Пусть $S^1=\{x(mod1)\}$ — окружность, снабженная обычной мерой, $\phi$ — автоморфизм: $x\to x+\omega (mod1),\omega \in \mathbb{R}$.

Траектории автоморфизма $\phi$ всюду плотны в том и только том случае, если $\omega$ иррационально.
Доказательство.
Предположим, что $\omega$ рационально.
Тогда $\omega =p/q$, где $p,q$ — целье числа, число $q$ положительно и взаимно просто с $p$. Следовательно,
$${\phi }^{q}x=x+q\omega =x+p=x(mod1).$$

Таким образом, траектории состоят из конечного числа точек.
Предположим, что $\omega$ иррационально.
Пусть $x\in S^1$, все точки ${\phi }^{n}x$ различны, так как из равенства
$${\phi }^{n}x={\phi }^{m}x$$

мы заключаем, что $(n-m)\omega \in \mathbb{Z}$; следовательно, $n=m$, так как $\omega$ иррационально. Поэтому траектория состоит из бесконечного множества различных точек, обладающего предельной точкой на $S^1(S^1-$ компактное множество). Таким образом, при любом $\epsilon >0$ существуют различные целые числа $n$ и $m$ такие, что
$$|{\phi }^{n}x-{\phi }^{m}x|<\epsilon \text{. }$$

Поскольку $\phi$ сохраняет расстояние на $S^1$, предыдущее неравенство представимо в виде
$$|{\phi }^{p}x-x|<\epsilon ,\text{ где }p=|n-m|.$$

Следовательно ${\phi }^{p}x,{\phi }^{2p}x,\dots ,{\phi }^{kp}x,\dots$ делят $S^1$ на отрезки, длина которых меньше $\epsilon$. Поскольку величина $\epsilon$ произвольна, теорема доказана.

Эта теорема является частным случаем следующей.

Теорема. Пусть ${\mathbb{T}}^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n-n$-мерный тор, снабженный обычной мерой, $\phi -$ автоморфизм $x\to x+\omega (mod1)$, где $\omega \in {\mathbb{R}}^n,x\in {\mathbb{T}}^n$. Тогда траектории автоморфизма $\phi$ всюду плотны в том и только том случае, если из того, что $(k,\omega )\in \mathbb{Z}$ при $k\in {\mathbb{Z}}^n$ следует, что $k=0$.
В непрерывном случае справедлива следующая теорема:
Если ${\phi }_t$ определяется соотношением $\mathbf{x}\to \mathbf{x}+t\omega (mod1)$, где $x\in {\mathbb{T}}^n,t\in \mathbb{R},\omega \in {\mathbb{R}}^n$, то траектории автоморфизма ${\phi }_t$ всюду плотны в том и только том случае, если из того, что ( $\omega ,k=0$ при $k\in {\mathbb{Z}}^n$ следует, что $k=0$.