Изоморфизм преобразования пекаря и схемы Бернулли $B_{\mathbb{Z}_{2}}^{2}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

(См. пример 4.5, гл. 1)
$f f^{-1} \quad f^{-1} f$

Речь идет о построении изоморфизма $f(\bmod 0)$ такого, что следующая диаграмма должна быть коммутативной

Определение $f$. Пусть $m=\ldots, a_{-1}, a_{0}, a_{1}, \ldots$ – точка на $\mathbb{Z}_{2}^{\mathbb{Z}}$. Положим $f(m)=(x, y)$, где
\[
x=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_{-i}}{2^{i+1}}, \quad y=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_{i}}{2^{i}} .
\]

Отображение $f$ взаимно однозначно, за исключением тех элементов $(x, y) \in T^{2}$, у которых $x$ или $y$ – двоичная дробь. Такие элементы образуют счетное множество. Следовательно, их мера равна нулю.
$f$ сохраняет меру. Достаточно рассмотреть $A_{i}^{j}=\left\{m \mid a_{i}=j\right\}$ в качестве образующих измеримой алгебры в $\mathbb{Z}_{2}^{\mathbb{Z}}$. Множество
\[
f\left(A_{i}^{j}\right)=\left\{\left.\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{-k}}{2^{k+1}}, \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{k}}{2^{k}}\right) \right\rvert\, a_{i}=j\right\}
\]

состоит из $2^{|i|}$ прямоугольников длиной 1 и шириной $\frac{1}{2^{|i|+1}}$. Следовательно,
\[
\mu\left[f\left(A_{i}^{j}\right)\right]=\frac{1}{2}=\mu\left(A_{i}^{j}\right) .
\]

Диаграмма коммутативна. Пусть $x$ и $y$ заданы формулой (П7.1).
Имеем:
\[
\begin{aligned}
f^{-1}(x, y) & =\ldots, a_{-1}, a_{0}, a_{1}, \ldots \\
\varphi \circ f^{-1}(x, y) & =\ldots, a_{-1}^{\prime}, a_{0}^{\prime}, a_{1}^{\prime}, \ldots, \quad \text { где } a_{i}^{\prime}=a_{i-1}, \\
f \circ \varphi \circ f^{-1}(x, y) & =\left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_{-k}}{2^{k}}, \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k}}{2^{k+1}}\right),
\end{aligned}
\]

T. e.
\[
f \circ \varphi \circ f^{-1}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
\left(2 x, \frac{1}{2} y\right) & \text { при } a_{0}=0, \\
\left(2 x, \frac{1}{2}(y+1)\right) & \text { т. е. } 0 \leqslant x<1 / 2 ; \\
& \text { при } a_{0}=1, \\
& \text { т. е. } 1 / 2 \leqslant x<1 .
\end{array}\right.
\]

Следовательно,
$f \circ \varphi \circ f^{-1}=\varphi^{\prime}$.