Пусть $S^{1}=\{x(\bmod 1)\}$ – окружность, снабженная обычной мерой, $\varphi$ – автоморфизм: $x \rightarrow x+\omega(\bmod 1), \omega \in \mathbb{R}$.

Траектории автоморфизма $\varphi$ всюду плотны в том и только том случае, если $\omega$ иррационально.
Доказательство.
Предположим, что $\omega$ рационально.
Тогда $\omega=p / q$, где $p, q$ – целье числа, число $q$ положительно и взаимно просто с $p$. Следовательно,
\[
\varphi^{q} x=x+q \omega=x+p=x \quad(\bmod 1) .
\]

Таким образом, траектории состоят из конечного числа точек.
Предположим, что $\omega$ иррационально.
Пусть $x \in S^{1}$, все точки $\varphi^{n} x$ различны, так как из равенства
\[
\varphi^{n} x=\varphi^{m} x
\]

мы заключаем, что $(n-m) \omega \in \mathbb{Z}$; следовательно, $n=m$, так как $\omega$ иррационально. Поэтому траектория состоит из бесконечного множества различных точек, обладающего предельной точкой на $S^{1}\left(S^{1}-\right.$ компактное множество). Таким образом, при любом $\varepsilon>0$ существуют различные целые числа $n$ и $m$ такие, что
\[
\left|\varphi^{n} x-\varphi^{m} x\right|<\varepsilon \text {. }
\]

Поскольку $\varphi$ сохраняет расстояние на $S^{1}$, предыдущее неравенство представимо в виде
\[
\left|\varphi^{p} x-x\right|<\varepsilon, \quad \text { где } \quad p=|n-m| .
\]

Следовательно $\varphi^{p} x, \varphi^{2 p} x, \ldots, \varphi^{k p} x, \ldots$ делят $S^{1}$ на отрезки, длина которых меньше $\varepsilon$. Поскольку величина $\varepsilon$ произвольна, теорема доказана.

Эта теорема является частным случаем следующей.

Теорема. Пусть $\mathbb{T}^{n}=\mathbb{R}^{n} / \mathbb{Z}^{n}-n$-мерный тор, снабженный обычной мерой, $\varphi-$ автоморфизм $x \rightarrow x+\omega(\bmod 1)$, где $\omega \in \mathbb{R}^{n}, x \in \mathbb{T}^{n}$. Тогда траектории автоморфизма $\varphi$ всюду плотны в том и только том случае, если из того, что $(k, \omega) \in \mathbb{Z}$ при $k \in \mathbb{Z}^{n}$ следует, что $k=0$.
В непрерывном случае справедлива следующая теорема:
Если $\varphi_{t}$ определяется соотношением $\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}+t \omega(\bmod 1)$, где $x \in \mathbb{T}^{n}, t \in \mathbb{R}, \omega \in \mathbb{R}^{n}$, то траектории автоморфизма $\varphi_{t}$ всюду плотны в том и только том случае, если из того, что ( $\omega, k=0$ при $k \in \mathbb{Z}^{n}$ следует, что $k=0$.