Приведем важный пример У-системы.

Определение 14.1. Многообразия отрицательной кривизны ${}^4$. Пусть $v$ — точка на римановом многообразии $V,T{V}_v$ — касательное пространство в точке $v$. Два неколлинеарных вектора $e_1$ и $e_2$ пространства $T{V}_v$ задают 2-плоскость. Исходящие из точки $v$ геодезические и касательная к ним 2 -плоскость порождают поверхность $\mathrm{\Sigma }$ — риманово подмногообразие многообразия $V$.

Полная кривизна поверхности $\mathrm{\Sigma }$ в точке $v$ называется кривизной сечения $\rho (e_1,e_2)$ многообразия $V$ в точке $v2$-плоскости $(e_1,e_2)$. Говорят, что $V$ — многообразие отрицательной кривизны, если кривизна сечения отрицательна при всех $v$ и всех $(e_1,e_2)$.

Если многообразие $V$ компактно, то непрерывность кривизны сечения $\rho (e_1,e_2)$ обеспечивает существование отрицательной постоянной $-k^2$ такой, что
$$\rho (e_1,e_2)⩽-k^2$$

при всех $v$ и всех $(e_1,e_2)$. Пример многообразия отрицательной кривизны см. в приложении 20 .

Неустойчивость геодезических потоков 14.2

Геодезический поток ${\phi }_t$ риманова многообразия $V$ описывает возможные движения точки, вынужденной оставаться на гладком многообразии $V$ и не подверженной действию внешней силы (см. пример 1.4). Если $V$ — многообразие отрицательной кривизны, то геодезические сильно неустойчивы: если $v,v_0\in T_1\tilde{V}$, ${}^5$ то расстояние $|{\phi }_{t}v,{\phi }_t{v}_0|$ экспоненциально возрастает со временем $t$. Более точно, справедлива следующая теорема, доказанная Лобачевским для поверхностей постоянной отрицательной кривизны и обобщенная Адамаром для поверхностей произвольной отрицательной кривизны.

Теорема Лобачевского-Адамара 14.3. Пусть $V$ — связное компактное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на касательном унитарном расслоенном пространстве $M=T_{1}V-$ У-система. ${}^2$.

Приведем схему доказательства (см. рис. 14.4). Полное доказательство см. в приложении 21.
Рис. 14.4
Пусть $\gamma (u,t)=\gamma (t)=\gamma$ — геодезическая, исходящая из точки $u\in T_{1}V$ и параметризуема своей дугой $t$. Если $x$ — точка многообразия $V$, то через любую точку $\gamma \left(t_1\right)$ проходит некоторая геодезическая ${\gamma }_1$, исходящая из точки $x$. При $t_1\to +\mathrm{\infty }$ она стремится к предельной геодезической ${\gamma }^{\prime }(u^{\prime },t)$, исходящей из точки $u^{\prime }\in T{V}_x$.
При разумном выборе начала отсчета на $\gamma$ можно доказать, что
$$\text{ расстояние }(\gamma (t),{\gamma }^{\prime }(t))⩽b\cdot e^{-\lambda t},t⩾0,$$

где $b$ и $\lambda$ — положительные постоянные, не зависящие от $\gamma ,{\gamma }^{\prime }$ и $t$. Такие геодезические, как ${\gamma }^{\prime }$ образуют семейство геодезических, положительно асимптотических к $\gamma$. Доказано, что эти траектории ортогональны к семейству ( $n-1$ )-мерных поверхностей $(n=\dim V)$, так называемым положительным орисферам $S^{+}$.

Будем обозначать через $S^{+}(u)$ орисферу, исходящую из начальной точки $u\in T_{1}V$ и которая ортогональна положительным асимптотам $\gamma (u,t)$. Каждую орисферу можно интерпретировать как ( $n-1)$-мерное подмногобразие в $T_{1}V$ — объединение нормальных к $T_{1}V$ единичных векторов, ориентированных в сторону $t>0$. Если $u\in T_{1}V$, то плоскость, касательная к орисфере $S^{+}(u)$ и содержащая $u$, есть $(n-1)$-плоскость $Y_u$ многообразия $T\left(T_1{V}_n\right)$.

Произведя замену $t$ на $-t$ можно аналогичным образом определить отрицательно асимптотические геодезические и отрицательные орисферы $S^{-}$. Плоскость, касательная к орисфере $S^{-}(u)$ и содержащая $u$, есть $(n-1)$-плоскость $X_u$ многообразия $T\left(T_1{V}_u\right)$. Исходя из определений, получаем:
$$T\left(T_{1}V\right)=X_u\oplus Y_u\oplus Z_u,$$

где $Z_u$ — одномерное пространство, порожденное вектором скорости геодезического потока. Это условие 2 У-потока (определение 13.3).
Условие 3 следует из соотношения (14.5).
Заметим, что поля $X_u$ и $Y_u$ вполне интегрируемы: интегральные многообразиями служат орисферы $S^{+}$и $S^{-}$. Следовательно, над $T_{1}V$ имеются две расслоенные структуры: $S^{+}$и $S^{-}$. Эти расслоеные пространства инвариантны относительно геодезического потока, так как орисферы ортогональны ( $n-1$ )-параметрическому семейству геодезических многообразия $V$.

Как мы увидим, существование и инвариантность этих расслоенных пространств принадлежат к числу общих свойств У-систем.