Определим теперь инвариант динамических систем, который не является спектральным инвариантом ${}^{11}$.

Пусть $\alpha ={\left\{A_i\right\}}_{i\in I}$ — измеримое конечное разбиение $M$ (см. приложение 18 ):
$$\mu \left(M\mathrm{\setminus }\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)=0,\mu (A_i\cap A_j)=0\text{ при }ieqj,$$

В дальнейшем предполагается, что $I$ конечно (или счетно).

Определение 12.1 ${}^{12}$. Величина
$$h(\alpha )=-\sum _{i\in I}\mu \left(A_i\right)\log \mu \left(A_i\right)$$

где $\log$ — двоичный логарифм и $x\log x=0$ при $x=0$, называется энтропией $h(\alpha )$ разбиения $\alpha$.

Сумма в правой части может быть конечной или бесконечной, так как элементы последовательности $\{\mu \left(A_i\right)\log \mu \left(A_i\right)\}$ отрицательны или равны нулю $(0⩽\mu \left(A_i\right)⩽1)$. В этом случае $\mu \left(A_i\right)=\frac{1}{N}$, поэтому $h(\alpha )=\log N$. Заметим, что если $\alpha$ — некоторое разбиение на $N$ элементов, то
$$h(\alpha )⩽\log N,$$

причем равенство имеет место в том и только том случае, если все элементы имеют одну и ту же меру $1/N$.
Действительно, функция
$$z(x)=\{\begin{array}{ll}-x\log x& \text{ при }0⩽x⩽1,\\ 0& \text{ при }x=0\end{array}$$

строго выпукла, так как
$$z^{\prime \prime }(x)=-\frac{\log e}{x}<0.$$

Поэтому из неравенства Иенсена мы получаем, что
$$\begin{array}{l}h(\alpha )=\sum z\left(\mu \left(A_i\right)\right)=N\sum \frac{1}{N}z\left(\mu \left(A_i\right)\right)⩽\\ ⩽Nz(\frac{1}{N}\sum \mu \left(A_i\right))=Nz\left(\frac{1}{N}\right)=\log N.\end{array}$$

Иначе говоря, $h(\alpha )$ есть не что иное, каю взвешенный двоичный логарифм от числа элементов разбиения $\alpha$.

Заметим также, что если два разбиения эквивалентны, т.е. отличаются лишь на множестве меры нуль, то они обладают одинаковой энтропией. Наконец, равенство $h(\alpha )=0$ означает, что все меры $\mu \left(A_i\right)$ равны нулю, кроме одной, равной единице.

Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения $\alpha$ относительно разбиения $\beta$. Пусть $\alpha =\{A_i\mid i=1,\dots ,r\},\beta =\{B_j\mid j=$ $=1,\dots ,s\}$ — два измеримых конечных разбиения.
Можно предположить, что $\mu \left(A_i\right)>0,\mu \left(B_j\right)>0$ при всех $i,j$.
Разбиение $\alpha$ индуцирует на каждом $B_i$ конечное разбиение
$$B_i\cap A_1,\dots ,B_i\cap A_r.$$

Если считать, что $B_i$ имеет меру 1 (в результате перенормировки), то это — конечное разбиение, обладающее энтропией.

Взвешенная сумма этих энтропий по всем $B_i$ называется энтропией $\alpha$ относительно $\beta$ и обозначается
$$h(\alpha \mid \beta )=\sum _{i=1}^s\mu \left(B_i\right)[-\sum _{k=1}^r\frac{\mu (B_i\cap A_k)}{\mu \left(B_i\right)}\log \left(\frac{\mu (B_i\cap A_k)}{\mu \left(B_i\right)}\right)].$$

Аналогичное определение существует и в том случае, если $\alpha$ и $\beta -$ счетные и измеримые разбиения (приложение 18).
В приложение 18 приведено доказательство следующей теоремы.

