Для того, чтобы провести классификацию динамических систем, естественно искать их инварианты относительно соответствующей группы: группы аффинных преобразований для геодезических потоков, группы канонических преобразований для гамильтоновых систем, группы сохраняющих меру диффеоморфизмов для классических систем. Абстрактные инварианты имеют более глубокий смысл и задаются следующим определением.

Определение 4.1. Две абстрактные динамические системы $(M, \mu, \varphi)$ $(\bmod 0)$ измеримых пространств такой, что нижеприведенная диаграмма коммутативна.
\[
M^{\prime} \quad \varphi^{\prime} \quad M^{\prime}
\]

Аналогичное определение мы получим, если $\varphi$ заменить на $\varphi_{t}$.

Пример 4.2. Схемы Бернулли $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}\right)$ и $B\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)$ изоморфны (см. Мешалкин [1], Blum and Hanson [1]).
ПРимеР 4.3. Преобразования тора (1.15) не изоморфны автоморфизмам тора (1.16) (см. гл. 2, 12.40).
Пример 4.4. Рассмотрим на торе $\mathbb{T}^{2}=\{(x, y) \bmod 1\}$, снабженном метрикой $d x d x$, автоморфизмы $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$ :
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, y)=(3 x+y, 2 x+y) \quad(\bmod 1), \\
\varphi^{\prime}(x, y)=(3 x+2 y, x+y) \quad(\bmod 1) . \\
\end{array}
\]

Они оба неизоморфны автоморфизмам из примера (1.16) (см. гл. 2, следствие 12.30), однако вопрос об изоморфизме систем $(M, \mu, \varphi)$ и $\left(M, \mu, \varphi^{\prime}\right)$ до сих пор остается открытым.
ПРимеР 4.5. Схема Бернулли $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ изоморфна преобразованию пекаря (доказательство см. в приложении 7 ).

Одна из фундаментальных проблем эргодической теории состоит в нахождении необходимых и достаточных условий, при которых две схемы Бернулли изоморфны.