В этом приложении мы излагаем топологические причины существования периодических траекторий в гамильтоновых системах с $n$ степенями свободы.

А. Производящие функции

Пусть $\mathrm{\Omega }={\mathbb{B}}^n\times {\mathbb{T}}^n$ — каноническое пространство, $p:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{B}}^n\subset$ $\subset {\mathbb{R}}^n=\left\{(p_1,\dots ,p_n)\right\}$ и $q:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{T}}^n=\{(q_1,\dots ,q_n)(mod2\pi )\}-$ координаты точки $x\in \mathrm{\Omega }$. Отображение $\mathbf{A}:\mathrm{\Omega }\to \mathrm{\Omega }$ называется глобально каноническим, если оно гомотопно тождественному и удовлетворяет равенству
$${\oint }_{\gamma }pdq={\oint }_{\mathbf{A}\gamma }pdq$$

для любого 1-цикла $\gamma$, не гомологичного нулю.
Как показано в приложении 32 , отображение $\mathbf{A}$ локально задано производящей функцией $Pq+A(P,q)$, так как
$$\begin{array}{c}\det \left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)eq0\\ p=P+\frac{\partial A}{\partial q},Q=q+\frac{\partial A}{\partial P}\\ (\mathbf{A}x=(P(x),Q(x)),P\in {\mathbb{B}}^n,Q\in {\mathbb{T}}^n).\end{array}$$

Следовательно, локально функция $A(P,q)$ удовлетворяет соотношению
$$A(P,q)={\int }^{(P,q)}(Q-q)dP+(p-P)dq.$$

Положим $A(x)=A(P(x),q(x))$, где $x=(p(x),q(x))\in \mathrm{\Omega }$.

Лемма П33.4. Отображение (П33.2) — глобальное каноническое в том и только том случае, если функция $A(x)$, определенная соотношением (П33.3), однозначна на $\mathrm{\Omega }$.

Доказательство.

Пусть $\gamma$ — замкнутая кривая в $\mathrm{\Omega }$. Докажем, что
$${\oint }_{\gamma }(Q-q)dP+(p-P)dq=0.$$

Действительно, (II33.1) эквивалентно соотношению
$${\oint }_{\gamma }pdq={\oint }_{\gamma }PdQ.$$

В результате мы получаем
$$\begin{array}{rl}{\oint }_{\gamma }(Q-q)dP+& (p-P)dq=\\ & ={\oint }_{\gamma }QdP+PdQ-(qdP+Pdq)={\oint }_{\gamma }d[P(Q-q)].\end{array}$$

Приращение величины $P(Q-q)$ вдоль $\gamma$ равно нулю:
$${\oint }_{\gamma }d[P(Q-q)]=0,$$

поскольку отображение А гомотопно тождественному отображению. Наоборот, из (П33.5) и (П33.7) следует (П33.6).

В. Топологическая лемма

Пусть теперь $\mathbf{A}$ — глобалью ганоничссиий диффсоморфизм, $\mathbb{T}$ тор $p=0,A\mathbb{T}$ — образ тора $\mathbb{T}$ относительно диффеоморфизма $\mathbf{A}$.
Лемма П33.8. Торы $\mathbb{T}$ и ${\mathbb{T}}^{\mathbb{T}}$ имеют по крайней мере $2^n$ точек пересечения (каждая точка берется при подсчете столько раз, какова ее кратность) при условии, что $A\mathbb{T}$ определяется уравнением
$$p=p(q),\left|\frac{dp}{dq}\right|<\mathrm{\infty }.$$

Кроме того, число геометрически различных точек пересечения по крайней мере равно $n+1$.

Доказательство.

Рассмотрим на $A\mathbb{T}$ функцию
$$f(x)={\int }_{x_0}^{x}p(x)dq(x),\text{ где }x=(p(x),q(x))\in A\mathbb{T},$$

где путь интегрирования есть некоторая кривая в $A\mathbb{T}$. Функция $f(x)$ определена корректно, так как интеграл (П33.10) не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть $\gamma$ — замкнутая кривая на $A\mathbb{T}$. Тогда
$${\oint }_{\gamma }pdq={\oint }_{{\mathbf{A}}^{-1}\gamma }pdq=0$$

так как ${\mathbf{A}}^{-1}$ — глобально каноническое отображение, ${\mathbf{A}}^{-1}\gamma \subset \mathbb{T}$, а на $\mathbb{T}p=0$. Функция $f(x)$ — дифференцируемая функция на $n$-мерном торе ${\mathbb{T}}^n$. В качестве таковой она в силу неравенств Морса ${}^1$ имеет по крайней мере $2^n$ критических точек.

Из (П33.10) следует, что $df=p(x)dq(x)$ на $A\mathbb{T}$. В точках пересечения $A\mathbb{T}$ с $\mathbb{T}p(x)=0$. Это означает, что точки пересечения $\mathbb{T}$ с $A\mathbb{T}$ являются критическими точками функции $f$ на $A\mathbb{T}$. Наоборот, в силу условия (П33.9) в каждой точке функции $f$ на $A\mathbb{T}$ выполняется равенство $pdq=0$ при любом $dq$; следовательно, $p(x)=0$, и поэтому критическая точка $x$ есть точка пересечения $A\mathbb{T}$ с $\mathbb{T}$. Лемма доказана.

