Докажем ${ }^{1}$ теорему Боля -Серпинского-Вейля: пусть $\varphi$ – поворот окружности $M$ на угол, не соизмеримый с $2 \pi$ :
\[
M=\{z \in \mathbb{C},|z|=1\}, \quad \varphi(z)=\theta z, \quad \theta=e^{2 \pi i \omega},
\]

где $\omega$ – иррациональное число и $f$ – непрерывная функция на $M$ (или, по крайней мере, функция, интегрируемая в смысле Римана). Тогда временно́ среднее функции $f$ существует всюду и совпадает с пространственным средним.

Доказательство.
1-й случай: $f(z)=z^{p}, p \in \mathbb{Z}$. Имеем:
\[
\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} z\right)=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}\left(\theta^{n} z\right)^{p}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } p=0, \\
\frac{1}{N} z^{p} \frac{\theta^{N p}-1}{\theta^{p}-1} & \text { при } p
eq 0 .
\end{array}\right.
\]

Так как число $\omega$ иррационально, мы имеем
\[
\theta^{p}-1
eq 0 \quad \text { и } \quad\left|\theta^{N p}-1\right|<2 .
\]

Следовательно, временно́е и пространственное средние совпадают:
\[
\bar{f}=\stackrel{*}{f}(z)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } p=0, \\
0 & \text { при } p
eq 0 .
\end{array}\right.
\]
2-й случай: $f$ – тригонометрический полином, т. е.
\[
f(z)=\sum a_{p} z^{p}, \quad p \in Z, \quad z \in M,
\]

где только конечное число коэффициентов $a_{p}$ отлично от нуля. Из 1-го случая получаем:
\[
\stackrel{*}{f}(z)=a_{0}=\bar{f} .
\]
3-й случай: $f$ – действительная непрерывная функция (или функция, интегрируемая в смысле Римана; мы используем в дальнейшем теорему для случая, когда $f$ – кусочно непрерывная функция). Как известно, каждому $\varepsilon>0$ можно поставить в соответствие два действительных тригонометрических полинома $P_{\varepsilon}^{-}$и $P_{\varepsilon}^{+}$таких, что
\[
P_{\varepsilon}^{-}(z)<f(z)<P_{\varepsilon}^{+}(z) \text { для всех } z \in M
\]

и
\[
\int_{M}\left(P_{\varepsilon}^{+}(z)-P_{\varepsilon}^{-}(z)\right) d \mu<\varepsilon .
\]

Из второго случая получаем:
\[
\begin{aligned}
\int_{M} P_{\varepsilon}^{-} d \mu & \leqslant \lim _{N \rightarrow \infty} \inf \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} z\right) \leqslant \\
& \leqslant \lim _{N \rightarrow \infty} \sup \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f\left(\varphi^{n} z\right) \leqslant \int_{M} P_{\varepsilon}^{+} d \mu .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $\limsup -\liminf <\varepsilon$. Но поскольку число $\varepsilon$ произвольно, временно́е среднее $f^{*}(z)$ существует при всех $z$. Из (П9.1) следует, что это среднее постоянно, поэтому
\[
\stackrel{*}{f}(z)=\bar{f} \text {. }
\]

Полученный результат допускает непосредственное обобщение на случай преобразований на торах: временнь́е и пространственные средние непрерывных функций совпадают всюду в том и только том случае, если траектории всюду плотны.