Обратимся к асимптотической теории, т.е. ограничимся изучением поведения траекторий при $0<t<1 / \varepsilon$, где $\varepsilon-$ возмущение. Кроме того мы можем теперь рассматривать негамильтоновы системы.

А) Метод усреднения ${ }^{19} 22.1$

Пусть $\mathbb{T}^{k}=\varphi(\bmod 2 \pi), \varphi=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}\right)-k$-мерный тор, $B^{l}=I$, $I=\left(I_{1}, \ldots, I_{l}\right)$ – ограниченная область евклидового пространства $\mathbb{R}^{l}$. Рассмотрим в фазовом пространстве $\omega=\mathbb{T}^{k} \times B^{l}$ невозмущенную систему
\[
\dot{\varphi}=\omega(I), \quad \dot{I}=0, \quad \omega=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right) .
\]

Ясно, что это – обобщение системы (21.3) из § 21: каждый тор $I=$ const инвариантнен, и если частоты $\omega$ несоизмеримы на торе $\mathbb{T}$, то траектории $\omega(t)$ всюду плотны на этом торе. В этом случае движение (22.2) на

торе $\mathbb{T}$ называется квазипериодическим. Если частоты соизмеримы, то замыкание орбиты есть тор, размерность которого $k$ меньше $n$ (резонанс).

Рассмотрим теперь возмущенную систему, обобщающую систему $(21.5)$ из $\S 21$ :

Ясно, что при $t \approx 1$ эволюция $I(t)$ удовлетворяет неравенству
\[
|I(t)-I(0)| \sim \varepsilon \ll 1 .
\]

Заметные (порядка единицы) эффекты эволюции могут наблюдаться лишь на достаточно больших интервалах времени $t \sim 1 / \varepsilon$.

Рассмотрим теперь применение теории возмущений. Пусть $\bar{F}(I)-$ среднее:
\[
\bar{F}(I)=\frac{1}{(2 \pi)^{-k}} \oint \cdots \oint F(l, \varphi) d \varphi_{1} \ldots d \varphi_{k} .
\]

Рассмотрим «усредненную систему», или «систему эволюции»:
\[
\dot{J}=\varepsilon \cdot \bar{F}(I) .
\]

Предполагая, что $\varepsilon \ll 1$, получаем:
\[
|I(t)-J(t)| \ll 1 \quad \text { при любом } 0<t<\frac{1}{\varepsilon},
\]

где $I(t), \varphi(t)$ – решение уравнений $(22.3), J(t)$ – решение уравнения, соответствующее начальным условиям $J(0)=I(0)$.

Проблема, которая теперь возникает, заключается в следующем: какая существует связь между истинным возмущенным движением $I(t)$ и динамикой усредненной системы $J(t)$ при $0<t<1 / \varepsilon$ ? Выполняется ли неравенство (22.5)?

В самом простом случае периодических движений ( $k=1$ ) нетрудно доказать (см. приложение 30 и Боголюбов и Митропольский [1]), что если $\omega
eq 0$, то
\[
|I(t)-J(t)|<C \varepsilon \quad \text { при любом } \quad 0<t<\frac{1}{\varepsilon} .
\]

Но уже в случае двух частот ( $k=2$ ) ситуация более сложная.

В) Контрпример 22.6
Пусть $k=l=2, a>1$. Рассмотрим систему
\[
\dot{\varphi}=I_{1}, \quad \dot{\varphi}_{2}=I_{2}, \quad \dot{I}_{1}=\varepsilon, \quad \dot{I}_{2}=\varepsilon a \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

Ясно, что усредненная система имеет вид
\[
\dot{J}_{1}=\varepsilon, \quad \dot{J}_{2}=0
\]
(что соответствует малым стрелкам на рис. 22.7). Рассмотрим теперь начальные условия
\[
I_{1}=I_{2}=J_{1}=J_{2}=1, \quad \varphi_{1}=0, \quad \varphi_{2}=\arccos \frac{1}{a} .
\]

Рис. 22.7
Имеем:
\[
I_{1}(t)=I_{2}(t)=1+\varepsilon t, \quad J_{1}(t)=1+\varepsilon t, \quad J_{2}(t)=1,
\]

следовательно,
\[
\left|I\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)-J\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right|=1 .
\]

Иначе говоря, по истечении времени $1 / \varepsilon$ усредненное движение утрачивает всякое отношение к истинному движению, которое захватывается в резонанс $\omega_{1}=\omega_{2}$.