Теорема 12.5. Пусть $\alpha ,\beta ,\gamma$ — измеримые конечные (или счетные) разбиения. Тогда
$$h(\alpha \mid \beta )⩾0,$$

причем равенство имеет место в том и только том случае, если $\alpha ⩽\beta (mod0)$.
$$\begin{array}{c}h(\alpha \vee \beta \mid \gamma )=h(\alpha \mid \gamma )+h(\beta \mid \alpha \vee \gamma ),\\ \alpha ⩽\beta (mod0)⟹h(\alpha \mid \gamma )⩽h(\beta \mid \gamma ),\\ \beta ⩽\gamma (mod0)⟹h(\alpha \mid \gamma )⩾h(\alpha \mid \beta ),\\ h(\alpha \vee \beta \mid \gamma )⩽h(\alpha \mid \gamma )+h(\beta \mid \gamma ).\end{array}$$

Пусть $u$ — тривиальное разбиение $\{M\}$ и возьмем $\gamma =u$ в выписанных выше соотношениях. Поскольку $h(\alpha \mid u)=h(\alpha )$, получаем
$$\begin{array}{c}h(\alpha \vee \beta )=h(\alpha )+h(\beta \mid \alpha ),\\ \alpha ⩽\beta ⟹h(\alpha )⩽h(\beta ),\\ h(\alpha \mid \beta )⩽h(\alpha ),\\ h(\alpha \vee \beta )⩽h(\alpha )+h(\beta ).\end{array}$$

Заметим, наконец, что если $\phi$ — автоморфизм измеримого пространства $(M,\mu )$, то
$$\begin{array}{c}\phi (\alpha \vee \beta )=\phi (\alpha )\vee \phi (\beta ),\\ h(\alpha \mid \beta )=h(\phi \alpha \mid \phi \beta ).\end{array}$$

Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть $(M,\mu ,\phi )$ — динамическая система, $\alpha$ — конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия $M$. Энтропией $\alpha$ относительно $\phi$ называется число
$$h(\alpha ,\phi )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h(\alpha \vee \phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )}{n},n\in {\mathbb{Z}}^{+}.$$

Докажем, что этот предел существует. Так как $n$ — положительное целое число, положим:
$$\begin{array}{rl}{h}_n& =h(\alpha \vee \phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ),\\ s_n& =h_n-h_{n-1}\end{array}$$

Лемма 12.18. $s_n⩾0$.

Доказательство.
Из свойства 12.8 и из того, что
$$\alpha \vee \phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ⩽\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^n\alpha ,$$

следует, что $h_{n-1}⩽h_n$.

Лемма 12.19. $s_n$ — убывающая последовательность.

Доказательство.
По свойству (12.9) имеем:
$$\begin{array}{rl}{s}_n=h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^n\alpha )-h(\alpha \vee \cdots & \vee {\phi }^{n-1}\alpha )=\\ & =h({\phi }^n\alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ).\end{array}$$

Следовательно,
$$s_{n-1}=h({\phi }^{n-1}\alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-2}\alpha ),$$
т. е. с учетом (12.15) и (12.16)
$$s_{n-1}=h({\phi }^n\alpha \mid \phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ).$$

Поскольку $\phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ⩽\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha$, из свойства (12.12) следует, что $s_{n-1}⩾s_n$.

Теорема 12.21. Энтропия $h(\alpha ,\phi )$ существует и равна
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}h({\phi }^n\alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha ).$$

Доказательство.
$\left\{s_n\right\}$ — это убывающая последовательность положительных чисел, имеющая предел $s$. Если заметить, что $h_n=h(\alpha )+s_1+\dots +s_n$, то из теоремы о средних арифметических в смысле Чезаро мы заключаем, что
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h_n}{n}=s.$$

Теорема 12.21 следует из определения энтропии $h(\alpha ,\phi )$ и выражения (12.20) для $s_n$.

