В этом разделе мы намереваемся определить один класс динамических систем с сильно вероятностными свойствами.
Определение 11.17 . Динамическая система $(M,\mu ,\phi )$ называется $K$-системой ${}^8$, если существует подалгебра ${}^9\mathfrak{A}$ алгебры измеримых множеств $(mod0)\hat{1}$ (см. приложение 6 ) такая, что

a) $\mathfrak{A}\subset \phi \mathfrak{A}$,
b) $\bigcap _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^n\mathfrak{A}=\hat{\mathbf{0}}$, где $\hat{0}-$ алгебра множеств меры 0 или 1 ,
c) $\stackrel{―}{\underset{n=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{\phi }^n\mathfrak{A}}=\hat{1}$, где $\phi$, если воспользоваться неточностью речи, автоморфизм, индуцированный $\phi$ на $\hat{1}$.

В непрерывном случае $(M,\mu ,{\phi }_t$ ) приведенные выше условия подлежат замене на следующие:
$a^{\prime })\mathfrak{A}\subset {\phi }_t\mathfrak{A}$ при $t⩾0$,
$b^{\prime })\bigcap _{t=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_t\mathfrak{A}=\hat{0}$,
$c^{\prime })\stackrel{―}{\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{\phi }_t\mathfrak{A}}=\hat{1}$.
По определению, система, изоморфная $K$-системе, есть $K$-система.
Пример 11.2. Схемы Бернулли (см. Гл. 1, 2.2). Схемы Бернулли являются $K$-системами.

Доказательство.
Напомним, что если $B(p_1,\dots ,p_n)$ — схема Бернулли, то
$$A_i^j=\{m=\dots m_{-1},m_0,m_1,\dots \mid m_j=j\},j\in {\mathbb{Z}}_n,i\in \mathbb{Z}.$$

Пусть $\mathfrak{A}$ — алгебра, порожденная $A_i^j,i⩽0$. Если $\phi$ — сдвиг, то
$$\phi \left(A_i^j\right)=A_{i+1}^j.$$

Следовательно, $\phi \mathfrak{A}$ — алгебра, порожденная генераторами $A_k^j,k⩽1$, и $\mathfrak{A}\subset \phi \mathfrak{A}$,

что доказывает (a).
С другой стороны, любой генератор $A_i^j$ алгебры $\hat{1}$ есть ${\phi }^q\left(A_i^j\right)=$ $=A_{i+q}^j,i⩽0$, если взять $q⩾k-i,q\in \mathbb{Z}$. Мы получаем свойство ( $c$ ):
$$\stackrel{―}{\underset{n=-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}{\phi }^{n\mathfrak{A}}}=\hat{1}$$

Докажем, что
$$\bigcap _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^n\mathfrak{A}=\hat{0}.$$

Пусть $\mathfrak{B}$ — подалгебра алгебры $\hat{1}$, каждый элемент которой принадлежит какой-нибудь подалгебре, порожденной конечным числом генераторов $A_i^j$. Нетрудно видеть, что каждому $A\in \mathfrak{B}$ соответствует число $N\in \mathbb{Z}$ такое, что $\mu (A\cap B)=\mu (A)\cdot \mu (B)$ при всех $B\in {\phi }^{-n}\mathfrak{A},n⩾N$. Таким образом, соотношение $\mu (A\cap B)=\mu (A)\cdot \mu (B)$ выполняется еще и при всех $A\in \hat{1}$ и $B\in \bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^{-n}\mathfrak{A}$. В частности, $\mu (B)=\mu (B\cap B)=$ $=[\mu (B){]}^2$, т.е. $\mu (B)=0$ или 1 для всех $B\in \bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^{-n}\mathfrak{A}$. Отсюда следует, что $\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^{-n}\mathfrak{A}=\hat{0}$, и мы заключаем, что
$$\hat{0}=\bigcap _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^n\mathfrak{A}\subset \bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\phi }^{-n}\mathfrak{A}.$$

Следствие 11.3. Преобразование пекаря есть $K$-система.

Доказательство.

Преобразование пекаря изоморфно $B(1/2,1/2)$ (см. приложение 7 ).

ПРИМЕР 11.4. В гл. 3 мы рассмотрим обширный класс $K$-систем так называемые классические $K$-системы. Этому классу принадлежат автоморфизмы торов, геодезические потоки на компактных римановых пространствах отрицательной кривизны, ансамбли «упруго сталкивающих ся частиц» Больцмана-Гиббса и многие другие системы.

Докажем, что в дискретном случае ${}^{10}K$-системы имеют бесконечный лебеговский спектр (Колмогоров [2]).

Следовательно, $K$-системы являются перемешивающими и эргодичны (теорема 10.4).
Теорема 11.5. К-система имеет счетнократный лебеговский спектр на ортогональном дополнении к функциям-константам.

Приведем схему доказательства, которое полностью дано в приложении 12.

Пусть $\mathfrak{A}$ — подалгебра из определения 11.1. Обозначим через $H$ подпространство функций из $L_2(M,\mu )$, порожденное характеристическими функциями элементов подалгебры $\mathfrak{A}$. Если $U$ — оператор, индуцированный автоморфизмом $\phi$, то свойства (11.1) подалгебры в следующие (рис. 11.6):
$$\begin{array}{rl}{H}_0=\bigcap _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}^{n}H\subset \cdots \subset UH\subset H\subset & \\ & \subset U^{-1}H\subset \cdots \subset \overline{\bigcup _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{U}^{n}H}=L_2(M,\mu ),\end{array}$$

где $H_0$ — пространство, порожденное функцией 1.
На ортогональном дополнении $H\ominus UH$ пространства $UH$ к $H$ выберем полный ортонормированный базис $\left\{h_j\right\}$. Последовательность
$$\dots ,U^{-1}{h}_j,h_j,U{h}_j,\dots$$

порождает пространство $H_j$. Пространства $H_j$ инвариантны относительно $U$, и их ортогональная сумма есть $L_2(M,\mu )\ominus H_0$. Следовательно, если положить
$$e_{i,j}=U^j{h}_i,i\in {\mathbb{Z}}^{+},j\in \mathbb{Z},$$

то функции $\left\{e_{i,j}\right\}$ и функция 1 образуют полный ортонормированный базис в $L_2(M,\mu )\ominus H_0$ такой, что
$$U{e}_{i,j}=e_{i,j+1}\text{ для всех }i,j$$
(определение лебеговского спектра).

Можно доказать, что размерность $H\ominus UH$ бесконечна (приложение 17 ), следовательно, лебеговский спектр бесконечен.