С) Математическое обоснование метода усреднения 22.8

Существуют по крайней мере четыре различных подхода к вопросу математического обоснования метода усреднения. Пока все четыре позволили получить достаточно скромные результаты.
1) Можно подробно исследовать окрестности частных решений усредненной системы (например, окрестности положений равновесия $(\bar{F}=0)$ ). Притягивающим точкам системы (22.4) соответствуют притягивающие торы (аттракторы) системы (22.3). Ясно, что в окрестности такого тора имеет место устойчивость $(0<t<\infty)$. Существование притягивающих торов для возмущенных систем доказано Н. Н. Боголюбовым [2], Ю. Мозером [2] и И. Купкой [1].

Такой подход неприменим к гамильтоновым системам, поскольку для таких систем по теореме Лиувилля 1.10 (см. гл. 1) притягивающие множества (аттракторы) не существуют.
2) Отношение между $I(t)$ и $J(t)$ можно исследовать для больией части (в смысле теории меры) начальных условий, пренебрегая точками, соответствующих резонансам. Аносов [3] и Касуга [1] доказали теоремы следующего типа.

Пусть $R(\varepsilon, \rho)$ – множество начальных условий в $\Omega$ таких, что при некоторых $0<t<1 / \varepsilon$ выполняется неравенство $|I(t)-J(t)|>\rho$. Тогда
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \operatorname{mepa} R(\varepsilon, \rho)=0 \text { для всех } \rho>0 .
\]

Метод, о котором идет речь, позволяет получить аналогичные результаты для систем гораздо более общих, чем система (22.3), но в этом и заключается его слабость: оценка меры множества начальных условий $R(\varepsilon, \rho)$ нереальна и не содержит никакой информации о характере движения в $R(\varepsilon, \rho)$.

3) Можно исследовать явление прохождения через состояние резонанса.
4) Больше результатов можно получить, если ограничиться гамильтоновыми системами.

D) Прохождение через резонанс 22.9
Начнем с примера
\[
\dot{\varphi}_{1}=I_{1}+I_{2}, \quad \dot{\varphi}_{2}=I_{2}, \quad \dot{I}_{1}=\varepsilon, \quad \dot{I}_{2}=\varepsilon \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) .
\]

Усредненная система имеет вид (см. рис. 22.10)
\[
\dot{J}_{1}=\varepsilon, \quad \dot{J}_{2}=\mathbf{0} .
\]

Рассмотрим начальные условия, соответствующие резонансу $\omega_{1}=\omega_{2}$ :
\[
\varphi_{1}(0)=\varphi_{2}(0)=I_{1}(0)=I_{2}(0)-1=0 .
\]

После несложных выкладок получим:
\[
|I(t)-J(t)|=\left|I_{2}(t)-1\right|=\sqrt{2 \varepsilon} \int_{0}^{\tau} \cos x^{2} d x, \quad \tau=\sqrt{\frac{\varepsilon}{2}} t .
\]

Следовательно, при $t=1 / \varepsilon$ разность составляет
\[
\left|I\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)-J\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right|=C \sqrt{\varepsilon}
\]

Таким образом, при прохождении резонанса $\omega_{1}=\omega_{2}$ орбита $I(t)$ отличается от орбиты усредненного движения на величину порядка $\sqrt{\varepsilon}$. Можно также заметить, что пучок траекторий $I(t), \varphi(t)$, различающихся только фазами $\varphi(0)$ в начальный момент времени, рассеивается на этом резонансе, причем рассеяние величины $I_{2}$ при прохождении резонанса $\omega_{1}=\omega_{2}$ имеет порядок $\sqrt{\varepsilon}$ (см. рис. 22.10). Для общей системы (22.3) с двумя частотами ( $k=2$ ) можно получить следующую теорему ${ }^{20}$.

