Результаты, изложенные в этом приложении, принадлежат Гамильтону и Якоби.

А. Конечные канонические отображения

Пусть
\[
x=(p, q), \quad\left(p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right), \quad q=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)\right),
\]
— точка канонического пространства $\mathbb{R}^{2 n}$. Дифференцируемое отображение
\[
A: x \rightarrow X=(P(p, q), Q(p, q)), \quad\left(P=\left(P_{1}, \ldots, P_{n}\right), Q=\left(Q_{1}, \ldots, Q_{n}\right)\right)
\]

называется каноническим, если оно сохраняет интегральный инвариант Пуанкаре:
\[
\oint_{\gamma} p d q=\oint_{A_{\gamma}} P d Q
\]

для любой замкнутой кривой $\gamma$.
Из (П32.1) для любой 2-цепи следует сохранение суммы площадей проекций на плоскости $p_{i}, q_{i}$ :
\[
I(\sigma)=\iint_{\sigma} d p \wedge d q=\iint_{A_{\sigma}} d p \wedge d q=I(A \sigma) .
\]

Иначе говоря, 2-формы $d p \wedge d q$ и $d P \wedge d Q$ совпадают:
\[
d p \wedge d q=d P \wedge d Q, \quad \text { где } \quad P=P(p, q), Q=Q(p, q) .
\]

Если область определения отображения $A$ односвязна, то условия (П32.1) и (П32.2) эквивалентны. Из (П32.3) следует, что дифференциальная форма в $\mathbb{R}^{2 n}$ :
\[
p d q+Q d P, \quad \text { где } \quad P=P(p, q), Q=Q(p, q),
\]

замкнута (так как $d p \wedge d q+d Q \wedge d P=0$ ). Таким образом, локально мы получаем функцию точки пространства $\mathbb{R}^{2 n}$ :
\[
A(x)=\int_{x_{0}}^{x} p d q+Q d P, \quad \text { где } \quad P=P(p, q), Q=Q(p, q) .
\]

Предположим, что в окрестности точки $x$ величины $q_{1}, \ldots, q_{n}$ и $P_{1}, \ldots, P_{n}$ образуют систему локальных координат, т.е.
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)
eq 0 \text {. }
\]

Тогда $A(x)$ можно считать функцией $2 n$ переменных $P, q$, определенных в окрестности точки $p, q$ :
\[
A(P, q)=\int^{(P, q)} p d q+Q d P, \quad \text { где } \quad P=P(p, q), Q=Q(p, q) .
\]

Определение П32.5. Функция $A(P, q)$ называется производящей функцией канонического преобразования $A$.

Ясно, что $A$ определено только локально и с точностью до постоянной. Из (П32.4) следует, что
\[
\frac{\partial A}{\partial P}=Q, \quad \frac{\partial A}{\partial q}=p .
\]

Лемма П 32.7. Пусть $A(P, q)$ – функция от $2 n$ переменных такая, что
\[
\operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} A}{\partial P \partial q}\right)
eq 0
\]

в окрестности точки $(P, q$ ). Тогда уравнения (П32.6) можно локально разрешить относительно $P, q$ :
\[
P=P(p, q), \quad Q=Q(p, q),
\]

и функции $P, Q$ определяют каноническое отображение $A$.

Действительно, дифференциальная форма $p d q+Q d P=d A$ на $\mathbb{R}^{2 n}$ замкнута, следовательно,
\[
d p \wedge d q=d P \wedge d Q .
\]

К сожалению, производящая функция $A$ обладает тем неприятным свойством, что не является геометрическим объектом: действительно, она зависит не только от отображения $A$, но и от координат $p, q$ в пространстве $\mathbb{R}^{2 n}$.

Из уравнений (П32.6) мы заключаем, что производящая функция тождественного отображения ${ }^{1}$ равна Pq. Следовательно, каждое каноническое отображение, близкое к тождественному, обладает производящей функцией, близкой к $P q$.

