Определим теперь инвариант динамических систем, который не является спектральным инвариантом ${ }^{11}$.

Пусть $\alpha=\left\{A_{i}\right\}_{i \in I}$ — измеримое конечное разбиение $M$ (см. приложение 18 ):
\[
\mu\left(M \backslash \bigcup_{i \in I} A_{i}\right)=0, \quad \mu\left(A_{i} \cap A_{j}\right)=0 \quad \text { при } i
eq j,
\]

В дальнейшем предполагается, что $I$ конечно (или счетно).

Определение 12.1 ${ }^{12}$. Величина
\[
h(\alpha)=-\sum_{i \in I} \mu\left(A_{i}\right) \log \mu\left(A_{i}\right)
\]

где $\log$ — двоичный логарифм и $x \log x=0$ при $x=0$, называется энтропией $h(\alpha)$ разбиения $\alpha$.

Сумма в правой части может быть конечной или бесконечной, так как элементы последовательности $\left\{\mu\left(A_{i}\right) \log \mu\left(A_{i}\right)\right\}$ отрицательны или равны нулю $\left(0 \leqslant \mu\left(A_{i}\right) \leqslant 1\right)$. В этом случае $\mu\left(A_{i}\right)=\frac{1}{N}$, поэтому $h(\alpha)=\log N$. Заметим, что если $\alpha$ — некоторое разбиение на $N$ элементов, то
\[
h(\alpha) \leqslant \log N,
\]

причем равенство имеет место в том и только том случае, если все элементы имеют одну и ту же меру $1 / N$.
Действительно, функция
\[
z(x)=\left\{\begin{array}{ll}
-x \log x & \text { при } 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
0 & \text { при } x=0
\end{array}\right.
\]

строго выпукла, так как
\[
z^{\prime \prime}(x)=-\frac{\log e}{x}<0 .
\]

Поэтому из неравенства Иенсена мы получаем, что
\[
\begin{array}{l}
h(\alpha)=\sum z\left(\mu\left(A_{i}\right)\right)=N \sum \frac{1}{N} z\left(\mu\left(A_{i}\right)\right) \leqslant \\
\leqslant N z\left(\frac{1}{N} \sum \mu\left(A_{i}\right)\right)=N z\left(\frac{1}{N}\right)=\log N .
\end{array}
\]

Иначе говоря, $h(\alpha)$ есть не что иное, каю взвешенный двоичный логарифм от числа элементов разбиения $\alpha$.

Заметим также, что если два разбиения эквивалентны, т.е. отличаются лишь на множестве меры нуль, то они обладают одинаковой энтропией. Наконец, равенство $h(\alpha)=0$ означает, что все меры $\mu\left(A_{i}\right)$ равны нулю, кроме одной, равной единице.

Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения $\alpha$ относительно разбиения $\beta$. Пусть $\alpha=\left\{A_{i} \mid i=1, \ldots, r\right\}, \beta=\left\{B_{j} \mid j=\right.$ $=1, \ldots, s\}$ — два измеримых конечных разбиения.
Можно предположить, что $\mu\left(A_{i}\right)>0, \mu\left(B_{j}\right)>0$ при всех $i, j$.
Разбиение $\alpha$ индуцирует на каждом $B_{i}$ конечное разбиение
\[
B_{i} \cap A_{1}, \ldots, B_{i} \cap A_{r} .
\]

Если считать, что $B_{i}$ имеет меру 1 (в результате перенормировки), то это — конечное разбиение, обладающее энтропией.

Взвешенная сумма этих энтропий по всем $B_{i}$ называется энтропией $\alpha$ относительно $\beta$ и обозначается
\[
h(\alpha \mid \beta)=\sum_{i=1}^{s} \mu\left(B_{i}\right)\left[-\sum_{k=1}^{r} \frac{\mu\left(B_{i} \cap A_{k}\right)}{\mu\left(B_{i}\right)} \log \left(\frac{\mu\left(B_{i} \cap A_{k}\right)}{\mu\left(B_{i}\right)}\right)\right] .
\]

Аналогичное определение существует и в том случае, если $\alpha$ и $\beta-$ счетные и измеримые разбиения (приложение 18).
В приложение 18 приведено доказательство следующей теоремы.