Следствие П33.11. Торы $\mathbb{T}$ и $A\mathbb{T}$ имеют $2^n$ точек пересечения, так как их уравнения имеют вид
$$p=p^{\prime }(q),p=p^{\prime \prime }(q)(\left|\frac{d{p}^{\prime }}{dq}\right|<\mathrm{\infty },\left|\frac{d{p}^{\prime \prime }}{dq}\right|<\mathrm{\infty }),$$

и на $\mathbb{T}$ 2-форма $dp\wedge dq$ равна нулю.
Действительно, если $dp\wedge dq\equiv 0$ на $\mathbb{T}$, то преобразование
$$p,q\to p-p^{\prime }(q),q$$

является каноническим диффеоморфизмом. Этот диффеоморфизм сводит (П33.12) к (П33.9) с $p(q)=p^{\prime \prime }(q)-p^{\prime }(q)$.

Замечание П33.13. В случае $n=1$ (отображения кольца) лемма (П33.8) остается в силе без условия (П33.9). Доказательство, использующее теорему Жордана, не распространяется на случай $n>1$. Неизвестно, пересекаются ли торы $\mathbb{T}$ и $A\mathbb{T}$ при $n>1$, когда условие (П33.9) не выполняется.

Если в лемме (П33.8) ослабить условия (П33.9), то получается большое число «теорем о возвращении» следующего типа.

Предположим, что начальные значения $a_i,b_i$ осей жеплеровских эллипсов в плоской задаче п тел таковы, что эти эллипсы не пересекаются. Тогда при любом $\tau$ существуют начальные фазы ${}^2{l}_i,g_i$ такие, что по прошествии времени $\tau$ оси эллипсов в точности вернутся к своим начальным значениям.

Замечание П33.14. Для леммы (П33.8) (без условия (П33.9)) существенно, чтобы отображение А было диффеоморфизмом, так как даже в случае $n=1$ можно построить глобально каноническое отображение так, что $\mathbb{T}$ и $A\mathbb{T}$ не будут пересекаться.

С. Неподвижные точки

Пусть теперь $\mathbf{A}$ — глобальное каноническое отображение частного типа:
$$\mathbf{A}:p,q\to p,q+\omega (p)(\omega =({\omega }_1,\dots ,{\omega }_n)).$$

Предположим, что на торе $p=p_0$ все частоты соизмеримы:
$${\omega }_i\left(p_0\right)=\frac{m_i}{N}2\pi ,m_i\in \mathbb{Z},N\in \mathbb{Z},$$

и что «обмотка» невырожденна:
$$\det {\left(\frac{\partial \omega }{\partial p}\right)}_{p_0}eq0.$$

Теорема П33.18. Каждое глобально каноническое отображение $B$, достаточно близкое к $A$ (вместе с производными), допускает в окрестности тора $p=p_0$ по крайней мере $2^n$ точек ${}^3$ периода $N$ :
$$B^{N}x=x.$$

Доказательство.

В силу (П33.15), (П33.16) и (П33.17) отображение ${\mathbf{A}}^N$ в окрестности тора $p=p_0$ представимо в виде
$${\mathbf{A}}^N:p,q\to p,q+\alpha (p),\text{ где }\alpha \left(p_0\right)=0,\det \left(\frac{\partial \alpha }{\partial p}\right)eq0.$$

Можно положить $\alpha (p)=N(\omega (p)-\omega \left(p_0\right))$.
Близкое отображение ${\mathbf{B}}^N$ можно записать в виде
$${\mathbf{B}}^N:(p,q)\to (p+{\beta }_1(p,q),q+\alpha (p)+{\beta }_2(p,q))=(P,Q).$$

Рассмотрим точки, которые движутся вдоль радиусов $Q=q$ так, что
$$\alpha (p)+{\beta }_2(p,q)=0.$$

Из теоремы о неявной функции следует, что
1) уравнение (П33.21) определяет тор, который близок к тору $p=p_0$ и движется вдоль радиусов;
2) два тора $\mathbb{T}$ и $B^N\mathbb{T}$ имеют уравнения вида
$$p=p^{\prime }(q),p=p^{\prime \prime }(q),\text{ где }\left|\frac{d{p}^{\prime }}{dq}\right|<\mathrm{\infty }\left|\frac{d{p}^{\prime \prime }}{dq}\right|<\mathrm{\infty }.$$

Так как отображение ${\mathbf{B}}^N$ глобально каноническое, оно задается производящей функцией вида $Pq+B(P,q)$. По лемме П 33.4 функция $B(x)=B(P(x),q(x))$ однозначна в $\mathrm{\Omega }$.

Рассмотрим теперь ограничение функции $B(x)$ на тор $\mathbb{T}$. Как дифференцируемая функция на $n$-мерном торе, она имеет по крайней меpe $2^n$ критических точек (см. лемму П33.8). Докажем, что эти критические точки принадлежат пересечению торов $\mathbb{T}$ и $B^N\mathbb{T}$.
Из формулы (II33.3) следует, что
$$dB=(Q-q)dP+(p-P)dp,\text{ где }B:x=(p,q)\to (P(x),Q(x)).$$

Но по (П33.20) и (П33.21) $Q-q=0$ на нашем торе $\mathbb{T}$. Следовательно, в критических точках функции $B$ на $\mathbb{T}$ выполняется соотношение $(p-P)dq=0$, из чего в силу (П33.22) следует, что $P=p$.

Замечание П33.23. Доказанная теорема не является следствием леммы П33.8: для многообразия $Q-q=0$ может не выполняться соотношение $dp\wedge dq=0$, как можно видеть на примере канонического отображения
$$\begin{array}{ll}{P}_1=3p_1+4p_2+q_1+q_2,& P_2=p_1+3p_2+q_2,\\ Q_1=p_1+p_2+q_1,& Q_2=p_1-q_1+q_2.\end{array}$$