Разность между точным и усредненым решениями оценивается величиной
\[
\begin{array}{c}
|I(t)-J(t)|<C \sqrt{\varepsilon} \ln ^{2} \frac{1}{\varepsilon} \quad \text { для всех } 0<t<\frac{1}{\varepsilon}, \\
\text { если } \frac{\partial \omega_{1}}{\partial I}
eq 0, \frac{\partial \omega_{2}}{\partial I}
eq 0 \text { и функция } \\
A(I, \varphi)=\left(\frac{\partial \omega_{1}}{\partial I} F\right) \omega_{2}-\left(\frac{\partial \omega_{2}}{\partial I} F\right) \omega_{1}
\end{array}
\]

не обращается в нуль в $\Omega$. Ограничение $A
eq 0$ означает, что если $A
eq 0$, то система не захватывается в резонанс, при этом в силу (22.3)
\[
\frac{\left(d \omega_{1} / \omega_{2}\right)}{d t}
eq 0 .
\]

В примере (22.6) условие $A
eq 0$ не выполняется: функция $A(I, \varphi)=$ $=I_{2}-I_{1} a \cos \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)$ изменяет знак при $I_{1}=I_{2}$, если $a>1$. Этот пример показывает, что условие $A
eq 0$ невозможно заменить аналогичным условием для усредненной системы.

Доказательство неравенства (22.11) основано на том, что рассеивающее действие каждого резонанса по порядку величины составляет $C \sqrt{\varepsilon}$ и что среди бесконечно многих резонансов $\omega_{1} / \omega_{2}=m / n$ только самый сильный резонанс $\ln ^{2}(1 / \varepsilon)(m, n<\ln (1 / \varepsilon))$ производит заметный эффект. Для систем с более чем двумя частотами ( $k>2$ ) прохождение через резонанс не исследовано.

Е) Усреднение гамильтоновых систем 22.12

Применим метод усреднения к гамильтоновым системам (21.5). Если выполняется условие невырожденности (21.6), то большая часть невозмущенных орбит эргодична на торах $p=$ const. Поэтому такие системы можно представить в виде (22.3) с $I=p, \varphi=q, k=n$ :
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\varphi}=\omega(I)+\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial I}, \\
\dot{I}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial \varphi},
\end{array}\right.
\]

где
\[
H=H_{0}+\varepsilon H_{1}, \quad \omega=\frac{\partial H_{0}}{\partial I} .
\]

Усредненную систему можно записать в виде $\dot{J}=0$, так как
\[
\bar{F}(J)=-\frac{1}{(2 \pi)^{n}} \oint \cdots \oint \frac{\partial H_{1}(I, \varphi)}{\partial \varphi} d \varphi_{1} \ldots d \varphi_{n} \equiv 0 .
\]

Иначе говоря, в невырожденных гамильтоновых системах эволюции переменных действия не происходит.

Этот вывод может быть строго потвержден теоремой о сохранении квазипериодических движений (21.7). Из этой теоремы также следует, что
\[
|I(t)-J(t)|<\alpha \quad \text { при любом } \quad-\infty<t<+\infty, \quad \varepsilon<\varepsilon_{0}(\alpha)
\]
(при всех начальных условиях в случае $n=2$ и при
\[
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial I} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial I} & 0
\end{array}\right)
eq 0
\]

для большей части начальных условий в общем случае). Теперь становится ясной роль условий сохранения в теореме (21.7): они препятствуют эволюции ${ }^{21}$. Точно также в теореме (21.11) эволюция невозможна в связи с тем, что отображение является глобальным каноническим.

С другой стороны, понятна также роль условия невырожденности. Действительно, в случае вырождения орбита общего положения невозмущенной системы эргодична на торе меньшей размерности $k<n$, но не на торе размерности $n$. Алгоритм теории возмущений позволяет в этом случае предсказать усреднение на торе размерности $k$. Но тогда эволюция становится возможной и для канонических систем.

