Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике В этом разделе мы намереваемся определить один класс динамических систем с сильно вероятностными свойствами. a) $\mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A}$, В непрерывном случае $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) приведенные выше условия подлежат замене на следующие: Доказательство. Пусть $\mathfrak{A}$ – алгебра, порожденная $A_{i}^{j}, i \leqslant 0$. Если $\varphi$ – сдвиг, то Следовательно, $\varphi \mathfrak{A}$ – алгебра, порожденная генераторами $A_{k}^{j}, k \leqslant 1$, и $\mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A}$, что доказывает (a). Докажем, что Пусть $\mathfrak{B}$ – подалгебра алгебры $\widehat{1}$, каждый элемент которой принадлежит какой-нибудь подалгебре, порожденной конечным числом генераторов $A_{i}^{j}$. Нетрудно видеть, что каждому $A \in \mathfrak{B}$ соответствует число $N \in \mathbb{Z}$ такое, что $\mu(A \cap B)=\mu(A) \cdot \mu(B)$ при всех $B \in \varphi^{-n} \mathfrak{A}, n \geqslant N$. Таким образом, соотношение $\mu(A \cap B)=\mu(A) \cdot \mu(B)$ выполняется еще и при всех $A \in \widehat{1}$ и $B \in \bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}$. В частности, $\mu(B)=\mu(B \cap B)=$ $=[\mu(B)]^{2}$, т.е. $\mu(B)=0$ или 1 для всех $B \in \bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}$. Отсюда следует, что $\bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}=\widehat{0}$, и мы заключаем, что Следствие 11.3. Преобразование пекаря есть $K$-система. Доказательство. Преобразование пекаря изоморфно $B(1 / 2,1 / 2)$ (см. приложение 7 ). ПРИМЕР 11.4. В гл. 3 мы рассмотрим обширный класс $K$-систем так называемые классические $K$-системы. Этому классу принадлежат автоморфизмы торов, геодезические потоки на компактных римановых пространствах отрицательной кривизны, ансамбли «упруго сталкивающих ся частиц» Больцмана-Гиббса и многие другие системы. Докажем, что в дискретном случае ${ }^{10} K$-системы имеют бесконечный лебеговский спектр (Колмогоров [2]). Следовательно, $K$-системы являются перемешивающими и эргодичны (теорема 10.4). Приведем схему доказательства, которое полностью дано в приложении 12. Пусть $\mathfrak{A}$ – подалгебра из определения 11.1. Обозначим через $H$ подпространство функций из $L_{2}(M, \mu)$, порожденное характеристическими функциями элементов подалгебры $\mathfrak{A}$. Если $U$ – оператор, индуцированный автоморфизмом $\varphi$, то свойства (11.1) подалгебры в следующие (рис. 11.6): где $H_{0}$ – пространство, порожденное функцией 1. порождает пространство $H_{j}$. Пространства $H_{j}$ инвариантны относительно $U$, и их ортогональная сумма есть $L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0}$. Следовательно, если положить то функции $\left\{e_{i, j}\right\}$ и функция 1 образуют полный ортонормированный базис в $L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0}$ такой, что Можно доказать, что размерность $H \ominus U H$ бесконечна (приложение 17 ), следовательно, лебеговский спектр бесконечен.
|
1 |
Оглавление
|