Результаты, изложенные в этом приложении, принадлежат Гамильтону и Якоби.

А. Конечные канонические отображения

Пусть
$$x=(p,q),(p=(p_1,\dots ,p_n),q=(q_1,\dots ,q_n)),$$
— точка канонического пространства ${\mathbb{R}}^{2n}$. Дифференцируемое отображение
$$A:x\to X=(P(p,q),Q(p,q)),(P=(P_1,\dots ,P_n),Q=(Q_1,\dots ,Q_n))$$

называется каноническим, если оно сохраняет интегральный инвариант Пуанкаре:
$${\oint }_{\gamma }pdq={\oint }_{A_{\gamma }}PdQ$$

для любой замкнутой кривой $\gamma$.
Из (П32.1) для любой 2-цепи следует сохранение суммы площадей проекций на плоскости $p_i,q_i$ :
$$I(\sigma )={\iint }_{\sigma }dp\wedge dq={\iint }_{A_{\sigma }}dp\wedge dq=I(A\sigma ).$$

Иначе говоря, 2-формы $dp\wedge dq$ и $dP\wedge dQ$ совпадают:
$$dp\wedge dq=dP\wedge dQ,\text{ где }P=P(p,q),Q=Q(p,q).$$

Если область определения отображения $A$ односвязна, то условия (П32.1) и (П32.2) эквивалентны. Из (П32.3) следует, что дифференциальная форма в ${\mathbb{R}}^{2n}$ :
$$pdq+QdP,\text{ где }P=P(p,q),Q=Q(p,q),$$

замкнута (так как $dp\wedge dq+dQ\wedge dP=0$ ). Таким образом, локально мы получаем функцию точки пространства ${\mathbb{R}}^{2n}$ :
$$A(x)={\int }_{x_0}^{x}pdq+QdP,\text{ где }P=P(p,q),Q=Q(p,q).$$

Предположим, что в окрестности точки $x$ величины $q_1,\dots ,q_n$ и $P_1,\dots ,P_n$ образуют систему локальных координат, т.е.
$$\det \left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)eq0\text{. }$$

Тогда $A(x)$ можно считать функцией $2n$ переменных $P,q$, определенных в окрестности точки $p,q$ :
$$A(P,q)={\int }^{(P,q)}pdq+QdP,\text{ где }P=P(p,q),Q=Q(p,q).$$

Определение П32.5. Функция $A(P,q)$ называется производящей функцией канонического преобразования $A$.

Ясно, что $A$ определено только локально и с точностью до постоянной. Из (П32.4) следует, что
$$\frac{\partial A}{\partial P}=Q,\frac{\partial A}{\partial q}=p.$$

Лемма П 32.7. Пусть $A(P,q)$ — функция от $2n$ переменных такая, что
$$\det \left(\frac{{\partial }^{2}A}{\partial P\partial q}\right)eq0$$

в окрестности точки $(P,q$ ). Тогда уравнения (П32.6) можно локально разрешить относительно $P,q$ :
$$P=P(p,q),Q=Q(p,q),$$

и функции $P,Q$ определяют каноническое отображение $A$.

Действительно, дифференциальная форма $pdq+QdP=dA$ на ${\mathbb{R}}^{2n}$ замкнута, следовательно,
$$dp\wedge dq=dP\wedge dQ.$$

К сожалению, производящая функция $A$ обладает тем неприятным свойством, что не является геометрическим объектом: действительно, она зависит не только от отображения $A$, но и от координат $p,q$ в пространстве ${\mathbb{R}}^{2n}$.

Из уравнений (П32.6) мы заключаем, что производящая функция тождественного отображения ${}^1$ равна Pq. Следовательно, каждое каноническое отображение, близкое к тождественному, обладает производящей функцией, близкой к $Pq$.

