^{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, длина $l_{s}(t)$ из $\psi(t)$ удовлетворяет неравенству
\[
\frac{1}{2}\left(l_{s}^{2}\right)^{\prime \prime}-\left(l_{s}^{\prime}\right)^{2} \geqslant k^{2} l_{s}^{2},
\]

то есть
\[
\ddot{l}_{s} \geqslant k^{2} l_{s}, \quad \text { и } \quad l_{s}(0)>0, \quad l_{s}(s)=0 .
\]

Лемма (П21.17) и классическая возможность выбрать поле Якоби $\psi$ так, что
\[
r_{s}(t)=l_{s}(t)+0(1),
\]

при $x$, достаточно близком к $\gamma$, дает
\[
r_{s}(t)<r_{s}(0) \frac{\operatorname{ch}[k(s-t)]}{\operatorname{ch}[k s]}, \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t \leqslant s .
\]

Теперь легко видеть, что угол из $\gamma$ и $\gamma_{s}$ в $\gamma(s)$ стремится к нулю при $s \rightarrow+\infty$. Следовательно, $\dot{r}_{s}(s) \rightarrow 0$ при $s \rightarrow+\infty$ и из леммы П21.17 снова вытекает
\[
\left|\dot{r}_{s}(t)\right|<k r_{s}(0) \frac{\operatorname{sh}[k(s-t)]}{\operatorname{sh}[k s]}, \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t \leqslant s .
\]

При $s \rightarrow+\infty, \gamma_{s}(t)$ стремится к точке $\gamma^{\prime}(t)$ положительной асимптоты $\gamma^{\prime}\left(x, \boldsymbol{u}^{\prime}, t\right)$ к $\gamma$, и $\gamma_{s}(t)$ стремится к $\dot{\gamma}^{\prime}(t)$. Если $r(t)$ обозначает расстояние от $\gamma(t)$ до $\gamma^{\prime}(t)$, то из неравенств (П21.19) и (П21.20) получаем (при $s \rightarrow+\infty$ )
\[
\begin{aligned}
r(t) & <r(0) e^{-k t}, \\
|\dot{r}(t)| & <k r(0) e^{-k t}, \quad \text { при } \quad t \geqslant 0 .
\end{aligned}
\]

Таким образом, риманово расстояние $\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}^{\prime}(t) \in T_{1} V$ удовлетворяет неравенству
\[
d\left(\dot{\gamma}(t), \dot{\gamma}^{\prime}(t)\right) \leqslant r(0) \sqrt{1+k^{2}} e^{-k t} \quad \text { для } \quad t \geqslant 0 .
\]

Из чего легко выводится первое неравенство теоремы П21.18.
В связи с этой теоремой, слои $\mathscr{H}^{+}(\boldsymbol{u})$ (соотв. $\mathscr{H}^{-}(\boldsymbol{u})$ ) называются «сжимающимися» (соотв. «растягивающимися») слоями $T_{1} V$.

Е. Доказательство теоремы Лобачевского-Адамара ${ }^{3}$

Теорема П21.21. Пусть $W$ — компактное, связное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на $T_{1} W$ является -потоком. $^{2}$

Доказательство.
Пусть $V=\widetilde{W}$ — универсальное накрытие $W$ с прообразом римановой метрики $W$ под действием канонической проекции $\pi: \widetilde{W} \rightarrow W$. Пространство $V$ удовлетворяет предположению предыдущего раздела. Следовательно, геодезический поток на $T_{1} V$ удовлетворяет условиям Употока: условие (0) является тривиально выполненным; условие (1) следует из теоремы П21.16; условие (2) следует из теоремы П21.18. Завершаем доказательство проверкой того, что $\pi$ является совместимым с тремя слоениями $V=\widetilde{W}$ и $T_{1} \widetilde{W}$. Первая гомотопическая группа $\pi_{1}(W)$ изоморфна группе автоморфизмов $\widetilde{W}$, поскольку $W$ связ-

ное. Группа $\pi_{1}(W)$ действует как группа автоморфизмов из $T_{1} \widetilde{W}$ : если $\boldsymbol{u}^{\prime}, \boldsymbol{u}^{\prime \prime} \in T_{1} \widetilde{W}$ сравнимы по $\bmod \pi_{1}(W)$, тогда $\mathscr{H}^{ \pm}\left(\boldsymbol{u}^{\prime}\right)$ и $\mathscr{H}^{ \pm}\left(\boldsymbol{u}^{\prime \prime}\right)$ сами являются сравнимыми по $\bmod \pi_{1}(W)$.
ЗАмечание II21.22. Орисферы компактного, $n$-мерного многообразия $W$ диффеоморфны $\mathbb{R}^{n-1}$. Действительно, рассмотрим орисферу $\mathscr{H}^{+}$. Она является паракомпактным многообразием. Пусть $S$ — компактное подмножество $\mathscr{H}^{+}$. Тогда $\varphi_{t} S$ покрывается диском $D$ из $\varphi_{t} \mathscr{H}^{+}$(при достаточно большом значении $t$ ). Прообраз $\varphi_{t}^{-1} D$ является диском, который покрывает $S$ в $\mathscr{H}^{+}$. Таким образом, $\mathscr{H}^{+}$диффеоморфно $\mathbb{R}^{n-1}$, согласно следующей лемме Брауна (Brown, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1961, 12, pp. 812-814) и Сталингса (Stallings, Proc. Cambridge Philos. Soc., 1962, 58, pp. 481-488): пусть $M$ паракомпактное многообразие такое, что любое компактное подмножество содержится в открытом множестве, диффеоморфном евклидовому пространству. Тогда само $М$ будет диффеоморфно евклидовому пространству.

Этот результат не выполняется для некомпактных многообразий. Рассмотрим пространство $\{(x, y) \mid y>0, x(\bmod 1)\}$, снабженное метрикой
\[
d s^{2}=\frac{d x^{2}+d z^{2}}{y^{2}} .
\]

Гауссова кривизна равняется -1 и универсальное накрывающее пространство является плоскостью Лобачевского (см. приложение 20). Кривая $y=1$ является орициклом, гомеоморфным $S^{1}$.
Рис. ПІ21.23