В этом приложении мы излагаем топологические причины существования периодических траекторий в гамильтоновых системах с $n$ степенями свободы.

А. Производящие функции

Пусть $\Omega=\mathbb{B}^{n} \times \mathbb{T}^{n}$ – каноническое пространство, $p: \Omega \rightarrow \mathbb{B}^{n} \subset$ $\subset \mathbb{R}^{n}=\left\{\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)\right\}$ и $q: \Omega \rightarrow \mathbb{T}^{n}=\left\{\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)(\bmod 2 \pi)\right\}-$ координаты точки $x \in \Omega$. Отображение $\mathbf{A}: \Omega \rightarrow \Omega$ называется глобально каноническим, если оно гомотопно тождественному и удовлетворяет равенству
\[
\oint_{\gamma} p d q=\oint_{\mathbf{A} \gamma} p d q
\]

для любого 1-цикла $\gamma$, не гомологичного нулю.
Как показано в приложении 32 , отображение $\mathbf{A}$ локально задано производящей функцией $P q+A(P, q)$, так как
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{det}\left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)
eq 0 \\
p=P+\frac{\partial A}{\partial q}, \quad Q=q+\frac{\partial A}{\partial P} \\
\left(\mathbf{A} x=(P(x), Q(x)), \quad P \in \mathbb{B}^{n}, Q \in \mathbb{T}^{n}\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, локально функция $A(P, q)$ удовлетворяет соотношению
\[
A(P, q)=\int^{(P, q)}(Q-q) d P+(p-P) d q .
\]

Положим $A(x)=A(P(x), q(x))$, где $x=(p(x), q(x)) \in \Omega$.

Лемма П33.4. Отображение (П33.2) – глобальное каноническое в том и только том случае, если функция $A(x)$, определенная соотношением (П33.3), однозначна на $\Omega$.

Доказательство.

Пусть $\gamma$ – замкнутая кривая в $\Omega$. Докажем, что
\[
\oint_{\gamma}(Q-q) d P+(p-P) d q=0 .
\]

Действительно, (II33.1) эквивалентно соотношению
\[
\oint_{\gamma} p d q=\oint_{\gamma} P d Q .
\]

В результате мы получаем
\[
\begin{aligned}
\oint_{\gamma}(Q-q) d P+ & (p-P) d q= \\
& =\oint_{\gamma} Q d P+P d Q-(q d P+P d q)=\oint_{\gamma} d[P(Q-q)] .
\end{aligned}
\]

Приращение величины $P(Q-q)$ вдоль $\gamma$ равно нулю:
\[
\oint_{\gamma} d[P(Q-q)]=0,
\]

поскольку отображение А гомотопно тождественному отображению. Наоборот, из (П33.5) и (П33.7) следует (П33.6).

В. Топологическая лемма

Пусть теперь $\mathbf{A}$ – глобалью ганоничссиий диффсоморфизм, $\mathbb{T}$ тор $p=0, A \mathbb{T}$ – образ тора $\mathbb{T}$ относительно диффеоморфизма $\mathbf{A}$.
Лемма П33.8. Торы $\mathbb{T}$ и $\mathbb{T}^{\mathbb{T}}$ имеют по крайней мере $2^{n}$ точек пересечения (каждая точка берется при подсчете столько раз, какова ее кратность) при условии, что $A \mathbb{T}$ определяется уравнением
\[
p=p(q), \quad\left|\frac{d p}{d q}\right|<\infty .
\]

Кроме того, число геометрически различных точек пересечения по крайней мере равно $n+1$.

Доказательство.

Рассмотрим на $A \mathbb{T}$ функцию
\[
f(x)=\int_{x_{0}}^{x} p(x) d q(x), \quad \text { где } \quad x=(p(x), q(x)) \in A \mathbb{T},
\]

где путь интегрирования есть некоторая кривая в $A \mathbb{T}$. Функция $f(x)$ определена корректно, так как интеграл (П33.10) не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть $\gamma$ – замкнутая кривая на $A \mathbb{T}$. Тогда
\[
\oint_{\gamma} p d q=\oint_{\mathbf{A}^{-1} \gamma} p d q=0
\]

так как $\mathbf{A}^{-1}$ – глобально каноническое отображение, $\mathbf{A}^{-1} \gamma \subset \mathbb{T}$, а на $\mathbb{T} p=0$. Функция $f(x)$ – дифференцируемая функция на $n$-мерном торе $\mathbb{T}^{n}$. В качестве таковой она в силу неравенств Морса ${ }^{1}$ имеет по крайней мере $2^{n}$ критических точек.

Из (П33.10) следует, что $d f=p(x) d q(x)$ на $A \mathbb{T}$. В точках пересечения $A \mathbb{T}$ с $\mathbb{T} p(x)=0$. Это означает, что точки пересечения $\mathbb{T}$ с $A \mathbb{T}$ являются критическими точками функции $f$ на $A \mathbb{T}$. Наоборот, в силу условия (П33.9) в каждой точке функции $f$ на $A \mathbb{T}$ выполняется равенство $p d q=0$ при любом $d q$; следовательно, $p(x)=0$, и поэтому критическая точка $x$ есть точка пересечения $A \mathbb{T}$ с $\mathbb{T}$. Лемма доказана.

Следствие П33.11. Торы $\mathbb{T}$ и $A \mathbb{T}$ имеют $2^{n}$ точек пересечения, так как их уравнения имеют вид
\[
p=p^{\prime}(q), p=p^{\prime \prime}(q) \quad\left(\left|\frac{d p^{\prime}}{d q}\right|<\infty,\left|\frac{d p^{\prime \prime}}{d q}\right|<\infty\right),
\]

и на $\mathbb{T}$ 2-форма $d p \wedge d q$ равна нулю.
Действительно, если $d p \wedge d q \equiv 0$ на $\mathbb{T}$, то преобразование
\[
p, q \rightarrow p-p^{\prime}(q), q
\]

является каноническим диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм сводит (П33.12) к (П33.9) с $p(q)=p^{\prime \prime}(q)-p^{\prime}(q)$.