В. Инфинитезимальные канонические отображения

Рассмотрим канонические отображения $S_{\epsilon }$, производящие функции которых $Pq+\epsilon S(p,q;\epsilon )$ зависят дифференцируемым образом от параметра $\epsilon \ll 1$.
Если параметр $\epsilon$ мал, то отображение $S_{\epsilon }$ близко к тождественному.
Из уравнений (П32.6) следует, что разложения в ряд Тейлора по $\epsilon$ функций $P(p,q)$ и $Q(p,q)$ имеют следующий вид:
$$P=p-\epsilon \frac{\partial S}{\partial q}+O\left({\epsilon }^2\right),Q=q+\epsilon \frac{\partial S}{\partial p}+O\left({\epsilon }^2\right),$$

где $S=S(p,q;\epsilon )$.
Инфинитезимальное каноническое отображение $S_{\epsilon }$, по определению, есть класс эквивалентности семейств $S_{\epsilon }$; два семейства $S_{\epsilon },S_{\epsilon }^{\prime }$ принадлежат одному и тому же классу, если $|S_{\epsilon }-S_{\epsilon }^{\prime }|=O\left({\epsilon }^2\right)$.

Определение П32.9. Функция точки фазового пространства $S(p,q)$ называется производящей функцией инфинитезимального отображения $S_{\epsilon }$ (или функции Гамильтона).

Ясно, что функция $S$ определена с точностью до постоянной. Убедимся теперь, что функция $S$ имеет геометрический смысл: она не зависит ни от выбора канонических координат $p,q$, ни от выбора представителя $S_{\epsilon }$ в классе эквивалентности; это — отображение $S:{\mathbb{R}}^{2n}\to {\mathbb{R}}^1$.

Действительно, пусть $\gamma$ — кривая, соединяющая две точки $x,y$ пространства ${\mathbb{R}}^{2n}:\partial \gamma =y-x$. Положим $\gamma \epsilon =S_{\epsilon }\gamma$, и пусть $\sigma (\epsilon )-$ полоса, образованная кривыми ${\gamma }_{\epsilon },0<{\epsilon }^{\prime }<\epsilon$, и ориентированная так, что $\partial {\sigma }_{\epsilon }=\gamma -{\gamma }_{\epsilon }+\dots$ (см. рис. П32.10).

Положим
$$I[\sigma (\epsilon )]={\iint }_{\sigma (\epsilon )}dp\wedge dq.$$

В силу соотношения (II 32.2) интеграл не зависит от выбора канонических координат, а в силу соотношения (П32.1) не зависит и от выбора кривой $\gamma$, а зависит только от $x$ Рис. ПЗ32.10 и $y$.

Лемма П32.12. Производящая функция $S$ инфинитезимального канонического преобразования $S_{\epsilon }$ определяется соотношением
$$S(y)-S(x)={\frac{d}{d\epsilon }I[\sigma (\epsilon )]|}_{\epsilon =0}$$

и, следовательно, не зависит от выбора канонических координат $p,q$. Доказательство.

В силу соотношений (П32.8), полагая $S_{\epsilon }x-x=\delta x=(\delta p,\delta q$ ), получаем:
$$\epsilon (S(y)-S(x))=\epsilon {\int }_{\gamma }\frac{\partial S}{\partial p}dp+\frac{\partial S}{\partial q}dq={\int }_{\gamma }(\delta qdp-\delta pdq)+O\left({\epsilon }^2\right).$$

С другой стороны, по формуле (П 32.11) интеграл от $dp\wedge dq$ по $\sigma (\epsilon )$ равен
$$I[\sigma (\epsilon )]={\int }_{\sigma (\epsilon )}dp\wedge dq={\int }_{\gamma }\left|\begin{array}{ll}dp& dq\\ \delta p& \delta q\end{array}\right|+O\left({\epsilon }^2\right).$$

Из формул (П32.14) и (П32.15) следует соотношение (П32.13).
Инвариантность производящей функции $S$ можно выразить в иной форме. Пусть $A$ — конечное каноническое отображение, $S_{\epsilon }$ — инфинитезимальное каноническое отображение. Ясно, что каноническое отображение $T_{\epsilon }=A{S}_{\epsilon }{A}^{-1}$ также инфинитезимально.