Пример 12.22. Схемы Бернулли. Пусть $B(p_1,\dots ,p_k)$ — схема Бернулли (см. гл. 1, пример 2.2), $\phi$ — ее автоморфизм. Рассмотрим конечное разбиение $\alpha$ с $k$ элементами
$$A_0^i=\{m\mid m_0=i\},i=1,\dots ,k.$$

Докажем, что
$$h(\alpha ,\phi )=-\sum _{i=1}^k{p}_i\log p_i.$$

Поскольку ${\phi }^n{A}_0^i=A_n^i=\{m\mid m_n=i\}$, то $\alpha \vee \phi \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha$ имеет элементами
$$A_0^{i_0}\cap A_1^{i_1}\cap \cdots \cap A_{n-1}^{i_{n-1}},$$

мера которых равна $p_{i_0}\cdot \dots \cdot p_{i_{n-1}}$. Поэтому мы заключаем, что
$$h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )=-\sum _{i_0,\dots ,i_{n-1}}{p}_{i_0}\cdots \cdots p_{i_{n-1}}\cdot \log (p_{i_0}\cdot \dots \cdot p_{i_{n-1}}).$$

Суммируя по $i_0$ и замечая, что
$$\sum _{i_0,\dots ,i_{n-1}}{p}_{i_0}\cdot \dots \cdot p_{i_{n-1}}=1$$

получаем:
$$h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )=-\sum _i{p}_i\log p_i+h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-2}\alpha ).$$

По индукции мы заключаем:
$$h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )=n(-\sum _i{p}_i\log p_i),$$

откуда
$$h(\alpha ,\phi )=-\sum _i{p}_i\log p_i$$

Определение 12.23. Энтропия автоморфизма ${}^{13}$. Энтропией $h(\phi )$ автоморфизма $\phi$ называется величина
$$h(\phi )=suph(\alpha ,\phi ),$$

где $\alpha$ пробегает множество конечных измеримых разбиений. Очевидно, что $h(\phi )⩾0$.

Теорема 12.24. Энтропия $h(\phi )$ — инвариант динамической системы $(M,\mu ,\phi )$.

Доказательство.

Предположим, что системы $(M,\mu ,\phi )$ и $(M^{\prime },{\mu }^{\prime },{\phi }^{\prime })$ изоморфны (см. гл. 1, определение 4.1). Тогда существует изоморфизм $f:M\to M^{\prime }$ такой, что ${\phi }^{\prime }=f\phi f^{-1}$. Если $\alpha$ — измеримое конечное разбиение многообразия $M$, то $f\alpha$ — измеримое конечное разбиение многообразия $M^{\prime }$. Из (12.15) и (12.16) получаем
$$\begin{array}{rl}& h(f\alpha ,{\phi }^{\prime })=h(f\alpha ,f\phi f^{-1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h(f\alpha \vee \dots \vee f{\phi }^{n-1}{f}^{-1}f\alpha )}{n}=\\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h\left(f(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )\right)}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{h(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )}{n}=h(\alpha ,\phi ).\end{array}$$

С другой стороны, если $\alpha$ пробегает множество измеримых конечных разбиений многообразия $M$, то $f\alpha$ пробегает аналогичное множество для $M^{\prime }$. Следовательно,
$$suph({\alpha }^{\prime },{\phi }^{\prime })=suph(\alpha ,\phi ).$$

Приведем способ вычисления $h(\phi )$.

Определение 12.25. Образующее разбиение относительно автоморфизма. Пусть $\alpha$ — измеримое разбиение, конечное или счетное, $\mathfrak{M}(\alpha )$ — порождаемая $\alpha$ измеримая алгебра. Говорят, что $\alpha$ образующее разбиение относительно $\phi$, если
$$\underset{n=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{\phi }^n\mathfrak{M}(\alpha )=\hat{1}$$

Теорема 12.26 Колмогорова ${}^{14}$. Если $\alpha$ — образующее разбиение относительно $\phi$, то $h(\phi )=h(\alpha ,\phi )$.

Доказательство см. в приложении 19.
Приведем примеры применения этой теоремы.

Пример 12.27. Схемы Бернулли.
Энтропия схемы Бернулли $B(p_1,\dots ,p_k)$ есть величина
$$h(\phi )=-\sum _{i=1}^k{p}_i\log p_i.$$

Доказательство.

