Ж. Лиувилль доказал, что если в системе с $n$ степенями свободы
$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q},\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p},p=(p_1,\dots ,p_n),q=(q_1,\dots ,q_n)$$

известно $n$ первых интегралов в инволюции ${}^1$ :
$$H=F_1,F_2,\dots ,F_n;(F_i,F_j)=0,$$

то система интегрируема в квадратурах.
В классической механике известно много примеров интегрируемых задач; во всех этих примерах интегралы (П26.2) были найдены.

Уравнения $F_i=f_i=$ const, $i=1,\dots ,n$, определяют инвариантные многообразия системы (П26.1). Можно заметить, что во всех примерах инвариантными многообразиями служат торы и что движение на этих торах квазипериодично (см. пример 1.2, гл. 1). Докажем теперь, что такая ситуация неизбежна для всех систем, допускающих однозначные интегралы (П26.2). Доказательство основано на очень простых топологических соображениях.

Теорема П26.3. Предположим, что уравнения $F_i=f_i=$ const, $i=$ $=1,\dots ,n$, определяют компактное связное многообразие $M=M_f$, и что

1) всюду на $M\mathrm{grad}{F}_i(i=1,\dots ,n)$ линейно независимы,
2) определитель $\det \left|\frac{\partial I}{\partial f}\right|$, определяемый ниже (П26.7) не равен тождественно нулю.

Тогда

1) $M$ является $п$-мерным тором, и окрестность многообразия $M$ есть прямое произведение тора и евклидова пространства ${\mathbb{T}}^n\times {\mathbb{R}}^n$;
2) эта окрестность допускает координаты действие-угол $(I,\phi )$, $(I\in B^n\subset {\mathbb{R}}^n,\phi (mod2\pi )\in {\mathbb{T}}^n)$ такие, что отображение $I,\phi \to p,q$ — каноническое ${}^2$ и $F_i=F_i(I)$.
В результате уравнения (П26.1) представимы в виде
$$\dot{I}=0,\dot{\phi }=\omega (I),\text{ где }\omega (I)=\frac{\partial H}{\partial I},$$

и траектория на торе $M$ квазипериодическая, так как $H=F_1=$ $=H(I_1,\dots ,I_n)$, и уравнения (П26.1) в координатах $I,\phi$ — это уравнения Гамильтона ${}^2$ с функцией Гамильтона $H(I)$.
Доказательство.

Обозначения П26.4
Воспользуемся следующими обозначениями. Пусть $x=(p,q)$ точка фазового пространства ${\mathbb{R}}^{2n}$; градиент функции $F(x)$ обозначим $\mathrm{grad}F=F_{x_1},\dots ,F_{x_{2n}}$. Тогда уравнения (I 26.1) запишутся в виде
$$\dot{x}=I\mathrm{grad}H,I=\left(\begin{array}{cc}0& -E\\ E& 0\end{array}\right),$$

где $E$ — единичная матрица $n\times n$.
Для любых двух векторов $x,y\in {\mathbb{R}}^{2n}$ определим кососкалярное произведение
$$[x,y]=(Ix,y)=-[y,x],$$

где $(\cdot ,\cdot )$ — обычное скалярное произведение. Можно показать, что $[x,y]$ представляет собой сумму площадей проекций параллелограмма со сторонами $x,y$ на плоскости $p_i{q}_i(i=1,\dots ,n)$.

Линейные преобразования, которые сохраняют кососкалярное произведение
$$[Sx,Sy]=[x,y]\text{ при любых }x,y,$$

называются симплектическими преобразованиями. Например, матрица $I$ задает симплектическое преобразование.

Произведение $[\mathrm{grad}F,\mathrm{grad}G]=(F,G)$ называется скобкой Пуассона функций $F$ и $G$. Ясно, что функция $F$ есть первый интеграл системы (П26.5) в том и только том случае, если ее скобка Пуассона с функцией Гамильтона тождественно равна нулю. Если две функции имеют скобку Пуассона, равную нулю, то говорят, что они находятся в инволюции.

Конструкция. П26.6

Рассмотрим $n$ векторных полей на $M$ :
$${\xi }_i=I\mathrm{grad}{F}_i(i=1,\dots ,n).$$

Эти поля линейно независимы в каждой точке многообразия $M$, так как преобразование $I$ невырождено и $\mathrm{grad}{F}_i$ независимы.

