Докажем теперь, что У-системы структурно устойчивы.

Определение 16.1. Структурная устойчивость.

А) Структурная устойчивость диффеоморфизма.
Пусть $M$ — компактное ${\phi }_{\text{дифферениируемое многообразие, }}$ $\phi :M\to M-C^r$-диффеоморфизм.

Говорят, что диффеоморфизм $\phi$ структурно устойчив, если в любой окрестности $V\left({\mathrm{Id}}_M\right)$ (в $C^0$-топологии) тождественного отображения ${\mathrm{Id}}_M$ существует окректность $W(\phi )$ (в- ${\mathbb{C}}^1$ жопологии) диффеоморфизма $\phi$ такая, что каков бы ни был диффеоморфизм $\phi$ из $W(\phi )$, существует гомеоморфизм $k$ из $V\left({\mathrm{Id}}_M\right)$, который порождает следующую коммутативную диаграмму
M
M

т.е. $k\circ \phi =\psi \circ k$. Иначе говоря, $k$ преобразует орбиты диффеоморфизмов $\{{\phi }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$ в орбиты диффеоморфизмов $\{{\psi }^n\mid n\in \mathbb{Z}\}$.
В) Структурная устойчивость потока.
Пусть $M$-компактное дифференцируемое многообразие, $X$ — поле $C$-дифференцируемых векторов на $M$, порожденное потоком ${\phi }_t$
$$X(m)={\frac{d}{dt}{\phi }_t(m)|}_{t=0},m\in M$$

Говорят, что поток ${\phi }_t$ структурно устойчив, если для любой окрестности $V\left({\mathrm{Id}}_M\right)$ (в $C^0$-топологии) тождественного отбражения ${\mathrm{Id}}_M$ существует окрестность $W(X)$ (в $C^r$-топологии) поля $X$ такая, что каким бы ни было поле $Y\in W(X)C^r$-дифференцируемых векторов, существует гомеоморфизм $k$ из $V\left({\mathrm{Id}}_M\right)$, который отображает любую орбиту поля $X$ в какую-то орбиту поля $Y$.
Далее мы будем предполагать, что $r⩽2$.

Замечание 16.2. Можно было бы предположить, что $k$ — не просто гомеоморфизм, но диффеоморфизм. Действительно, рассмотрим в ${\mathbb{R}}^2$ систему
$$\dot{x}=y,\dot{y}=-x-Ky,$$

где $K$ — положительная постоянная.
Орбиты имеют вид спиралей, а особая точка ( 0,0$)$ — фокус (см. рис. $M6\cdot 3$ ). Но пб ${}^t$ теореме П $\mathcal{F}$ ангаре о собственных значениях ${}^8,K$ — непрерывный инвариант диффеоморфизмов. Следовательно, фокус $(0,0)$ не мог бы быть структурно устойчивым.

Можно было бы попытаться предложить $k^{-1}k$ непрерывном случае определение, аналогичное тому, которое было дано в дискретном случае: существование гомеоморфизма $k$ в окрестности $V\left(I{d}_M\right)$, который порожает следующую коммутативную диаграмму:
$M$
$M$
где ${\psi }_t$ — поток, порожденный полем $Y$. Но тогда предельный цикл (см. рис. 16.4) не был бы структурно устойчивым, поскольку связанный с ним период есть непрерывный инвариант ${}^9$.

Немедленно возникают две проблемы.

1) Какую конфигурацию имеют структурно устойчивые орбиты?
2) Являются ли структурно устойчивые системы общим случаем? Т.е. можно ли приблизить сколь угодно точно произвольное векторное поле структурно устойчивым полем?

Андронов и Понтрягин [2] ответили на эти вопросы для случая, когда $M$ есть сфера $S^2$ (см. приложение 23). Двумерные многобразия, отличные от $S^2$, рассмотрел Пейксото (Peixoto [1]).

С более сложной ситуацией мы сталкиваемся в случаях, когда размерность больше двух. Например, система из примера 13.1 структурно устойчива, хотя и очень сложна (эргодична, со всюду плотными циклами и т. д. ${}^{10})$.

С другой стороны, С. Смейл (S.Smale [2]) привел пример, который показывает, что структурно устойчивые системы не образуют всюду плотное множество в пространстве классических динамических систем (см. приложение 24). Таким образом, структурно устойчивые системы не являются общим случаем.

Теорема Аносова ${}^{11}$ 16.5. Любал ${У}_{\text{-система }}(M,\phi )$ структурно устойчива.

Приведем идею доказательства (см. приложение 25).
Пусть $W(\phi )$ — окрестность (в $C^2$-топологии) диффеоморфизма $\phi$ в пространстве диффеоморфизмов многообразия $M$.

