В этом разделе мы намереваемся определить один класс динамических систем с сильно вероятностными свойствами.
Определение 11.17 . Динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ называется $K$-системой ${ }^{8}$, если существует подалгебра ${ }^{9} \mathfrak{A}$ алгебры измеримых множеств $(\bmod 0) \widehat{1}$ (см. приложение 6 ) такая, что

a) $\mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A}$,
b) $\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A}=\widehat{\mathbf{0}}$, где $\widehat{0}-$ алгебра множеств меры 0 или 1 ,
c) $\overline{\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A}}=\widehat{1}$, где $\varphi$, если воспользоваться неточностью речи, автоморфизм, индуцированный $\varphi$ на $\hat{1}$.

В непрерывном случае $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right.$ ) приведенные выше условия подлежат замене на следующие:
$\left.a^{\prime}\right) \mathfrak{A} \subset \varphi_{t} \mathfrak{A} \quad$ при $t \geqslant 0$,
$\left.b^{\prime}\right) \bigcap_{t=-\infty}^{\infty} \varphi_{t} \mathfrak{A}=\widehat{0}$,
$\left.c^{\prime}\right) \overline{\bigvee_{t=-\infty}^{\infty} \varphi_{t} \mathfrak{A}}=\hat{1}$.
По определению, система, изоморфная $K$-системе, есть $K$-система.
Пример 11.2. Схемы Бернулли (см. Гл. 1, 2.2). Схемы Бернулли являются $K$-системами.

Доказательство.
Напомним, что если $B\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ – схема Бернулли, то
\[
A_{i}^{j}=\left\{m=\ldots m_{-1}, m_{0}, m_{1}, \ldots \mid m_{j}=j\right\}, \quad j \in \mathbb{Z}_{n}, i \in \mathbb{Z} .
\]

Пусть $\mathfrak{A}$ – алгебра, порожденная $A_{i}^{j}, i \leqslant 0$. Если $\varphi$ – сдвиг, то
\[
\varphi\left(A_{i}^{j}\right)=A_{i+1}^{j} .
\]

Следовательно, $\varphi \mathfrak{A}$ – алгебра, порожденная генераторами $A_{k}^{j}, k \leqslant 1$, и $\mathfrak{A} \subset \varphi \mathfrak{A}$,

что доказывает (a).
С другой стороны, любой генератор $A_{i}^{j}$ алгебры $\widehat{1}$ есть $\varphi^{q}\left(A_{i}^{j}\right)=$ $=A_{i+q}^{j}, i \leqslant 0$, если взять $q \geqslant k-i, q \in \mathbb{Z}$. Мы получаем свойство ( $c$ ):
\[
\overline{\bigvee_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n \mathfrak{A}}}=\hat{1}
\]

Докажем, что
\[
\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A}=\widehat{0} .
\]

Пусть $\mathfrak{B}$ – подалгебра алгебры $\widehat{1}$, каждый элемент которой принадлежит какой-нибудь подалгебре, порожденной конечным числом генераторов $A_{i}^{j}$. Нетрудно видеть, что каждому $A \in \mathfrak{B}$ соответствует число $N \in \mathbb{Z}$ такое, что $\mu(A \cap B)=\mu(A) \cdot \mu(B)$ при всех $B \in \varphi^{-n} \mathfrak{A}, n \geqslant N$. Таким образом, соотношение $\mu(A \cap B)=\mu(A) \cdot \mu(B)$ выполняется еще и при всех $A \in \widehat{1}$ и $B \in \bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}$. В частности, $\mu(B)=\mu(B \cap B)=$ $=[\mu(B)]^{2}$, т.е. $\mu(B)=0$ или 1 для всех $B \in \bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}$. Отсюда следует, что $\bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A}=\widehat{0}$, и мы заключаем, что
\[
\widehat{0}=\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} \varphi^{n} \mathfrak{A} \subset \bigcap_{n=0}^{\infty} \varphi^{-n} \mathfrak{A} .
\]

Следствие 11.3. Преобразование пекаря есть $K$-система.

Доказательство.

Преобразование пекаря изоморфно $B(1 / 2,1 / 2)$ (см. приложение 7 ).

ПРИМЕР 11.4. В гл. 3 мы рассмотрим обширный класс $K$-систем так называемые классические $K$-системы. Этому классу принадлежат автоморфизмы торов, геодезические потоки на компактных римановых пространствах отрицательной кривизны, ансамбли «упруго сталкивающих ся частиц» Больцмана-Гиббса и многие другие системы.

Докажем, что в дискретном случае ${ }^{10} K$-системы имеют бесконечный лебеговский спектр (Колмогоров [2]).

Следовательно, $K$-системы являются перемешивающими и эргодичны (теорема 10.4).
Теорема 11.5. К-система имеет счетнократный лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам.

Приведем схему доказательства, которое полностью дано в приложении 12.

Пусть $\mathfrak{A}$ – подалгебра из определения 11.1. Обозначим через $H$ подпространство функций из $L_{2}(M, \mu)$, порожденное характеристическими функциями элементов подалгебры $\mathfrak{A}$. Если $U$ – оператор, индуцированный автоморфизмом $\varphi$, то свойства (11.1) подалгебры в следующие (рис. 11.6):
\[
\begin{aligned}
H_{0}=\bigcap_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H \subset \cdots \subset U H \subset H \subset & \\
& \subset U^{-1} H \subset \cdots \subset \overline{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty} U^{n} H}=L_{2}(M, \mu),
\end{aligned}
\]

где $H_{0}$ – пространство, порожденное функцией 1.
На ортогональном дополнении $H \ominus U H$ пространства $U H$ к $H$ выберем полный ортонормированный базис $\left\{h_{j}\right\}$. Последовательность
\[
\ldots, U^{-1} h_{j}, h_{j}, U h_{j}, \ldots
\]

порождает пространство $H_{j}$. Пространства $H_{j}$ инвариантны относительно $U$, и их ортогональная сумма есть $L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0}$. Следовательно, если положить
\[
e_{i, j}=U^{j} h_{i}, \quad i \in \mathbb{Z}^{+}, j \in \mathbb{Z},
\]

то функции $\left\{e_{i, j}\right\}$ и функция 1 образуют полный ортонормированный базис в $L_{2}(M, \mu) \ominus H_{0}$ такой, что
\[
U e_{i, j}=e_{i, j+1} \quad \text { для всех } i, j
\]
(определение лебеговского спектра).

Можно доказать, что размерность $H \ominus U H$ бесконечна (приложение 17 ), следовательно, лебеговский спектр бесконечен.