Приведем важный пример У-системы.

Определение 14.1. Многообразия отрицательной кривизны ${ }^{4}$. Пусть $v$ – точка на римановом многообразии $V, T V_{v}$ – касательное пространство в точке $v$. Два неколлинеарных вектора $e_{1}$ и $e_{2}$ пространства $T V_{v}$ задают 2-плоскость. Исходящие из точки $v$ геодезические и касательная к ним 2 -плоскость порождают поверхность $\Sigma$ – риманово подмногообразие многообразия $V$.

Полная кривизна поверхности $\Sigma$ в точке $v$ называется кривизной сечения $\rho\left(e_{1}, e_{2}\right)$ многообразия $V$ в точке $v 2$-плоскости $\left(e_{1}, e_{2}\right)$. Говорят, что $V$ – многообразие отрицательной кривизны, если кривизна сечения отрицательна при всех $v$ и всех $\left(e_{1}, e_{2}\right)$.

Если многообразие $V$ компактно, то непрерывность кривизны сечения $\rho\left(e_{1}, e_{2}\right)$ обеспечивает существование отрицательной постоянной $-k^{2}$ такой, что
\[
\rho\left(e_{1}, e_{2}\right) \leqslant-k^{2}
\]

при всех $v$ и всех $\left(e_{1}, e_{2}\right)$. Пример многообразия отрицательной кривизны см. в приложении 20 .

Неустойчивость геодезических потоков 14.2

Геодезический поток $\varphi_{t}$ риманова многообразия $V$ описывает возможные движения точки, вынужденной оставаться на гладком многообразии $V$ и не подверженной действию внешней силы (см. пример 1.4). Если $V$ – многообразие отрицательной кривизны, то геодезические сильно неустойчивы: если $v, v_{0} \in T_{1} \widetilde{V}$, ${ }^{5}$ то расстояние $\left|\varphi_{t} v, \varphi_{t} v_{0}\right|$ экспоненциально возрастает со временем $t$. Более точно, справедлива следующая теорема, доказанная Лобачевским для поверхностей постоянной отрицательной кривизны и обобщенная Адамаром для поверхностей произвольной отрицательной кривизны.

Теорема Лобачевского-Адамара 14.3. Пусть $V$ – связное компактное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на касательном унитарном расслоенном пространстве $M=T_{1} V-$ У-система. $^{2}$.

Приведем схему доказательства (см. рис. 14.4). Полное доказательство см. в приложении 21.
Рис. 14.4
Пусть $\gamma(u, t)=\gamma(t)=\gamma$ – геодезическая, исходящая из точки $u \in T_{1} V$ и параметризуема своей дугой $t$. Если $x$ – точка многообразия $V$, то через любую точку $\gamma\left(t_{1}\right)$ проходит некоторая геодезическая $\gamma_{1}$, исходящая из точки $x$. При $t_{1} \rightarrow+\infty$ она стремится к предельной геодезической $\gamma^{\prime}\left(u^{\prime}, t\right)$, исходящей из точки $u^{\prime} \in T V_{x}$.
При разумном выборе начала отсчета на $\gamma$ можно доказать, что
\[
\text { расстояние }\left(\gamma(t), \gamma^{\prime}(t)\right) \leqslant b \cdot e^{-\lambda t}, \quad t \geqslant 0,
\]

где $b$ и $\lambda$ – положительные постоянные, не зависящие от $\gamma, \gamma^{\prime}$ и $t$. Такие геодезические, как $\gamma^{\prime}$ образуют семейство геодезических, положительно асимптотических к $\gamma$. Доказано, что эти траектории ортогональны к семейству ( $n-1$ )-мерных поверхностей $(n=\operatorname{dim} V)$, так называемым положительным орисферам $S^{+}$.

Будем обозначать через $S^{+}(u)$ орисферу, исходящую из начальной точки $u \in T_{1} V$ и которая ортогональна положительным асимптотам $\gamma(u, t)$. Каждую орисферу можно интерпретировать как ( $n-1)$-мерное подмногобразие в $T_{1} V$ – объединение нормальных к $T_{1} V$ единичных векторов, ориентированных в сторону $t>0$. Если $u \in T_{1} V$, то плоскость, касательная к орисфере $S^{+}(u)$ и содержащая $u$, есть $(n-1)$-плоскость $Y_{u}$ многообразия $T\left(T_{1} V_{n}\right)$.

Произведя замену $t$ на $-t$ можно аналогичным образом определить отрицательно асимптотические геодезические и отрицательные орисферы $S^{-}$. Плоскость, касательная к орисфере $S^{-}(u)$ и содержащая $u$, есть $(n-1)$-плоскость $X_{u}$ многообразия $T\left(T_{1} V_{u}\right)$. Исходя из определений, получаем:
\[
T\left(T_{1} V\right)=X_{u} \oplus Y_{u} \oplus Z_{u},
\]

где $Z_{u}$ – одномерное пространство, порожденное вектором скорости геодезического потока. Это условие 2 У-потока (определение 13.3).
Условие 3 следует из соотношения (14.5).
Заметим, что поля $X_{u}$ и $Y_{u}$ вполне интегрируемы: интегральные многообразиями служат орисферы $S^{+}$и $S^{-}$. Следовательно, над $T_{1} V$ имеются две расслоенные структуры: $S^{+}$и $S^{-}$. Эти расслоеные пространства инвариантны относительно геодезического потока, так как орисферы ортогональны ( $n-1$ )-параметрическому семейству геодезических многообразия $V$.

Как мы увидим, существование и инвариантность этих расслоенных пространств принадлежат к числу общих свойств У-систем.