Рассмотрим на торе $M=\{(x, y)(\bmod 1)\}$, снабженном мерой $d x d y$, преобразование ${ }^{1}$
\[
\varphi:(x, y) \rightarrow(2 x, 2 y) \quad(\bmod 1) .
\]

Рис. П14.1

В более подробной записи преобразование имеет следующий вид:
\[
\varphi(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
(2 x, 2 y), & \text { если } 0 \leqslant x, y<1 / 2 ; \\
(2 x, 2 y-1), & \text { если } 0 \leqslant x<1 / 2, \quad 1 / 2 \leqslant y<1 ; \\
(2 x-1,2 y), & \text { если } 1 / 2 \leqslant x<1, \quad 0 \leqslant y<1 / 2 ; \\
(2 x-1,2 y-1), & \text { если } 1 / 2 \leqslant x, y<1 .
\end{array}\right.
\]

Преобразование $\varphi$ сюръективно, но не инъективно: $\varphi^{-1} m$ состоит из четырех элементов.

Проводя рассуждения с прямоугольниками, стороны которых параллельны осям $O x$ и $O y$, и замечая, что эти прямоугольники образуют базис алгебры измеримых множеств, мы видим, что $\varphi$ сохраняет меpy: $\mu\left(\varphi^{-1} A\right)=\mu(A)$ для любого измеримого множества $A$.
Преобразование $\varphi$ есть перемешивание: для любых измеримых $A, B$
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \mu\left[\varphi^{-N} A \cap B\right]=\mu(A) \mu(B) .
\]

Доказательство достаточно провести для случая, когда $B$ – квадрат:
\[
\left(\frac{l}{2^{p}}, \frac{l+1}{2^{p}}\right) \times\left(\frac{m}{2^{p}}, \frac{m+1}{2^{p}}\right), \quad l, m \in \mathbb{Z}^{+} .
\]

Если $N \geqslant p$, то $B$ содержит $4^{N-p}$ прообразов множества $A$ относительно преобразования $\varphi^{-N}$. Каждый из этих прообразов имеет меру $4^{-N} \mu(A)$, следовательно,
\[
\mu\left[\varphi^{-N} A \cap B\right]=4^{N-p}\left(4^{-N} \mu(A)\right)=\mu(A) \mu(B) .
\]

Поскольку $p$ произвольно, получаем (П14.2).
Точно также можно было бы доказать, что преобразования
\[
\varphi_{k}:(x, y) \rightarrow(k x, k y) \quad(\bmod 1), \quad k \in \mathbb{Z}^{+},
\]

сохраняющие меру, обладают свойством перемешивания. Так как $\varphi_{k} \circ \varphi_{r}=\varphi_{k r}, k, r \in \mathbb{Z}^{+}$, то $\left\{\varphi_{k} \mid k \in \mathbb{Z}^{+}\right\}$- полугруппа с перемешиванием относительно композиции ${ }^{2}$.