В. Инфинитезимальные канонические отображения

Рассмотрим канонические отображения $S_{\varepsilon}$, производящие функции которых $P q+\varepsilon S(p, q ; \varepsilon)$ зависят дифференцируемым образом от параметра $\varepsilon \ll 1$.
Если параметр $\varepsilon$ мал, то отображение $S_{\varepsilon}$ близко к тождественному.
Из уравнений (П32.6) следует, что разложения в ряд Тейлора по $\varepsilon$ функций $P(p, q)$ и $Q(p, q)$ имеют следующий вид:
\[
P=p-\varepsilon \frac{\partial S}{\partial q}+O\left(\varepsilon^{2}\right), \quad Q=q+\varepsilon \frac{\partial S}{\partial p}+O\left(\varepsilon^{2}\right),
\]

где $S=S(p, q ; \varepsilon)$.
Инфинитезимальное каноническое отображение $S_{\varepsilon}$, по определению, есть класс эквивалентности семейств $S_{\varepsilon}$; два семейства $S_{\varepsilon}, S_{\varepsilon}^{\prime}$ принадлежат одному и тому же классу, если $\left|S_{\varepsilon}-S_{\varepsilon}^{\prime}\right|=O\left(\varepsilon^{2}\right)$.

Определение П32.9. Функция точки фазового пространства $S(p, q)$ называется производящей функцией инфинитезимального отображения $S_{\varepsilon}$ (или функции Гамильтона).

Ясно, что функция $S$ определена с точностью до постоянной. Убедимся теперь, что функция $S$ имеет геометрический смысл: она не зависит ни от выбора канонических координат $p, q$, ни от выбора представителя $S_{\varepsilon}$ в классе эквивалентности; это – отображение $S: \mathbb{R}^{2 n} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$.

Действительно, пусть $\gamma$ – кривая, соединяющая две точки $x, y$ пространства $\mathbb{R}^{2 n}: \partial \gamma=y-x$. Положим $\gamma \varepsilon=S_{\varepsilon} \gamma$, и пусть $\sigma(\varepsilon)-$ полоса, образованная кривыми $\gamma_{\varepsilon}, 0<\varepsilon^{\prime}<\varepsilon$, и ориентированная так, что $\partial \sigma_{\varepsilon}=\gamma-\gamma_{\varepsilon}+\ldots$ (см. рис. П32.10).

Положим
\[
I[\sigma(\varepsilon)]=\iint_{\sigma(\varepsilon)} d p \wedge d q .
\]

В силу соотношения (II 32.2) интеграл не зависит от выбора канонических координат, а в силу соотношения (П32.1) не зависит и от выбора кривой $\gamma$, а зависит только от $x$ Рис. ПЗ32.10 и $y$.

Лемма П32.12. Производящая функция $S$ инфинитезимального канонического преобразования $S_{\varepsilon}$ определяется соотношением
\[
S(y)-S(x)=\left.\frac{d}{d \varepsilon} I[\sigma(\varepsilon)]\right|_{\varepsilon=0}
\]

и, следовательно, не зависит от выбора канонических координат $p, q$. Доказательство.

В силу соотношений (П32.8), полагая $S_{\varepsilon} x-x=\delta x=(\delta p, \delta q$ ), получаем:
\[
\varepsilon(S(y)-S(x))=\varepsilon \int_{\gamma} \frac{\partial S}{\partial p} d p+\frac{\partial S}{\partial q} d q=\int_{\gamma}(\delta q d p-\delta p d q)+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

С другой стороны, по формуле (П 32.11) интеграл от $d p \wedge d q$ по $\sigma(\varepsilon)$ равен
\[
I[\sigma(\varepsilon)]=\int_{\sigma(\varepsilon)} d p \wedge d q=\int_{\gamma}\left|\begin{array}{ll}
d p & d q \\
\delta p & \delta q
\end{array}\right|+O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Из формул (П32.14) и (П32.15) следует соотношение (П32.13).
Инвариантность производящей функции $S$ можно выразить в иной форме. Пусть $A$ – конечное каноническое отображение, $S_{\varepsilon}$ – инфинитезимальное каноническое отображение. Ясно, что каноническое отображение $T_{\varepsilon}=A S_{\varepsilon} A^{-1}$ также инфинитезимально.