Пусть $B(p_1,\dots ,p_k)$ — схема Бернулли. Алгебра $\hat{1}$ порождаема множествами
$$A_i^j=\{m\mid m_i=j\},j\in {\mathbb{Z}}_k,i\in \mathbb{Z}.$$

Рассмотрим разбиение $\alpha =\{A_0^i,i=1,\dots ,k\}$ из примера 12.22. Так как ${\phi }^n{A}_0^i=A_n^i$, алгебра $\underset{n=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{\phi }^n\mathfrak{M}(\alpha )$ содержит все множества, порождающие алгебру $\hat{1}$. Следовательно, $\alpha$ — образующее разбиение относительно $\phi$, и теорема следует из 12.22 и 12.26 .

Следствие 12.28 .

1) Для любого неотрицательного числа а существует абстрактная динамическая система, а именно — схема Бернулли, энтропия которой равна а.
2) Мы видели (пример 10.6), что все схемы Бернулли принадлежат $\kappa$ одному и тому же спектральному типу. Так как эти схемы могут иметь различные энтропии, а энтропия — инвариант, ясно, что существуют абстрактные динамические системы, которые не изомор $\varphi$ ны, но принадлежат к одному и тому же спектральному типу.

Существует гипотеза о том, что если две $K$-системы принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одной и той же энтропией, то они изоморфны. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них гомоморфна другой (Синай [9]).
К этому же кругу вопросов относится и результат Мешалкина [1]: $B(p_1,\dots )$ и $B(q_1,\dots )$ изоморфны, если обладают одной и той же энтропией и если $p_i,q_i$ — отрицательные степени одного и того же целого числа.

Например, схемы Бернулли $B(\frac{1}{2},1/8,1/8,1/8,1/8)$ и $B(1/4,1/4,1/4,1/4)$ изоморфны. Блюм и Хансон [1] обобщили этот результат.

Пример 12.29. Автоморфизмы тора. Если $\phi$ — эргодический автоморфизм тора $\{(x,y)(mod1)\}$ :
$$\phi (x,y)=(ax+by,cx+dy)(mod1),ad-bc=1,$$

то, как показал Синай [7], его энтропия равна
$$h(\phi )=\log \left|{\lambda }_1\right|,$$

где ${\lambda }_1$ — собственное значение матрицы
$$\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

модуль которого больше 1.
В более общем случае, если $\phi$ — эргодический автоморфизм $r$-мерного тора $T^r={\mathbb{R}}^r/{\mathbb{Z}}^r$ и матрица $\phi$ имеет $r$ различных собственных значений ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$, то
$$h(\phi )=\sum _{\left|{\lambda }_i\right|>1}\log \left|{\lambda }_i\right|,$$
(см. Генис [1] и исправление Абрамова [1]).

Следствие 12.30 (См. гл. 1, пример 4.4.). Динамические системы на $T^2$, задаваемые матрицами
$$\left(\begin{array}{ll}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)u\left(\begin{array}{ll}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$$

не изоморфны.
Динамические системы, задаваемые матрицами
$$\left(\begin{array}{ll}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\text{ и }\left(\begin{array}{ll}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$$

принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одинаковой энтропией. Неизвестно, изоморфны ли они. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них является системой-фактором другой (Синай [9]).

Теорема 12.31. Энтропия $К$-систем ${}^{15}$. Энтропия $K$-системы положительна.

Доказательство.

По определению 11.1, существует подалгебра $\mathfrak{A}$ алгебры $\hat{1}$ такая, что

Докажем, что в $\mathfrak{A}$ существует конечная подалгебра $\mathfrak{B}$ такая, что
$$\underset{k⩽n}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}\supset \underset{k⩽n^{\prime }}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}\text{ для }n>n^{\prime };n,n^{\prime }\in \mathbb{Z}.$$

Предположим, что для конечной подалгебры $\mathfrak{B}\in \mathfrak{A}$ существуют целые числа $n,n^{\prime }$ такие, что $n>n^{\prime }$ и
$$\underset{k⩽n}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}=\underset{k⩽n^{\prime }}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}$$