Теорема 12.5. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — измеримые конечные (или счетные) разбиения. Тогда
\[
h(\alpha \mid \beta) \geqslant 0,
\]

причем равенство имеет место в том и только том случае, если $\alpha \leqslant \beta(\bmod 0)$.
\[
\begin{array}{c}
h(\alpha \vee \beta \mid \gamma)=h(\alpha \mid \gamma)+h(\beta \mid \alpha \vee \gamma), \\
\alpha \leqslant \beta \quad(\bmod 0) \Longrightarrow h(\alpha \mid \gamma) \leqslant h(\beta \mid \gamma), \\
\beta \leqslant \gamma \quad(\bmod 0) \Longrightarrow h(\alpha \mid \gamma) \geqslant h(\alpha \mid \beta), \\
h(\alpha \vee \beta \mid \gamma) \leqslant h(\alpha \mid \gamma)+h(\beta \mid \gamma) .
\end{array}
\]

Пусть $
u$ — тривиальное разбиение $\{M\}$ и возьмем $\gamma=
u$ в выписанных выше соотношениях. Поскольку $h(\alpha \mid
u)=h(\alpha)$, получаем
\[
\begin{array}{c}
h(\alpha \vee \beta)=h(\alpha)+h(\beta \mid \alpha), \\
\alpha \leqslant \beta \Longrightarrow h(\alpha) \leqslant h(\beta), \\
h(\alpha \mid \beta) \leqslant h(\alpha), \\
h(\alpha \vee \beta) \leqslant h(\alpha)+h(\beta) .
\end{array}
\]

Заметим, наконец, что если $\varphi$ — автоморфизм измеримого пространства $(M, \mu)$, то
\[
\begin{array}{c}
\varphi(\alpha \vee \beta)=\varphi(\alpha) \vee \varphi(\beta), \\
h(\alpha \mid \beta)=h(\varphi \alpha \mid \varphi \beta) .
\end{array}
\]

Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть $(M, \mu, \varphi)$ — динамическая система, $\alpha$ — конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия $M$. Энтропией $\alpha$ относительно $\varphi$ называется число
\[
h(\alpha, \varphi)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{h\left(\alpha \vee \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)}{n}, \quad n \in \mathbb{Z}^{+} .
\]

Докажем, что этот предел существует. Так как $n$ — положительное целое число, положим:
\[
\begin{aligned}
h_{n} & =h\left(\alpha \vee \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right), \\
s_{n} & =h_{n}-h_{n-1}
\end{aligned}
\]

Лемма 12.18. $\quad s_{n} \geqslant 0$.

Доказательство.
Из свойства 12.8 и из того, что
\[
\alpha \vee \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha \leqslant \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n} \alpha,
\]

следует, что $h_{n-1} \leqslant h_{n}$.

Лемма 12.19. $s_{n}$ — убывающая последовательность.

Доказательство.
По свойству (12.9) имеем:
\[
\begin{aligned}
s_{n}=h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n} \alpha\right)-h(\alpha \vee \cdots & \left.\vee \varphi^{n-1} \alpha\right)= \\
& =h\left(\varphi^{n} \alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right) .
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
s_{n-1}=h\left(\varphi^{n-1} \alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-2} \alpha\right),
\]
т. е. с учетом (12.15) и (12.16)
\[
s_{n-1}=h\left(\varphi^{n} \alpha \mid \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right) .
\]

Поскольку $\varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha \leqslant \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha$, из свойства (12.12) следует, что $s_{n-1} \geqslant s_{n}$.

Теорема 12.21. Энтропия $h(\alpha, \varphi)$ существует и равна
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} h\left(\varphi^{n} \alpha \mid \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right) .
\]

Доказательство.
$\left\{s_{n}\right\}$ — это убывающая последовательность положительных чисел, имеющая предел $s$. Если заметить, что $h_{n}=h(\alpha)+s_{1}+\ldots+s_{n}$, то из теоремы о средних арифметических в смысле Чезаро мы заключаем, что
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{h_{n}}{n}=s .
\]

Теорема 12.21 следует из определения энтропии $h(\alpha, \varphi)$ и выражения (12.20) для $s_{n}$.

