Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
А. Авец [1] воспользовался теоремой Биркгофа для доказательства следующего результата.
Если $M$ – компактное риманово многообразие размерности п постоянной кривизны $R$ без сопряженных точек, $\Delta=-
abla^{\alpha}
abla_{\alpha}$ – лапласиан от функций, то собственные значения оператора $\Delta-\frac{R}{n-1}$ неотрицательны. В частности,
\[
\int_{M} R \cdot \eta \leqslant 0
\]
Если $X$ – векторное поле на $M, \delta X=
abla^{\alpha} X_{\alpha}$,
\[
\begin{array}{c}
(\mathscr{L}(X) g)_{\alpha \beta}=
abla_{\alpha} X_{\beta}+
abla_{\beta} X_{\alpha}, \\
\operatorname{Ric}(X)=R_{\alpha \beta} X^{\alpha} X^{\beta},
\end{array}
\]
то
\[
\int_{M}\left[(n-1)\left\{(\delta X)^{2}+\frac{1}{2}(\mathscr{L}(X) g)^{2}\right\}-R\|X\|^{2}-2 \operatorname{Ric}(X)\right] \eta \geqslant 0 .
\]