${ }^{21}$ Простой пример возмущения центра (см. рис. 22.13)
\[
\left\{\begin{array} { l }
{ \dot { x } = y + \varepsilon _ { 1 } , } \\
{ \dot { y } = – x + \varepsilon _ { 2 } , }
\end{array} \quad \left\{\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-x-\varepsilon y
\end{array}\right.\right.
\]

уже показывает особый характер канонических систем: в первом случае (канонические) возмущения смещают орбиты в направлении, ортогональном возмущению, не вызывая эволюции; во втором случае (неканоническое) возмущение вызывает эволюцию к нулю. Примеры эволюции можно было бы построить в четырехмерном пространстве для систем, сохраняющих элемент обьема:
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x-\varepsilon y, \quad \dot{z}=u, \quad \dot{u}=-z+\varepsilon u .
\]

ПримеР 22.14. Рассмотрим гамильтонову систему
\[
\begin{array}{c}
H=H_{0}+\varepsilon H_{1}\left(I_{1}, \ldots, I_{n}, \varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right), \quad I \in B^{n}, \\
\varphi \in \mathbb{T}^{n}=\left\{\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right) \quad(\bmod 2 \pi)\right\}, \\
H_{0}=H_{0}\left(I_{1}, \ldots, I_{k}\right), \quad \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial I^{2}}
ot \equiv 0 .
\end{array}
\]

Эта система имеет вид (22.3) с $k<n, l=2 n-k$, а усредненная система представима в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{J}_{0}=0, \quad J_{0}=\left(J_{1}, \ldots, J_{k}\right), \quad \varphi_{0}=\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{k}\right) \quad(\bmod 2 \pi), \\
\dot{J}=-\varepsilon \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial \psi}, \quad J=\left(J_{k+1}, \ldots, J_{n}\right), \\
\dot{\psi}=\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial J}, \quad \psi=\left(\psi_{k+1}, \ldots, \psi_{n}\right) \quad(\bmod 2 \pi),
\end{array}\right.
\]

где
\[
\bar{H}_{1}\left(J_{0}, J, \psi\right)=\frac{1}{(2 \pi)^{k}} \oint \cdots \oint H_{1}\left(J_{0}, J ; \varphi_{0}, \psi\right) d \varphi_{0} .
\]

Если полученная таким образом усредненная система интегрируема (как, например, в плоской задаче трех тел) или близка к интегрируемой (как, например, в планетном варианте задаче $n$ тел), то можно доказать ${ }^{22}$ существование соответствующих квазипериодических решений исходной системы. Эти квазипериодические движения обладают $k$ «быстрыми» частотами $\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right) \sim 1$, происходящими от невозмущенной системы, и $l=n-k$ «медленными» частотами $\left(\omega_{k+1}, \ldots, \omega_{n}\right) \sim \varepsilon$, происходящими от усредненной системы.

В общем случае, когда усредненная система неинтегрируема, о связи между решениями возмущенной и усредненной задач известно мало даже при $0<t<1 / \varepsilon$. Единственные результаты, которые известны, получены в рамках подходов 2 и 3 из (22.8).

Заметим еще, что даже в случае невырожденной системы остается еще исследовать движения в «зонах неустойчивости» (дополнении к инвариантным торам) в случае $n>2$ и по крайней мере при $t \sim 1 / \varepsilon$ или $t \sim 1 / \varepsilon^{m}$. Возможно, в этих зонах существуют ${ }^{23}$ инвариантные ( $n-1)$-мерные торы «эллиптического» и «гиперболического» типа (обобщение на случай произвольной размерности периодических движений из $\S 20$ ). Напомним, что при $n>2$ инвариантные торы размерности $n$ не делят гиперповерхность энергии $H=h$ размерности $2 n-1$. Следовательно, «сепаратрисы» указанных «гиперболических» торов могут уходить очень далеко по этой гиперповерхности, вызывая неустойчивость системы. Аналогичный механизм неустойчивости исследуется в следующем разделе.