Пример 12.22. Схемы Бернулли. Пусть $B\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ — схема Бернулли (см. гл. 1, пример 2.2), $\varphi$ — ее автоморфизм. Рассмотрим конечное разбиение $\alpha$ с $k$ элементами
\[
A_{0}^{i}=\left\{m \mid m_{0}=i\right\}, \quad i=1, \ldots, k .
\]

Докажем, что
\[
h(\alpha, \varphi)=-\sum_{i=1}^{k} p_{i} \log p_{i} .
\]

Поскольку $\varphi^{n} A_{0}^{i}=A_{n}^{i}=\left\{m \mid m_{n}=i\right\}$, то $\alpha \vee \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha$ имеет элементами
\[
A_{0}^{i_{0}} \cap A_{1}^{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{n-1}^{i_{n-1}},
\]

мера которых равна $p_{i_{0}} \cdot \ldots \cdot p_{i_{n-1}}$. Поэтому мы заключаем, что
\[
h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)=-\sum_{i_{0}, \ldots, i_{n-1}} p_{i_{0}} \cdots \cdots p_{i_{n-1}} \cdot \log \left(p_{i_{0}} \cdot \ldots \cdot p_{i_{n-1}}\right) .
\]

Суммируя по $i_{0}$ и замечая, что
\[
\sum_{i_{0}, \ldots, i_{n-1}} p_{i_{0}} \cdot \ldots \cdot p_{i_{n-1}}=1
\]

получаем:
\[
h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)=-\sum_{i} p_{i} \log p_{i}+h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-2} \alpha\right) .
\]

По индукции мы заключаем:
\[
h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)=n\left(-\sum_{i} p_{i} \log p_{i}\right),
\]

откуда
\[
h(\alpha, \varphi)=-\sum_{i} p_{i} \log p_{i}
\]

Определение 12.23. Энтропия автоморфизма ${ }^{13}$. Энтропией $h(\varphi)$ автоморфизма $\varphi$ называется величина
\[
h(\varphi)=\sup h(\alpha, \varphi),
\]

где $\alpha$ пробегает множество конечных измеримых разбиений. Очевидно, что $h(\varphi) \geqslant 0$.

Теорема 12.24. Энтропия $h(\varphi)$ — инвариант динамической системы $(M, \mu, \varphi)$.

Доказательство.

Предположим, что системы $(M, \mu, \varphi)$ и $\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$ изоморфны (см. гл. 1, определение 4.1). Тогда существует изоморфизм $f: M \rightarrow M^{\prime}$ такой, что $\varphi^{\prime}=f \varphi f^{-1}$. Если $\alpha$ — измеримое конечное разбиение многообразия $M$, то $f \alpha$ — измеримое конечное разбиение многообразия $M^{\prime}$. Из (12.15) и (12.16) получаем
\[
\begin{aligned}
& h\left(f \alpha, \varphi^{\prime}\right)=h\left(f \alpha, f \varphi f^{-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{h\left(f \alpha \vee \ldots \vee f \varphi^{n-1} f^{-1} f \alpha\right)}{n}= \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{h\left(f\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)\right)}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{h\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right)}{n}=h(\alpha, \varphi) .
\end{aligned}
\]

С другой стороны, если $\alpha$ пробегает множество измеримых конечных разбиений многообразия $M$, то $f \alpha$ пробегает аналогичное множество для $M^{\prime}$. Следовательно,
\[
\sup h\left(\alpha^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\sup h(\alpha, \varphi) .
\]

Приведем способ вычисления $h(\varphi)$.

Определение 12.25. Образующее разбиение относительно автоморфизма. Пусть $\alpha$ — измеримое разбиение, конечное или счетное, $\mathfrak{M}(\alpha)$ — порождаемая $\alpha$ измеримая алгебра. Говорят, что $\alpha$ образующее разбиение относительно $\varphi$, если
\[
\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{M}(\alpha)=\widehat{1}
\]

Теорема 12.26 Колмогорова ${ }^{14}$. Если $\alpha$ — образующее разбиение относительно $\varphi$, то $h(\varphi)=h(\alpha, \varphi)$.

Доказательство см. в приложении 19.
Приведем примеры применения этой теоремы.

Пример 12.27. Схемы Бернулли.
Энтропия схемы Бернулли $B\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ есть величина
\[
h(\varphi)=-\sum_{i=1}^{k} p_{i} \log p_{i} .
\]

Доказательство.