Лемма П32.16. Производяцие функции $S$ и $T$ инфинитезимальных канонических отображений $S_{\varepsilon}$ и $T_{\varepsilon}$ связаны соотношением
\[
T(A x)=S(x)+\text { const. }
\]

Доказательство.

Пусть $\gamma_{\varepsilon}$ и $\sigma(\varepsilon)$ – кривая и поверхность из леммы (П32.12). Кривая $\gamma^{\prime}=A \gamma$ соединяет точки $A x$ и $A y$. Кроме того, кривые $T_{\varepsilon} \gamma^{\prime}$, $0 \leqslant \varepsilon^{\prime} \leqslant \varepsilon$, образуют полосу $\tau(\varepsilon)$, которая есть не что иное, как
\[
\tau(\varepsilon)=A \sigma(\varepsilon) .
\]

Из соотношения (П32.13) мы получаем, что
\[
\begin{aligned}
S(y)-S(x) & =\frac{d}{d \varepsilon} I[\sigma(\varepsilon)], \\
T(A y)-T(A x) & =\frac{d}{d \varepsilon} I[\tau(\varepsilon)] .
\end{aligned}
\]

Но $A$ – каноническое отображение, следовательно, по формулам (П32.2) и (П32.18) $I[\sigma(\varepsilon)]=I[\tau(\varepsilon)]$. Сравнивая с (П32.19), получаем (П32.17).

Следствие П 32.20. Пусть $B_{\varepsilon}$ и $C_{\varepsilon}$ – инфинитезимальные канонические отображения с произвдящими функциями, соответственно $B$ и $C, A$ – конечное каноническое отображение. Тогда инфинитезимальное каноническое отображение
\[
B_{\varepsilon}^{\prime}=C_{\varepsilon} B_{\varepsilon} A C_{\varepsilon}^{-1} A^{-1}
\]

имеет в качестве производящей функции
\[
B^{\prime}(x)=C(x)+B(x)-C\left(A^{-1} x\right)+\text { const. }
\]

Действительно, из (П32.8) следует, что производящая функция произведения двух инфинитезимальных отображений есть сумма их производящих функций и что производящая функция обратного отображения $C^{-1}$ есть функция $-C$. Используя эти замечания и лемму (П32.16), получаем (П32.22).

С. Коммутаторы Ли и скобки Пуассона.

Пусть $A_{\varepsilon}$ и $B_{\varepsilon}$ – два инфинитезимальных канонических отображения. Тогда существует инфинитезимальное каноническое отображение, причем только одно, $C_{\varepsilon}$ такое, что
\[
A_{a} B_{b} A_{-a} B_{-b}=C_{a b}+O\left(a^{2}\right)+O\left(b^{2}\right), \quad a, b \rightarrow 0 .
\]

Это отображение $C_{\varepsilon}$ называется коммутатором Ли отображений $A_{\varepsilon}$ и $B_{\varepsilon}$.

Лемма П32.24. Производящая функция $C$ отображения $C_{\varepsilon}$ равна взятой с обратным знаком скобке Пуассона производящих функций $A$ и $С$ отображений $A_{\varepsilon}$ и $B_{\varepsilon}$ :
\[

abla C=-[
abla A,
abla B], \quad
abla-\text { градиент. }
\]

Доказательство.
Пусть $\gamma$ – снова кривая, соединяющая точки $x$ и $y: \partial \gamma=y-x$. Рассмотрим пятиугольную призму (см. рис. П32.26), образованную четырьмя полосами:
\[
\begin{array}{lr}
\sigma_{1}=B_{\varepsilon} \gamma, & -b<\varepsilon<0, \quad \partial \sigma_{1}=\gamma-\gamma_{1}+\ldots, \\
\sigma_{2}=A_{\varepsilon} \gamma_{1}, & -a<\varepsilon<0, \quad \partial \sigma_{2}=\gamma_{1}-\gamma_{2}+\ldots, \\
\sigma_{3}=B_{\varepsilon} \gamma_{2}, & 0<\varepsilon<b, \quad \partial \sigma_{3}=\gamma_{2}-\gamma_{3}+\ldots, \\
\sigma_{4}=A_{\varepsilon} \gamma_{3}, & 0<\varepsilon<a, \quad \partial \sigma_{4}=\gamma_{3}-\gamma_{4}+\ldots,
\end{array}
\]