Так как $(M,\mu )$ — лебегово пространство, существует возрастающая последовательность ${\mathfrak{B}}_1\subset {\mathfrak{B}}_2\subset \cdots \subset \mathfrak{A}$ конечных алгебр ${\mathfrak{B}}_i$ таких, что
$$\overline{{\mathfrak{B}}_i}=\mathfrak{A}.$$

Из принятого нами предположения следует, что
$${\phi }^n\left(\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k{\mathfrak{B}}_i\right)=\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k{\mathfrak{B}}_i$$

при всех $i$. Следовательно,
$${\phi }^n\mathfrak{A}=\underset{k⩽n}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{A}=\overline{\underset{i}{\bigvee }{\phi }^n\left(\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k{\mathfrak{B}}_i\right)}=\overline{\underset{i}{\bigvee }\left(\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k{\mathfrak{B}}_i\right)}=\mathfrak{A},$$

и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь $\beta$ — конечное разбиение, порождающее $\mathfrak{B}$ (см. определение П18.5). Из 12.21 мы заключаем, что
$$h(\phi )⩾h(\beta ,\phi )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}h(\beta \mid {\phi }^{-1}\beta \vee \cdots \vee {\phi }^{-n}\beta ).$$

Последовательность ${\phi }^{-1}\beta ,{\phi }^{-1}\beta \vee {\phi }^{-2}\beta ,\dots$ — невозрастающая, поэтому (см. (12.9))
$$h(\phi )⩾h(\beta \mid \underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\beta ).$$

Достаточно доказать теперь, что
$$h(\beta \mid \underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\beta )>0.$$

Если предположить, что имеет место равенство нулю, то из (12.6) мы получили бы
$$\beta ⩽\underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\beta (mod0)$$

и, следовательно,
$$\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k\beta =\beta \vee \left(\underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\beta \right)=\underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\beta ,$$
T. e.
$$\underset{k⩽0}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}=\underset{k⩽-1}{\bigvee }{\phi }^k\mathfrak{B}$$

что противоречит (12.32).

Замечание 12.33. Гирсанов [1] привел пример динамической (не классической) системы с нулевой энтропией и бесконечным лебеговским спектром. Но это — не $K$-система.

Гуревич [1] показал, что орициклический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет бесконечный лебеговский спектр, но нулевую энтропию. Следовательно, это классическая система с лебеговским спектром, но она не является $K$-системой.

Замечание 12.34. По определению, энтропия потока ${\phi }_t$ в непрерывном случае равна $h\left({\phi }_t\right)$. Если $(M,\mu ,{\phi }_t$ ) — $K$-поток (см. определение 11.1), то $(M,\mu ,{\phi }_1)$ — $K$-система. Следовательно (теорема 12.31 ), энтропия $h\left({\phi }_1\right)$ $K$-потока положительна.

Теорема Кушниренко ${12.35}^{16}$. Энтропия классических систем. Энтропия классических систем конечна.

Доказательство.
Пусть $(M,\mu ,\phi )$ — класситеская система. Так как многообразие $M$ компактно и гладко, оно несет риманову метрику $g$. Деформируя $g$ конформно, можно предполагать, что ее элемент объема равен $d\mu$. Площадь любого подмногообразия есть площадь в смысле метрики $g$.

Назовем классическим разбиением многообразия $M$ его конечное разбиение на комплексы с кусочно дифференцируемыми границами; таким образом, сумма площадей границ конечна. Поскольку $M$ компактно и гладко, такое разбиение всегда существует (Cairns [1]).
Сделаем два очевидных замечания.