Пусть $B\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ — схема Бернулли. Алгебра $\hat{1}$ порождаема множествами
\[
A_{i}^{j}=\left\{m \mid m_{i}=j\right\}, \quad j \in \mathbb{Z}_{k}, i \in \mathbb{Z} .
\]

Рассмотрим разбиение $\alpha=\left\{A_{0}^{i}, i=1, \ldots, k\right\}$ из примера 12.22. Так как $\varphi^{n} A_{0}^{i}=A_{n}^{i}$, алгебра $\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{M}(\alpha)$ содержит все множества, порождающие алгебру $\widehat{1}$. Следовательно, $\alpha$ — образующее разбиение относительно $\varphi$, и теорема следует из 12.22 и 12.26 .

Следствие 12.28 .

1) Для любого неотрицательного числа а существует абстрактная динамическая система, а именно — схема Бернулли, энтропия которой равна а.
2) Мы видели (пример 10.6), что все схемы Бернулли принадлежат $\kappa$ одному и тому же спектральному типу. Так как эти схемы могут иметь различные энтропии, а энтропия — инвариант, ясно, что существуют абстрактные динамические системы, которые не изомор $\phi$ ны, но принадлежат к одному и тому же спектральному типу.

Существует гипотеза о том, что если две $K$-системы принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одной и той же энтропией, то они изоморфны. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них гомоморфна другой (Синай [9]).
К этому же кругу вопросов относится и результат Мешалкина [1]: $B\left(p_{1}, \ldots\right)$ и $B\left(q_{1}, \ldots\right)$ изоморфны, если обладают одной и той же энтропией и если $p_{i}, q_{i}$ — отрицательные степени одного и того же целого числа.

Например, схемы Бернулли $B\left(\frac{1}{2}, 1 / 8,1 / 8,1 / 8,1 / 8\right)$ и $B(1 / 4,1 / 4,1 / 4,1 / 4)$ изоморфны. Блюм и Хансон [1] обобщили этот результат.

Пример 12.29. Автоморфизмы тора. Если $\varphi$ — эргодический автоморфизм тора $\{(x, y)(\bmod 1)\}$ :
\[
\varphi(x, y)=(a x+b y, c x+d y) \quad(\bmod 1), \quad a d-b c=1,
\]

то, как показал Синай [7], его энтропия равна
\[
h(\varphi)=\log \left|\lambda_{1}\right|,
\]

где $\lambda_{1}$ — собственное значение матрицы
\[
\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)
\]

модуль которого больше 1.
В более общем случае, если $\varphi$ — эргодический автоморфизм $r$-мерного тора $T^{r}=\mathbb{R}^{r} / \mathbb{Z}^{r}$ и матрица $\varphi$ имеет $r$ различных собственных значений $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r}$, то
\[
h(\varphi)=\sum_{\left|\lambda_{i}\right|>1} \log \left|\lambda_{i}\right|,
\]
(см. Генис [1] и исправление Абрамова [1]).

Следствие 12.30 (См. гл. 1, пример 4.4.). Динамические системы на $T^{2}$, задаваемые матрицами
\[
\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\right) \quad u \quad\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right)
\]

не изоморфны.
Динамические системы, задаваемые матрицами
\[
\left(\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right) \quad \text { и } \quad\left(\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right)
\]

принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одинаковой энтропией. Неизвестно, изоморфны ли они. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них является системой-фактором другой (Синай [9]).

Теорема 12.31. Энтропия $К$-систем ${ }^{15}$. Энтропия $K$-системы положительна.

Доказательство.

По определению 11.1, существует подалгебра $\mathfrak{A}$ алгебры $\widehat{1}$ такая, что

Докажем, что в $\mathfrak{A}$ существует конечная подалгебра $\mathfrak{B}$ такая, что
\[
\bigvee_{k \leqslant n} \varphi^{k} \mathfrak{B} \supset \bigvee_{k \leqslant n^{\prime}} \varphi^{k} \mathfrak{B} \quad \text { для } n>n^{\prime} ; \quad n, n^{\prime} \in \mathbb{Z} .
\]

Предположим, что для конечной подалгебры $\mathfrak{B} \in \mathfrak{A}$ существуют целые числа $n, n^{\prime}$ такие, что $n>n^{\prime}$ и
\[
\bigvee_{k \leqslant n} \varphi^{k} \mathfrak{B}=\bigvee_{k \leqslant n^{\prime}} \varphi^{k} \mathfrak{B}
\]

