Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Определим теперь инвариант динамических систем, который не является спектральным инвариантом ${ }^{11}$. Пусть $\alpha=\left\{A_{i}\right\}_{i \in I}$ – измеримое конечное разбиение $M$ (см. приложение 18 ): В дальнейшем предполагается, что $I$ конечно (или счетно). Определение 12.1 ${ }^{12}$. Величина где $\log$ – двоичный логарифм и $x \log x=0$ при $x=0$, называется энтропией $h(\alpha)$ разбиения $\alpha$. Сумма в правой части может быть конечной или бесконечной, так как элементы последовательности $\left\{\mu\left(A_{i}\right) \log \mu\left(A_{i}\right)\right\}$ отрицательны или равны нулю $\left(0 \leqslant \mu\left(A_{i}\right) \leqslant 1\right)$. В этом случае $\mu\left(A_{i}\right)=\frac{1}{N}$, поэтому $h(\alpha)=\log N$. Заметим, что если $\alpha$ – некоторое разбиение на $N$ элементов, то причем равенство имеет место в том и только том случае, если все элементы имеют одну и ту же меру $1 / N$. строго выпукла, так как Поэтому из неравенства Иенсена мы получаем, что Иначе говоря, $h(\alpha)$ есть не что иное, каю взвешенный двоичный логарифм от числа элементов разбиения $\alpha$. Заметим также, что если два разбиения эквивалентны, т.е. отличаются лишь на множестве меры нуль, то они обладают одинаковой энтропией. Наконец, равенство $h(\alpha)=0$ означает, что все меры $\mu\left(A_{i}\right)$ равны нулю, кроме одной, равной единице. Определение 12.4. Средняя энтропия разбиения $\alpha$ относительно разбиения $\beta$. Пусть $\alpha=\left\{A_{i} \mid i=1, \ldots, r\right\}, \beta=\left\{B_{j} \mid j=\right.$ $=1, \ldots, s\}$ – два измеримых конечных разбиения. Если считать, что $B_{i}$ имеет меру 1 (в результате перенормировки), то это – конечное разбиение, обладающее энтропией. Взвешенная сумма этих энтропий по всем $B_{i}$ называется энтропией $\alpha$ относительно $\beta$ и обозначается Аналогичное определение существует и в том случае, если $\alpha$ и $\beta-$ счетные и измеримые разбиения (приложение 18). Теорема 12.5. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ – измеримые конечные (или счетные) разбиения. Тогда причем равенство имеет место в том и только том случае, если $\alpha \leqslant \beta(\bmod 0)$. Пусть $ Заметим, наконец, что если $\varphi$ – автоморфизм измеримого пространства $(M, \mu)$, то Определение 12.17. Энтропия разбиения относительно автоморфизма. Пусть $(M, \mu, \varphi)$ – динамическая система, $\alpha$ – конечное (или счетное) измеримое разбиение многообразия $M$. Энтропией $\alpha$ относительно $\varphi$ называется число Докажем, что этот предел существует. Так как $n$ – положительное целое число, положим: Лемма 12.18. $\quad s_{n} \geqslant 0$. Доказательство. следует, что $h_{n-1} \leqslant h_{n}$. Лемма 12.19. $s_{n}$ – убывающая последовательность. Доказательство. Следовательно, Поскольку $\varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha \leqslant \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha$, из свойства (12.12) следует, что $s_{n-1} \geqslant s_{n}$. Теорема 12.21. Энтропия $h(\alpha, \varphi)$ существует и равна Доказательство. Теорема 12.21 следует из определения энтропии $h(\alpha, \varphi)$ и выражения (12.20) для $s_{n}$. Пример 12.22. Схемы Бернулли. Пусть $B\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ – схема Бернулли (см. гл. 1, пример 2.2), $\varphi$ – ее автоморфизм. Рассмотрим конечное разбиение $\alpha$ с $k$ элементами Докажем, что Поскольку $\varphi^{n} A_{0}^{i}=A_{n}^{i}=\left\{m \mid m_{n}=i\right\}$, то $\alpha \vee \varphi \alpha \vee \cdots \vee \varphi^{n-1} \alpha$ имеет элементами мера которых равна $p_{i_{0}} \cdot \ldots \cdot p_{i_{n-1}}$. Поэтому мы заключаем, что Суммируя по $i_{0}$ и замечая, что получаем: По индукции мы заключаем: откуда Определение 12.23. Энтропия автоморфизма ${ }^{13}$. Энтропией $h(\varphi)$ автоморфизма $\varphi$ называется величина где $\alpha$ пробегает множество конечных измеримых разбиений. Очевидно, что $h(\varphi) \geqslant 0$. Теорема 12.24. Энтропия $h(\varphi)$ – инвариант динамической системы $(M, \mu, \varphi)$. Доказательство. Предположим, что системы $(M, \mu, \varphi)$ и $\left(M^{\prime}, \mu^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)$ изоморфны (см. гл. 1, определение 4.1). Тогда существует изоморфизм $f: M \rightarrow M^{\prime}$ такой, что $\varphi^{\prime}=f \varphi f^{-1}$. Если $\alpha$ – измеримое конечное разбиение многообразия $M$, то $f \alpha$ – измеримое конечное разбиение многообразия $M^{\prime}$. Из (12.15) и (12.16) получаем С другой стороны, если $\alpha$ пробегает множество измеримых конечных разбиений многообразия $M$, то $f \alpha$ пробегает аналогичное множество для $M^{\prime}$. Следовательно, Приведем способ вычисления $h(\varphi)$. Определение 12.25. Образующее разбиение относительно автоморфизма. Пусть $\alpha$ – измеримое разбиение, конечное или счетное, $\mathfrak{M}(\alpha)$ – порождаемая $\alpha$ измеримая алгебра. Говорят, что $\alpha$ образующее разбиение относительно $\varphi$, если Теорема 12.26 Колмогорова ${ }^{14}$. Если $\alpha$ – образующее разбиение относительно $\varphi$, то $h(\varphi)=h(\alpha, \varphi)$. Доказательство см. в приложении 19. Пример 12.27. Схемы Бернулли. Доказательство. Пусть $B\left(p_{1}, \ldots, p_{k}\right)$ – схема Бернулли. Алгебра $\hat{1}$ порождаема множествами Рассмотрим разбиение $\alpha=\left\{A_{0}^{i}, i=1, \ldots, k\right\}$ из примера 12.22. Так как $\varphi^{n} A_{0}^{i}=A_{n}^{i}$, алгебра $\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{M}(\alpha)$ содержит все множества, порождающие алгебру $\widehat{1}$. Следовательно, $\alpha$ – образующее разбиение относительно $\varphi$, и теорема следует из 12.22 и 12.26 . Следствие 12.28 . 1) Для любого неотрицательного числа а существует абстрактная динамическая система, а именно – схема Бернулли, энтропия которой равна а. Существует гипотеза о том, что если две $K$-системы принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одной и той же энтропией, то они изоморфны. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них гомоморфна другой (Синай [9]). Например, схемы Бернулли $B\left(\frac{1}{2}, 1 / 8,1 / 8,1 / 8,1 / 8\right)$ и $B(1 / 4,1 / 4,1 / 4,1 / 4)$ изоморфны. Блюм и Хансон [1] обобщили этот результат. Пример 12.29. Автоморфизмы тора. Если $\varphi$ – эргодический автоморфизм тора $\{(x, y)(\bmod 1)\}$ : то, как показал Синай [7], его энтропия равна где $\lambda_{1}$ – собственное значение матрицы модуль которого больше 1. Следствие 12.30 (См. гл. 1, пример 4.4.). Динамические системы на $T^{2}$, задаваемые матрицами не изоморфны. принадлежат к одному и тому же спектральному типу и обладают одинаковой энтропией. Неизвестно, изоморфны ли они. Известно лишь, что они слабо изоморфны, каждая из них является системой-фактором другой (Синай [9]). Теорема 12.31. Энтропия $К$-систем ${ }^{15}$. Энтропия $K$-системы положительна. Доказательство. По определению 11.1, существует подалгебра $\mathfrak{A}$ алгебры $\widehat{1}$ такая, что Докажем, что в $\mathfrak{A}$ существует конечная подалгебра $\mathfrak{B}$ такая, что Предположим, что для конечной подалгебры $\mathfrak{B} \in \mathfrak{A}$ существуют целые числа $n, n^{\prime}$ такие, что $n>n^{\prime}$ и Так как $(M, \mu)$ – лебегово пространство, существует возрастающая последовательность $\mathfrak{B}_{1} \subset \mathfrak{B}_{2} \subset \cdots \subset \mathfrak{A}$ конечных алгебр $\mathfrak{B}_{i}$ таких, что Из принятого нами предположения следует, что при всех $i$. Следовательно, и мы приходим к противоречию. Последовательность $\varphi^{-1} \beta, \varphi^{-1} \beta \vee \varphi^{-2} \beta, \ldots$ – невозрастающая, поэтому (см. (12.9)) Достаточно доказать теперь, что Если предположить, что имеет место равенство нулю, то из (12.6) мы получили бы и, следовательно, что противоречит (12.32). Замечание 12.33. Гирсанов [1] привел пример динамической (не классической) системы с нулевой энтропией и бесконечным лебеговским спектром. Но это – не $K$-система. Гуревич [1] показал, что орициклический поток на компактной поверхности постоянной отрицательной кривизны имеет бесконечный лебеговский спектр, но нулевую энтропию. Следовательно, это классическая система с лебеговским спектром, но она не является $K$-системой. Замечание 12.34. По определению, энтропия потока $\varphi_{t}$ в непрерывном случае равна $h\left(\varphi_{t}\right)$. Если $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) – $K$-поток (см. определение 11.1), то $\left(M, \mu, \varphi_{1}\right)$ – $K$-система. Следовательно (теорема 12.31 ), энтропия $h\left(\varphi_{1}\right)$ $K$-потока положительна. Теорема Кушниренко $12.35^{16}$. Энтропия классических систем. Энтропия классических систем конечна. Доказательство. Назовем классическим разбиением многообразия $M$ его конечное разбиение на комплексы с кусочно дифференцируемыми границами; таким образом, сумма площадей границ конечна. Поскольку $M$ компактно и гладко, такое разбиение всегда существует (Cairns [1]). 