А. Авец [1] воспользовался теоремой Биркгофа для доказательства следующего результата.

Если $M$ — компактное риманово многообразие размерности п постоянной кривизны $R$ без сопряженных точек, $\mathrm{\Delta }=-abl{a}^{\alpha }abl{a}_{\alpha }$ — лапласиан от функций, то собственные значения оператора $\mathrm{\Delta }-\frac{R}{n-1}$ неотрицательны. В частности,
$${\int }_{M}R\cdot \eta ⩽0$$

Если $X$ — векторное поле на $M,\delta X=abl{a}^{\alpha }{X}_{\alpha }$,
$$\begin{array}{c}(\mathcal{L}(X)g{)}_{\alpha \beta }=abl{a}_{\alpha }{X}_{\beta }+abl{a}_{\beta }{X}_{\alpha },\\ \mathrm{Ric}(X)=R_{\alpha \beta }{X}^{\alpha }{X}^{\beta },\end{array}$$

то
$${\int }_M[(n-1)\{(\delta X{)}^2+\frac{1}{2}(\mathcal{L}(X)g{)}^2\}-R\Vert X{\Vert }^2-2\mathrm{Ric}(X)]\eta ⩾0.$$