Так как $(M, \mu)$ — лебегово пространство, существует возрастающая последовательность $\mathfrak{B}_{1} \subset \mathfrak{B}_{2} \subset \cdots \subset \mathfrak{A}$ конечных алгебр $\mathfrak{B}_{i}$ таких, что
\[
\overline{\mathfrak{B}_{i}}=\mathfrak{A} .
\]

Из принятого нами предположения следует, что
\[
\varphi^{n}\left(\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \mathfrak{B}_{i}\right)=\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \mathfrak{B}_{i}
\]

при всех $i$. Следовательно,
\[
\varphi^{n} \mathfrak{A}=\bigvee_{k \leqslant n} \varphi^{k} \mathfrak{A}=\overline{\bigvee_{i} \varphi^{n}\left(\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \mathfrak{B}_{i}\right)}=\overline{\bigvee_{i}\left(\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \mathfrak{B}_{i}\right)}=\mathfrak{A},
\]

и мы приходим к противоречию.
Пусть теперь $\beta$ — конечное разбиение, порождающее $\mathfrak{B}$ (см. определение П18.5). Из 12.21 мы заключаем, что
\[
h(\varphi) \geqslant h(\beta, \varphi)=\lim _{n \rightarrow \infty} h\left(\beta \mid \varphi^{-1} \beta \vee \cdots \vee \varphi^{-n} \beta\right) .
\]

Последовательность $\varphi^{-1} \beta, \varphi^{-1} \beta \vee \varphi^{-2} \beta, \ldots$ — невозрастающая, поэтому (см. (12.9))
\[
h(\varphi) \geqslant h\left(\beta \mid \bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \beta\right) .
\]

Достаточно доказать теперь, что
\[
h\left(\beta \mid \bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \beta\right)>0 .
\]

Если предположить, что имеет место равенство нулю, то из (12.6) мы получили бы
\[
\beta \leqslant \bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \beta \quad(\bmod 0)
\]

и, следовательно,
\[
\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \beta=\beta \vee\left(\bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \beta\right)=\bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \beta,
\]
T. e.
\[
\bigvee_{k \leqslant 0} \varphi^{k} \mathfrak{B}=\bigvee_{k \leqslant-1} \varphi^{k} \mathfrak{B}
\]

что противоречит (12.32).

Замечание 12.33. Гирсанов [1] привел пример динамической (не классической) системы с нулевой энтропией и бесконечным лебеговским спектром. Но это — не $K$-система.

Гуревич [1] показал, что орициклический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет бесконечный лебеговский спектр, но нулевую энтропию. Следовательно, это классическая система с лебеговским спектром, но она не является $K$-системой.

Замечание 12.34. По определению, энтропия потока $\varphi_{t}$ в непрерывном случае равна $h\left(\varphi_{t}\right)$. Если $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) — $K$-поток (см. определение 11.1), то $\left(M, \mu, \varphi_{1}\right)$ — $K$-система. Следовательно (теорема 12.31 ), энтропия $h\left(\varphi_{1}\right)$ $K$-потока положительна.

Теорема Кушниренко $12.35^{16}$. Энтропия классических систем. Энтропия классических систем конечна.

Доказательство.
Пусть $(M, \mu, \varphi)$ — класситеская система. Так как многообразие $M$ компактно и гладко, оно несет риманову метрику $g$. Деформируя $g$ конформно, можно предполагать, что ее элемент объема равен $d \mu$. Площадь любого подмногообразия есть площадь в смысле метрики $g$.

Назовем классическим разбиением многообразия $M$ его конечное разбиение на комплексы с кусочно дифференцируемыми границами; таким образом, сумма площадей границ конечна. Поскольку $M$ компактно и гладко, такое разбиение всегда существует (Cairns [1]).
Сделаем два очевидных замечания.