Лемма П32.16. Производяцие функции $S$ и $T$ инфинитезимальных канонических отображений $S_{\epsilon }$ и $T_{\epsilon }$ связаны соотношением
$$T(Ax)=S(x)+\text{ const. }$$

Доказательство.

Пусть ${\gamma }_{\epsilon }$ и $\sigma (\epsilon )$ — кривая и поверхность из леммы (П32.12). Кривая ${\gamma }^{\prime }=A\gamma$ соединяет точки $Ax$ и $Ay$. Кроме того, кривые $T_{\epsilon }{\gamma }^{\prime }$, $0⩽{\epsilon }^{\prime }⩽\epsilon$, образуют полосу $\tau (\epsilon )$, которая есть не что иное, как
$$\tau (\epsilon )=A\sigma (\epsilon ).$$

Из соотношения (П32.13) мы получаем, что
$$\begin{array}{rl}S(y)-S(x)& =\frac{d}{d\epsilon }I[\sigma (\epsilon )],\\ T(Ay)-T(Ax)& =\frac{d}{d\epsilon }I[\tau (\epsilon )].\end{array}$$

Но $A$ — каноническое отображение, следовательно, по формулам (П32.2) и (П32.18) $I[\sigma (\epsilon )]=I[\tau (\epsilon )]$. Сравнивая с (П32.19), получаем (П32.17).

Следствие П 32.20. Пусть $B_{\epsilon }$ и $C_{\epsilon }$ — инфинитезимальные канонические отображения с произвдящими функциями, соответственно $B$ и $C,A$ — конечное каноническое отображение. Тогда инфинитезимальное каноническое отображение
$$B_{\epsilon }^{\prime }=C_{\epsilon }{B}_{\epsilon }A{C}_{\epsilon }^{-1}{A}^{-1}$$

имеет в качестве производящей функции
$$B^{\prime }(x)=C(x)+B(x)-C\left(A^{-1}x\right)+\text{ const. }$$

Действительно, из (П32.8) следует, что производящая функция произведения двух инфинитезимальных отображений есть сумма их производящих функций и что производящая функция обратного отображения $C^{-1}$ есть функция $-C$. Используя эти замечания и лемму (П32.16), получаем (П32.22).

С. Коммутаторы Ли и скобки Пуассона.

Пусть $A_{\epsilon }$ и $B_{\epsilon }$ — два инфинитезимальных канонических отображения. Тогда существует инфинитезимальное каноническое отображение, причем только одно, $C_{\epsilon }$ такое, что
$$A_a{B}_b{A}_{-a}{B}_{-b}=C_{ab}+O\left(a^2\right)+O\left(b^2\right),a,b\to 0.$$

Это отображение $C_{\epsilon }$ называется коммутатором Ли отображений $A_{\epsilon }$ и $B_{\epsilon }$.

Лемма П32.24. Производящая функция $C$ отображения $C_{\epsilon }$ равна взятой с обратным знаком скобке Пуассона производящих функций $A$ и $С$ отображений $A_{\epsilon }$ и $B_{\epsilon }$ :
\[

abla C=-[
abla A,
abla B], \quad
abla-\text { градиент. }
\]