Замечание П33.13. В случае $n=1$ (отображения кольца) лемма (П33.8) остается в силе без условия (П33.9). Доказательство, использующее теорему Жордана, не распространяется на случай $n>1$. Неизвестно, пересекаются ли торы $\mathbb{T}$ и $A \mathbb{T}$ при $n>1$, когда условие (П33.9) не выполняется.

Если в лемме (П33.8) ослабить условия (П33.9), то получается большое число «теорем о возвращении» следующего типа.

Предположим, что начальные значения $a_{i}, b_{i}$ осей жеплеровских эллипсов в плоской задаче п тел таковы, что эти эллипсы не пересекаются. Тогда при любом $\tau$ существуют начальные фазы ${ }^{2} l_{i}, g_{i}$ такие, что по прошествии времени $\tau$ оси эллипсов в точности вернутся к своим начальным значениям.

Замечание П33.14. Для леммы (П33.8) (без условия (П33.9)) существенно, чтобы отображение А было диффеоморфизмом, так как даже в случае $n=1$ можно построить глобально каноническое отображение так, что $\mathbb{T}$ и $A \mathbb{T}$ не будут пересекаться.

С. Неподвижные точки

Пусть теперь $\mathbf{A}$ – глобальное каноническое отображение частного типа:
\[
\mathbf{A}: p, q \rightarrow p, q+\omega(p) \quad\left(\omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)\right) .
\]

Предположим, что на торе $p=p_{0}$ все частоты соизмеримы:
\[
\omega_{i}\left(p_{0}\right)=\frac{m_{i}}{N} 2 \pi, \quad m_{i} \in \mathbb{Z}, N \in \mathbb{Z},
\]

и что «обмотка» невырожденна:
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial \omega}{\partial p}\right)_{p_{0}}
eq 0 .
\]

Теорема П33.18. Каждое глобально каноническое отображение $B$, достаточно близкое к $A$ (вместе с производными), допускает в окрестности тора $p=p_{0}$ по крайней мере $2^{n}$ точек $^{3}$ периода $N$ :
\[
B^{N} x=x .
\]

Доказательство.

В силу (П33.15), (П33.16) и (П33.17) отображение $\mathbf{A}^{N}$ в окрестности тора $p=p_{0}$ представимо в виде
\[
\mathbf{A}^{N}: p, q \rightarrow p, q+\alpha(p), \quad \text { где } \quad \alpha\left(p_{0}\right)=0, \quad \operatorname{det}\left(\frac{\partial \alpha}{\partial p}\right)
eq 0 .
\]

Можно положить $\alpha(p)=N\left(\omega(p)-\omega\left(p_{0}\right)\right)$.
Близкое отображение $\mathbf{B}^{N}$ можно записать в виде
\[
\mathbf{B}^{N}:(p, q) \rightarrow\left(p+\beta_{1}(p, q), q+\alpha(p)+\beta_{2}(p, q)\right)=(P, Q) .
\]

Рассмотрим точки, которые движутся вдоль радиусов $Q=q$ так, что
\[
\alpha(p)+\beta_{2}(p, q)=0 .
\]

Из теоремы о неявной функции следует, что
1) уравнение (П33.21) определяет тор, который близок к тору $p=p_{0}$ и движется вдоль радиусов;
2) два тора $\mathbb{T}$ и $B^{N} \mathbb{T}$ имеют уравнения вида
\[
p=p^{\prime}(q), p=p^{\prime \prime}(q), \quad \text { где } \quad\left|\frac{d p^{\prime}}{d q}\right|<\infty\left|\frac{d p^{\prime \prime}}{d q}\right|<\infty .
\]

Так как отображение $\mathbf{B}^{N}$ глобально каноническое, оно задается производящей функцией вида $P q+B(P, q)$. По лемме П 33.4 функция $B(x)=B(P(x), q(x))$ однозначна в $\Omega$.

Рассмотрим теперь ограничение функции $B(x)$ на тор $\mathbb{T}$. Как дифференцируемая функция на $n$-мерном торе, она имеет по крайней меpe $2^{n}$ критических точек (см. лемму П33.8). Докажем, что эти критические точки принадлежат пересечению торов $\mathbb{T}$ и $B^{N} \mathbb{T}$.
Из формулы (II33.3) следует, что
\[
d B=(Q-q) d P+(p-P) d p, \quad \text { где } \quad B: x=(p, q) \rightarrow(P(x), Q(x)) .
\]

Но по (П33.20) и (П33.21) $Q-q=0$ на нашем торе $\mathbb{T}$. Следовательно, в критических точках функции $B$ на $\mathbb{T}$ выполняется соотношение $(p-P) d q=0$, из чего в силу (П33.22) следует, что $P=p$.

Замечание П33.23. Доказанная теорема не является следствием леммы П33.8: для многообразия $Q-q=0$ может не выполняться соотношение $d p \wedge d q=0$, как можно видеть на примере канонического отображения
\[
\begin{array}{ll}
P_{1}=3 p_{1}+4 p_{2}+q_{1}+q_{2}, & P_{2}=p_{1}+3 p_{2}+q_{2}, \\
Q_{1}=p_{1}+p_{2}+q_{1}, & Q_{2}=p_{1}-q_{1}+q_{2} .
\end{array}
\]