1) Поскольку любое конечное разбиение можно аппоксимировать классическим разбиением и энтропия $h(\alpha, \varphi)$ непрерывна по $\alpha$ (приложение 19), имеем:
\[
h(\varphi)=\sup _{\alpha \text { классическое }} h(\alpha, \varphi) .
\]
2) Если $\sigma$ — подмногообразие размерности ( $\operatorname{dim} M-1)$ и площади $S(\sigma)$, то, поскольку $M$ компактно, существует не зависящая от $\sigma$ постоянная $\lambda$ такая, что
\[
\frac{S(\varphi \sigma)}{S(\sigma)}<\lambda .
\]

Пусть $\alpha$ — классическое разбиение, $S(\alpha)$ — площадь границ его комплексов. Тогда
\[
S\left(\alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha\right) \leqslant S(\alpha)+\lambda S(\alpha)+\ldots+\lambda^{n-1} S(\alpha)<\lambda^{n} \frac{S(\alpha)}{\lambda-1} .
\]

Из изопериметрического неравенства следует, что существует константа $C>0$ такая, что если $N=\operatorname{dim} M$, то
\[
\mu\left(A_{i}\right)^{(N-1) / N} \leqslant C \cdot S\left(A_{i}\right), \quad \text { где } \quad A_{i} \in \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha .
\]

Если $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$ — элементы рассматриваемого разбиения, то, используя (12.36), получаем
\[
\sum_{i=1}^{k}\left[\mu\left(A_{i}\right)\right]^{(N-1) / N} \leqslant C \cdot \lambda^{n} \frac{S(\alpha)}{\lambda-1} .
\]

Следовательно,
\[
\log \sum_{i=1}^{k}\left[\mu\left(A_{i}\right)^{(N-1) / N}\right] \leqslant n \log \lambda+\text { const. }
\]

Но $f(x)=\log x-$ выпуклая функция, $\mu\left(A_{i}\right) \geqslant 0, \sum \mu\left(A_{i}\right)=1$, поэтому применение неравенства Иенсена к левой части дает
\[
f\left(\sum \mu\left(A_{i}\right) \omega_{i}\right) \geqslant \sum \mu\left(A_{i}\right) f\left(\omega_{i}\right) .
\]

Полагая $\omega_{i}=\mu\left(A_{i}\right)^{-1 / N}$, получаем с учетом (12.37):
\[
\sum_{i=1}^{k}\left[\mu\left(A_{i}\right) \log \mu\left(A_{i}\right)\right]^{-1 / N} \leqslant n \log \lambda+\text { const }
\]

откуда
\[
\frac{-\sum_{i=1}^{k} \mu\left(A_{i}\right) \log \mu\left(A_{i}\right)}{n} \leqslant N \cdot \log \lambda+\frac{\text { const }}{n} .
\]

Если $n \rightarrow+\infty$, то
\[
h(\alpha, \varphi) \leqslant N \cdot \log \lambda,
\]

и в силу замечания (1)
\[
h(\varphi) \leqslant N \cdot \log \lambda .
\]

В итоге делаем вывод:
Для любой классической системы $(M, \mu, \varphi)$ и постоянной $\lambda$, задаваемой неравенством (12.36), выполняется неравенство
\[
h(\varphi) \leqslant(\operatorname{dim} M) \cdot \log \lambda .
\]

Следствие 12.39. Существуют абстракные динамические системы, не изоморфные классическим. Энтропия таких систем бесконечна, например, бесконечная схема Бернулли:
\[
B(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \ldots, \underbrace{\frac{1}{2^{2 n}}, \ldots, \frac{1}{2^{2 n}}}_{2^{2^{n}-n-1} \text { раз }}, \ldots) .
\]

Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию.

Доказательство.
Действительно, это классическая система (компактная абелева группа конечной размерности), на которой действует вращение. Следовательно, $\lambda=1$ и, согласно (12.38), $h(\varphi)=0$.

Проблема 12.41. Неизвестно, зависит ли энтропия $h(\varphi)$ классической системы непрерывным образом от $\varphi$.