Доказательство.
Пусть $\gamma$ — снова кривая, соединяющая точки $x$ и $y:\partial \gamma =y-x$. Рассмотрим пятиугольную призму (см. рис. П32.26), образованную четырьмя полосами:
$$\begin{array}{lr}{\sigma }_1=B_{\epsilon }\gamma ,& -b<\epsilon <0,\partial {\sigma }_1=\gamma -{\gamma }_1+\dots ,\\ {\sigma }_2=A_{\epsilon }{\gamma }_1,& -a<\epsilon <0,\partial {\sigma }_2={\gamma }_1-{\gamma }_2+\dots ,\\ {\sigma }_3=B_{\epsilon }{\gamma }_2,& 0<\epsilon <b,\partial {\sigma }_3={\gamma }_2-{\gamma }_3+\dots ,\\ {\sigma }_4=A_{\epsilon }{\gamma }_3,& 0<\epsilon <a,\partial {\sigma }_4={\gamma }_3-{\gamma }_4+\dots ,\end{array}$$

и замыкаемую пятой полосой ${\delta }_5$, образованную отрезками, соединяющими соответственные точки кривых $\gamma$ и ${\gamma }_4,\partial {\sigma }_5={\gamma }_4-\gamma +\dots$.

Наконец, обозначим через ${\tau }_x$ и ${\tau }_y$ основания призмы. Таким образом, 2-цепь ${\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3+{\sigma }_4+{\sigma }_5+{\tau }_y+{\tau }_x=\mathrm{\Sigma }$ образует 2-цикл, гомологичный нулю. Так как форма $dp\wedge dq$ замкнута, то в обозначениях (П32.2) получаем:
$$I\left({\sigma }_1\right)+I\left({\sigma }_2\right)+I\left({\sigma }_3\right)+I\left({\sigma }_4\right)+I\left({\sigma }_5\right)+I\left({\tau }_y\right)-I\left({\tau }_x\right)=I(\mathrm{\Sigma })=0.$$

Но по лемме (П32.12),
$$\{\begin{array}{l}I\left({\sigma }_1\right)=-b[B(y)-B(x)]+O\left(b^2\right),\\ I\left({\sigma }_2\right)=-a[A\left(y_1\right)-A\left(x_1\right)]+O\left(a^2\right),\\ I\left({\sigma }_3\right)=b[B\left(y_2\right)-B\left(x_2\right)]+O\left(b^2\right),\\ I\left({\sigma }_4\right)=a[A\left(y_3\right)-A\left(x_3\right)]+O\left(a^2\right),\\ I\left({\sigma }_5\right)=-ab[C(y)-C(x)]+O\left(a^2\right)+O\left(b^2\right).\end{array}$$

С другой стороны, $|y-y_4|=O(ab)$, следовательно, интегралы от $\sum dp\wedge dq$ по поверхности $\tau$ определяется выражениями
$$\{\begin{array}{l}I\left({\tau }_y\right)=ab[ablaB(y),ablaA(y)]+O\left(a^2\right)+O\left(b^2\right),\\ I\left({\tau }_x\right)=-ab[ablaB(x),ablaA(x)]+O\left(a^2\right)+O\left(b^2\right),\end{array}$$

Наконец, из (П32.8) мы заключаем, что $IablaA,IablaB$ — векторные поля, соответствующие $A_{\epsilon }$ и $B_{\epsilon }$. Следовательно, с точностью до $O(a^2+b^2)$
$$\begin{array}{rl}A\left(y_3\right)-A\left(y_1\right)& =(ablaA,y_3-y_1)=(ablaA,y_3-y_2)+(ablaA,y_2-y_1)=\\ & =(ablaA,IablaB)b-(ablaA,IablaA)a=\\ & =[ablaB,ablaA]b-[ablaA,ablaA]a=[ablaB,ablaA]b.\end{array}$$

Точно также:
$$B\left(y_2\right)-B(y)=-[ablaA,ablaB]a.$$

Таким образом, из (П32.28) следует, что
$$I\left({\sigma }_1\right)+I\left({\sigma }_2\right)+I\left({\sigma }_3\right)+I\left({\sigma }_4\right)=O\left(a^2\right)+O\left(b^2\right).$$

Сравнивая (П32.27), (П32.29) и (П32.30), получаем (П32.25).