1) Поскольку любое конечное разбиение можно аппоксимировать классическим разбиением и энтропия $h(\alpha ,\phi )$ непрерывна по $\alpha$ (приложение 19), имеем:
$$h(\phi )=\underset{\alpha \text{ классическое }}{sup}h(\alpha ,\phi ).$$
2) Если $\sigma$ — подмногообразие размерности ( $\dim M-1)$ и площади $S(\sigma )$, то, поскольку $M$ компактно, существует не зависящая от $\sigma$ постоянная $\lambda$ такая, что
$$\frac{S(\phi \sigma )}{S(\sigma )}<\lambda .$$

Пусть $\alpha$ — классическое разбиение, $S(\alpha )$ — площадь границ его комплексов. Тогда
$$S(\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha )⩽S(\alpha )+\lambda S(\alpha )+\dots +{\lambda }^{n-1}S(\alpha )<{\lambda }^n\frac{S(\alpha )}{\lambda -1}.$$

Из изопериметрического неравенства следует, что существует константа $C>0$ такая, что если $N=\dim M$, то
$$\mu {\left(A_i\right)}^{(N-1)/N}⩽C\cdot S\left(A_i\right),\text{ где }{A}_i\in \alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{n-1}\alpha .$$

Если $A_1,A_2,\dots ,A_k$ — элементы рассматриваемого разбиения, то, используя (12.36), получаем
$$\sum _{i=1}^k{\left[\mu \left(A_i\right)\right]}^{(N-1)/N}⩽C\cdot {\lambda }^n\frac{S(\alpha )}{\lambda -1}.$$

Следовательно,
$$\log \sum _{i=1}^k\left[\mu {\left(A_i\right)}^{(N-1)/N}\right]⩽n\log \lambda +\text{ const. }$$

Но $f(x)=\log x-$ выпуклая функция, $\mu \left(A_i\right)⩾0,\sum \mu \left(A_i\right)=1$, поэтому применение неравенства Иенсена к левой части дает
$$f(\sum \mu \left(A_i\right){\omega }_i)⩾\sum \mu \left(A_i\right)f\left({\omega }_i\right).$$

Полагая ${\omega }_i=\mu {\left(A_i\right)}^{-1/N}$, получаем с учетом (12.37):
$$\sum _{i=1}^k{[\mu \left(A_i\right)\log \mu \left(A_i\right)]}^{-1/N}⩽n\log \lambda +\text{ const }$$

откуда
$$\frac{-\sum _{i=1}^k\mu \left(A_i\right)\log \mu \left(A_i\right)}{n}⩽N\cdot \log \lambda +\frac{\text{ const }}{n}.$$

Если $n\to +\mathrm{\infty }$, то
$$h(\alpha ,\phi )⩽N\cdot \log \lambda ,$$

и в силу замечания (1)
$$h(\phi )⩽N\cdot \log \lambda .$$

В итоге делаем вывод:
Для любой классической системы $(M,\mu ,\phi )$ и постоянной $\lambda$, задаваемой неравенством (12.36), выполняется неравенство
$$h(\phi )⩽(\dim M)\cdot \log \lambda .$$

Следствие 12.39. Существуют абстракные динамические системы, не изоморфные классическим. Энтропия таких систем бесконечна, например, бесконечная схема Бернулли:
$$B(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{16},\dots ,\underset{2^{2^n-n-1}\text{ раз }}{\underbrace{\frac{1}{2^{2n}},\dots ,\frac{1}{2^{2n}}}},\dots ).$$

Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию.

Доказательство.
Действительно, это классическая система (компактная абелева группа конечной размерности), на которой действует вращение. Следовательно, $\lambda =1$ и, согласно (12.38), $h(\phi )=0$.

Проблема 12.41. Неизвестно, зависит ли энтропия $h(\phi )$ классической системы непрерывным образом от $\phi$.

Замечание 12.42. Теорема Кушниренко связана с результатами М. Артина и Б. Мазура [1]:

Пусть $M$ — компактное гладкое многообразие, $\phi :M\to M$ — структурно устойчивый $C^1$-диффеоморфизм, тогда число $N(n)$ изолированных неподвижных точек диффеоморфизмов ${\phi }^n,n=1,2,\dots$ возрастает не более чем экспоненциально:
$$N(n)⩽C\cdot e^{\lambda n},C=C(\phi ),\lambda =\lambda (\phi ).$$

Замечание 12.43. Недавно Кушниренко ${}^{17}$ ввел некоторые новые нетривиальные инварианты абстрактной динамической системы, $A$-энтропии. Пусть $A$ — монотонная последовательность целых цисел
$$A:a_1<a_2<a_3<\cdots .$$