Замечание 12.42. Теорема Кушниренко связана с результатами М. Артина и Б. Мазура [1]:

Пусть $M$ — компактное гладкое многообразие, $\varphi: M \rightarrow M$ — структурно устойчивый $C^{1}$-диффеоморфизм, тогда число $N(n)$ изолированных неподвижных точек диффеоморфизмов $\varphi^{n}, n=1,2, \ldots$ возрастает не более чем экспоненциально:
\[
N(n) \leqslant C \cdot e^{\lambda n}, \quad C=C(\varphi), \quad \lambda=\lambda(\varphi) .
\]

Замечание 12.43. Недавно Кушниренко ${ }^{17}$ ввел некоторые новые нетривиальные инварианты абстрактной динамической системы, $A$-энтропии. Пусть $A$ — монотонная последовательность целых цисел
\[
A: a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots .
\]

Тогда $A$-энтропия автоморфизма $\varphi$ относительно разбиения $\alpha$ определяется как
\[
h_{A}(\varphi, \alpha)=\limsup _{n \rightarrow+\infty} \frac{h\left(\varphi^{a_{1}} \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{a_{n}} \alpha\right)}{n} .
\]

Подобно определению $12.23, A$-энтропия равна
\[
h_{A}(\varphi)=\sup h_{A}(\varphi, \alpha) .
\]

Обычная энтропия получается, если $A=\{0,1,2, \ldots\}$. $A$-энтропии могут различать некоторые системы с обычной энтропией, равной 0 .

Приведем пример.

Пусть $A=\left\{2^{n}\right\}$. Тогда $A$-энтропия орициклического потока (см. главу 3) равна $h, 0<h<\infty$. Рассмотрим прямое произведение этого потока на самого себя. Его $A$-энтропия равна $2 h, 0<2 h<\infty$. Поскольку $2 h
eq h$, произведение не изоморфно орициклическому потоку. Тем не менее, они оба имеют нулевую обычную энтропию и счетнократный лебеговский спектр.
Замечание 12.44. Недавно Каток и Степин $[1]^{18}$ ввели несколько новых нетривиальных инвариантов абстрактных динамических систем, скорости периодических аппроксимаций.

Пусть $(M, \mu, \varphi)$ — абстрактная динамическая система, $\xi_{n}$ — разбиение $(M, \mu)$ на множества $C_{n}^{i}$ меры $\frac{1}{n}(i=1, \ldots, n)$. Автоморфизм $S_{n}$ пространства ( $M, \mu$ ) называется циклическим относительно разбиения $\xi_{n}$, если:

a) $S_{n} \xi_{n}=\xi_{n}$,
b) $\left(S_{n}\right)^{n}=E,\left(S_{n}\right)^{k}
eq E$ для $k<n$ ( $E$ — тождественное преобразование).

Будем говорить, что $\varphi$ допускает аппроксимацию циклическим преобразованием порядка $O\left[f\left(q_{n}\right)\right]$, если для возрастающей последовательности натуральных чисел $q_{n}$ существует последовательность разбиений $\xi_{q_{n}}$, сходящаяся к $\widehat{1}$, и последовательность автоморфизмов $S_{q_{n}}$ циклических относительно $\xi_{q_{n}}$ таких, что
\[
\sum_{i=1}^{q_{n}} \mu\left(\varphi C_{q_{n}}^{i} \Delta S_{q_{n}} C_{q_{n}}^{i}\right)=O\left[f\left(q_{n}\right)\right] .
\]

Каток и Степин доказали некоторые важные теоремы, которые связывают определение порядка аппроксимации периодическими преобразованиями с энтропией и спектром. Важность этих результатов потверждается тем фактом, что во многих случаях возможно получить некоторую информацию о скоростях аппроксимации конкретных систем, даже если точное вычисление спектра невозможно. Некоторые из этих теорем следующие:

1) Если автоморфизм $\varphi$ допускает аппроксимацию циклическими преобразованиями порндка $O\left(\frac{1}{\ln ^{2} q_{n}}\right)$, тогда $h(\varphi)=0$.
2) Автоморфизм, допускающий аппроксимацию циклическими преобразованиями порядка $O\left(\frac{1}{q_{n}}\right)$, эргодичен. Более того, имеет место сильная сходимость $U^{q_{n}} \Rightarrow E$, где $U$ — унитарный оператор на $L^{2}(M, \mu)$, индуцированный преобразованием $\varphi$. Как следствие, $\varphi$ не обладает свойством перемешивания, и максимальный спектральный тип $U$ сингулярен.

Можно найти больше теорем об аппроксимациях и их приложениях к изучению конкретных динамических систем таких, как, к примеру, отображение

или поток на торе
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{1}{F(x, y)}, \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\lambda}{F(x, y)}
\]

в статьях Катка и Степина в «Докладах АН СССР» (1967), в журналах «Функциональный анализ и его приложения» (1967), и «спехи математических наук» (1967).