1) Поскольку любое конечное разбиение можно аппоксимировать классическим разбиением и энтропия $h(\alpha, \varphi)$ непрерывна по $\alpha$ (приложение 19), имеем: Пусть $\alpha$ – классическое разбиение, $S(\alpha)$ – площадь границ его комплексов. Тогда Из изопериметрического неравенства следует, что существует константа $C>0$ такая, что если $N=\operatorname{dim} M$, то Если $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{k}$ – элементы рассматриваемого разбиения, то, используя (12.36), получаем Следовательно, Но $f(x)=\log x-$ выпуклая функция, $\mu\left(A_{i}\right) \geqslant 0, \sum \mu\left(A_{i}\right)=1$, поэтому применение неравенства Иенсена к левой части дает Полагая $\omega_{i}=\mu\left(A_{i}\right)^{-1 / N}$, получаем с учетом (12.37): откуда Если $n \rightarrow+\infty$, то и в силу замечания (1) В итоге делаем вывод: Следствие 12.39. Существуют абстракные динамические системы, не изоморфные классическим. Энтропия таких систем бесконечна, например, бесконечная схема Бернулли: Следствие 12.40. Если ранг спектра динамической системы с чисто точечным спектром конечен, то такая система имеет нулевую энтропию. Доказательство. Проблема 12.41. Неизвестно, зависит ли энтропия $h(\varphi)$ классической системы непрерывным образом от $\varphi$. Замечание 12.42. Теорема Кушниренко связана с результатами М. Артина и Б. Мазура [1]: Пусть $M$ – компактное гладкое многообразие, $\varphi: M \rightarrow M$ – структурно устойчивый $C^{1}$-диффеоморфизм, тогда число $N(n)$ изолированных неподвижных точек диффеоморфизмов $\varphi^{n}, n=1,2, \ldots$ возрастает не более чем экспоненциально: Замечание 12.43. Недавно Кушниренко ${ }^{17}$ ввел некоторые новые нетривиальные инварианты абстрактной динамической системы, $A$-энтропии. Пусть $A$ – монотонная последовательность целых цисел Тогда $A$-энтропия автоморфизма $\varphi$ относительно разбиения $\alpha$ определяется как Подобно определению $12.23, A$-энтропия равна Обычная энтропия получается, если $A=\{0,1,2, \ldots\}$. $A$-энтропии могут различать некоторые системы с обычной энтропией, равной 0 . Приведем пример. Пусть $A=\left\{2^{n}\right\}$. Тогда $A$-энтропия орициклического потока (см. главу 3) равна $h, 0<h<\infty$. Рассмотрим прямое произведение этого потока на самого себя. Его $A$-энтропия равна $2 h, 0<2 h<\infty$. Поскольку $2 h Пусть $(M, \mu, \varphi)$ – абстрактная динамическая система, $\xi_{n}$ – разбиение $(M, \mu)$ на множества $C_{n}^{i}$ меры $\frac{1}{n}(i=1, \ldots, n)$. Автоморфизм $S_{n}$ пространства ( $M, \mu$ ) называется циклическим относительно разбиения $\xi_{n}$, если: a) $S_{n} \xi_{n}=\xi_{n}$, Будем говорить, что $\varphi$ допускает аппроксимацию циклическим преобразованием порядка $O\left[f\left(q_{n}\right)\right]$, если для возрастающей последовательности натуральных чисел $q_{n}$ существует последовательность разбиений $\xi_{q_{n}}$, сходящаяся к $\widehat{1}$, и последовательность автоморфизмов $S_{q_{n}}$ циклических относительно $\xi_{q_{n}}$ таких, что Каток и Степин доказали некоторые важные теоремы, которые связывают определение порядка аппроксимации периодическими преобразованиями с энтропией и спектром. Важность этих результатов потверждается тем фактом, что во многих случаях возможно получить некоторую информацию о скоростях аппроксимации конкретных систем, даже если точное вычисление спектра невозможно. Некоторые из этих теорем следующие: 1) Если автоморфизм $\varphi$ допускает аппроксимацию циклическими преобразованиями порндка $O\left(\frac{1}{\ln ^{2} q_{n}}\right)$, тогда $h(\varphi)=0$. Можно найти больше теорем об аппроксимациях и их приложениях к изучению конкретных динамических систем таких, как, к примеру, отображение или поток на торе в статьях Катка и Степина в «Докладах АН СССР» (1967), в журналах «Функциональный анализ и его приложения» (1967), и «спехи математических наук» (1967).
|
1 |
Оглавление
|