Тогда $A$-энтропия автоморфизма $\phi$ относительно разбиения $\alpha$ определяется как
$$h_A(\phi ,\alpha )=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim sup}\frac{h({\phi }^{a_1}\alpha \vee \cdots \vee {\phi }^{a_n}\alpha )}{n}.$$

Подобно определению $12.23,A$-энтропия равна
$$h_A(\phi )=sup{h}_A(\phi ,\alpha ).$$

Обычная энтропия получается, если $A=\{0,1,2,\dots \}$. $A$-энтропии могут различать некоторые системы с обычной энтропией, равной 0 .

Приведем пример.

Пусть $A=\left\{2^n\right\}$. Тогда $A$-энтропия орициклического потока (см. главу 3) равна $h,0<h<\mathrm{\infty }$. Рассмотрим прямое произведение этого потока на самого себя. Его $A$-энтропия равна $2h,0<2h<\mathrm{\infty }$. Поскольку $2heqh$, произведение не изоморфно орициклическому потоку. Тем не менее, они оба имеют нулевую обычную энтропию и счетнократный лебеговский спектр.
Замечание 12.44. Недавно Каток и Степин $[1{]}^{18}$ ввели несколько новых нетривиальных инвариантов абстрактных динамических систем, скорости периодических аппроксимаций.

Пусть $(M,\mu ,\phi )$ — абстрактная динамическая система, ${\xi }_n$ — разбиение $(M,\mu )$ на множества $C_n^i$ меры $\frac{1}{n}(i=1,\dots ,n)$. Автоморфизм $S_n$ пространства ( $M,\mu$ ) называется циклическим относительно разбиения ${\xi }_n$, если:

a) $S_n{\xi }_n={\xi }_n$,
b) ${\left(S_n\right)}^n=E,{\left(S_n\right)}^{k}eqE$ для $k<n$ ( $E$ — тождественное преобразование).

Будем говорить, что $\phi$ допускает аппроксимацию циклическим преобразованием порядка $O\left[f\left(q_n\right)\right]$, если для возрастающей последовательности натуральных чисел $q_n$ существует последовательность разбиений ${\xi }_{q_n}$, сходящаяся к $\hat{1}$, и последовательность автоморфизмов $S_{q_n}$ циклических относительно ${\xi }_{q_n}$ таких, что
$$\sum _{i=1}^{q_n}\mu \left(\phi C_{q_n}^i\mathrm{\Delta }{S}_{q_n}{C}_{q_n}^i\right)=O\left[f\left(q_n\right)\right].$$

Каток и Степин доказали некоторые важные теоремы, которые связывают определение порядка аппроксимации периодическими преобразованиями с энтропией и спектром. Важность этих результатов потверждается тем фактом, что во многих случаях возможно получить некоторую информацию о скоростях аппроксимации конкретных систем, даже если точное вычисление спектра невозможно. Некоторые из этих теорем следующие:

1) Если автоморфизм $\phi$ допускает аппроксимацию циклическими преобразованиями порндка $O\left(\frac{1}{{\ln }^2{q}_n}\right)$, тогда $h(\phi )=0$.
2) Автоморфизм, допускающий аппроксимацию циклическими преобразованиями порядка $O\left(\frac{1}{q_n}\right)$, эргодичен. Более того, имеет место сильная сходимость $U^{q_n}\Rightarrow E$, где $U$ — унитарный оператор на $L^2(M,\mu )$, индуцированный преобразованием $\phi$. Как следствие, $\phi$ не обладает свойством перемешивания, и максимальный спектральный тип $U$ сингулярен.

Можно найти больше теорем об аппроксимациях и их приложениях к изучению конкретных динамических систем таких, как, к примеру, отображение

или поток на торе
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{F(x,y)},\frac{dy}{dt}=\frac{\lambda }{F(x,y)}$$

в статьях Катка и Степина в «Докладах АН СССР» (1967), в журналах «Функциональный анализ и его приложения» (1967), и «спехи математических наук» (1967).