и замыкаемую пятой полосой $\delta_{5}$, образованную отрезками, соединяющими соответственные точки кривых $\gamma$ и $\gamma_{4}, \partial \sigma_{5}=\gamma_{4}-\gamma+\ldots$.

Наконец, обозначим через $\tau_{x}$ и $\tau_{y}$ основания призмы. Таким образом, 2-цепь $\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}+\sigma_{4}+\sigma_{5}+\tau_{y}+\tau_{x}=\Sigma$ образует 2-цикл, гомологичный нулю. Так как форма $d p \wedge d q$ замкнута, то в обозначениях (П32.2) получаем:
\[
I\left(\sigma_{1}\right)+I\left(\sigma_{2}\right)+I\left(\sigma_{3}\right)+I\left(\sigma_{4}\right)+I\left(\sigma_{5}\right)+I\left(\tau_{y}\right)-I\left(\tau_{x}\right)=I(\Sigma)=0 .
\]

Но по лемме (П32.12),
\[
\left\{\begin{array}{l}
I\left(\sigma_{1}\right)=-b[B(y)-B(x)]+O\left(b^{2}\right), \\
I\left(\sigma_{2}\right)=-a\left[A\left(y_{1}\right)-A\left(x_{1}\right)\right]+O\left(a^{2}\right), \\
I\left(\sigma_{3}\right)=b\left[B\left(y_{2}\right)-B\left(x_{2}\right)\right]+O\left(b^{2}\right), \\
I\left(\sigma_{4}\right)=a\left[A\left(y_{3}\right)-A\left(x_{3}\right)\right]+O\left(a^{2}\right), \\
I\left(\sigma_{5}\right)=-a b[C(y)-C(x)]+O\left(a^{2}\right)+O\left(b^{2}\right) .
\end{array}\right.
\]

С другой стороны, $\left|y-y_{4}\right|=O(a b)$, следовательно, интегралы от $\sum d p \wedge d q$ по поверхности $\tau$ определяется выражениями
\[
\left\{\begin{array}{l}
I\left(\tau_{y}\right)=a b[
abla B(y),
abla A(y)]+O\left(a^{2}\right)+O\left(b^{2}\right), \\
I\left(\tau_{x}\right)=-a b[
abla B(x),
abla A(x)]+O\left(a^{2}\right)+O\left(b^{2}\right),
\end{array}\right.
\]

Наконец, из (П32.8) мы заключаем, что $I
abla A, I
abla B$ – векторные поля, соответствующие $A_{\varepsilon}$ и $B_{\varepsilon}$. Следовательно, с точностью до $O\left(a^{2}+b^{2}\right)$
\[
\begin{aligned}
A\left(y_{3}\right)-A\left(y_{1}\right) & =\left(
abla A, y_{3}-y_{1}\right)=\left(
abla A, y_{3}-y_{2}\right)+\left(
abla A, y_{2}-y_{1}\right)= \\
& =(
abla A, I
abla B) b-(
abla A, I
abla A) a= \\
& =[
abla B,
abla A] b-[
abla A,
abla A] a=[
abla B,
abla A] b .
\end{aligned}
\]

Точно также:
\[
B\left(y_{2}\right)-B(y)=-[
abla A,
abla B] a .
\]

Таким образом, из (П32.28) следует, что
\[
I\left(\sigma_{1}\right)+I\left(\sigma_{2}\right)+I\left(\sigma_{3}\right)+I\left(\sigma_{4}\right)=O\left(a^{2}\right)+O\left(b^{2}\right) .
\]

Сравнивая (П32.27), (П32.29) и (П32.30), получаем (П32.25).