Эти поля касательны к $M$, так как их орбиты служат решениями гамильтоновых уравнений с функцией Гамильтона $F_i$ (эти уравнения допускают $F_j$ в качестве первых интегралов, так как $(F_i,F_j)=0$ и каждая траектория лежит в $M$ ).

Наконец, поля ${\xi }_i,{\xi }_j$ коммутируют, поскольку их скобка Ли есть не что иное ${}^3$, как поле скоростей гамильтоновой системы с функцией Гамильтона $(F_i,F_j)=\mathbf{0}$.

Следовательно, $M$ — компактная связная орбита группы ${\mathbb{R}}^n$, действующей транзитивно и дифференцируемым образом; таким образом, доказано, что $M={\mathbb{T}}^n$. Кроме того, $M$ задано уравнениями $F_i=f_i=$ const, и поля $\mathrm{grad}{F}_i$ определяют в оюрестности орбиты $M$ структуру прямого произведения.

Пусть теперь ${\gamma }_i(f),i=1,\dots ,n$ — некоторый базис 1 -циклов на каждом торе $M_f:F=f$, расположенном в окрестности орбиты $M$. Рассмотрим интегралы действия
$$I_i(f)=\frac{1}{2\pi }{\oint }_{{\gamma }_i(f)}pdq.$$

Так как $\det \left|\frac{\partial I_i}{\partial f_j}\right|ot\equiv 0$, уравнение $I(f)=I$ можно разрешить

(в окрестности орбиты $M$ ) и определить тор $M(I)=M_{f(I)}$, соответствующий заданным значениям $I$.
Положим теперь
$$S(I,q)={\int }_{q_0}^{q}pdq,$$

где путь интегрирования — некоторая кривая на торе $M(I)$ (следовательно, $p=p(I,q)$ ).

Многозначная функция $S$ является производящей функцией (см. приложение 32) канонического преобразования $I,\phi \to p,q$, определяющего координаты действие-угол:
$$p=\frac{\partial S}{\partial q},\phi =\frac{\partial S}{\partial I}.$$

Лемма П26.10. Форма $pdq$ на $M(I)$ залкнута.

Доказательство.

В действительности достаточно доказать, что интеграл от $pdq$ вдоль бесконечно малого параллелограмма, касательного к $M(I)$, равен нулю.

Ясно, что этот интеграл есть сумма площадей проекций параллелограмма на плоскости $p_i{q}_i$. Следовательно, достаточно доказать, что $[\xi ,\eta ]=0$ для любых векторов $\xi ,\eta$, касательных к $M(I)$. Но, как было показано в П26.6, любой вектор, касательный к $M(I)$, есть линейная комбинация векторов $I\mathrm{grad}{F}_i$. По формуле (П26.2) эти векторы удовлетворяют соотношению $[\mathrm{grad}{F}_i,\mathrm{grad}{F}_j]=0$; но $I$ — симплектическое преобразование, поэтому $[I\mathrm{grad}{F}_i,I\mathrm{grad}{F}_j]=0$. Таким образом, $[\xi ,\eta ]=0$ и лемма доказана.

Таким образом, формула (П26.8) в действительности определяет многозначную функцию $S$, а уравнения (П26.9) определяют, по крайней мере локально, каноническое преобразование $I,\phi \to p,q$.

Переменные действие-угол. П26.11

В действительности формулы (П 26.9) определяют глобальное каноническое преобразование, для которого переменные $p,q2\pi$-периодичны по $\phi$.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что при любом $I$ дифференциал от $S(I,\phi )$ есть глобальная 1-форма на $M(I)$. Следовательно, то же справедливо и относительно $d\phi$, определяемого формулой (П26.9).

Вычислим периоды 1-формы $d{\phi }_i$ на $M_f$ вдоль циклов ${\gamma }_j$. По формуле (П 26.7) имеем:
$${\oint }_{{\gamma }_j}d{\phi }_i={\oint }_{{\gamma }_j}d\left(\frac{\partial S}{\partial I_i}\right)=\frac{d}{d{I}_i}{\oint }_{{\gamma }_j}dS=\frac{d}{d{I}_i}\left(2\pi I_j\right)=2\pi {\delta }_{ij}.$$

Таким образом, ${\phi }_i$ — угловые координаты на торе $M(I)$ и теорема доказана.