Прежде всего докажем, что любому ${\phi }^{\prime }\in W(\phi )$ соответствует единственный малый гомеморфизм $k:M\to M$ такой, что
$${\phi }^{\prime }=k\circ \phi \circ k^{-1},supd[k(m),m]<\epsilon ,$$

где $d[\cdot ,\cdot ]$ — риманово расстояние. Докажем также, что величина $\epsilon$, зависящая от ${\phi }^{\prime }$, ограничена на $W(\phi )$ :
$$\underset{{\phi }^{\prime }\in W(\phi )}{sup}\epsilon <{\epsilon }_1.$$

Отсюда следует, что диффеоморфизм $\phi$ структурно устойчив. Действительно, каждому ${\epsilon }_1>0$ можно было бы поставить в соответствие некоторую окрестность $W(\phi )$ такую, что при любом ${\phi }^{\prime }\in W(\phi )$ существовал бы гомеоморфизм $k:M\to M$ такой, что
$${\phi }^{\prime }=k\circ \phi \circ k^{-1}\underset{m\in M}{sup}d[k(m),m]<{\epsilon }_1.$$

Итак, если ${\phi }^{\prime }\in W(\phi )$ — диффеоморфизм, близкий к $\phi$ в $C^2$-метрике, то ${\phi }^{\prime }$ — У-система. Мы уже доказали (теорема Синая 15.1), что $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ имеют растягивающиеся инвариантные слои $\mathcal{X}$ и ${\mathcal{X}}^{\prime }$ и сжимающиеся инвариантные слои $\mathcal{Y}$ и ${\mathcal{Y}}^{\prime }$. Если существует $\epsilon$-гомеоморфизм $k:M\to M$ такой, что ${\phi }^{\prime }=k\circ \phi \circ k^{-1}$, то, положив $m^{\prime }=km,m\in M$, мы увидим, что
$$d[{\phi }^{\prime n}\left(m^{\prime }\right),{\phi }^n(m)]=d[k\circ {\phi }^n(m),{\phi }^n(m)]<\epsilon$$

при всех $n\in \mathbb{Z}$.
Кроме того, из определения У-систем видно, что не существует более одной точки $m^{\prime }$, удовлетворяющей соотношению (16.6). Действительно, при всех $\xi eq0$ имеем:
$$\left|{\left({\phi }^{\prime \ast }\right)}_{\xi }^n\right|\to +\mathrm{\infty }$$

в одном из двух случаев: $n\to +\mathrm{\infty }$ или $n\to -\mathrm{\infty }$.
Единственность нашего гомеоморфизма $k$, если он существует, будет доказана, если каждой точке $m\in M$ поставить в соответствие единственную точку $m^{\prime }\in M$, удовлетворяющую соотношению (16.6) при всех $n$. Следовательно, необходимо доказать, что такая точка $m^{\prime }$ существует. Для того, чтобы найти $m^{\prime }$, воспользуемся следующей конструкцией.

Ясно, что образы ${\phi }^{\prime n}\beta (n>0)$ каждого растягивающегося слоя $\beta \in {\mathcal{X}}^{\prime }$, близкого к $m$, имеют точки, близкие к ${\phi }^{n}m$ (более точный смысл этого утверждения см. в лемме А, приложение 25). Можно доказать (см. лемму В, приложение 25), что среди этих слоев существует единственный слой $\beta (m)$ такой, что его образы ${\phi }^{\prime n}\beta (m)(n<0)$ также близки к ${\phi }^n(m)$.

Точно так же доказывается, что существует, притом только один, сжимающийся слой $\delta (m)\in \mathcal{Y}$ такой, что его образы ${\phi }^{\prime n}\delta (m)$ остаются близкими к ${\phi }^n(m)$ при всех $n\in \mathbb{Z}$. Так как слоения ${\mathcal{X}}^{\prime }$ и ${\mathcal{y}}^{\prime }$ трансверсальны, то $\beta (m)$ и $\delta (m)$ пересекаются в единственной точке $m^{\prime }$ из окрестности $m$. Без труда можно доказать, что ${\phi }^{\prime }\left(m^{\prime }\right)=(\phi m{)}^{\prime }$ и что отображение $k:m\to m^{\prime }$ — малый гомеморфизм, если ${\phi }^{\prime }$ — диффеоморфизм, $C^2$-близкий к $\phi$.

Случай У-потоков 16.7

Теорема Аносова распространяется на У-потоки.
Рис. 16.8
В этом случае подобная конструкция (см. рис. 16.8) дает два слоя $\beta (m)$ и $\delta (m)$, образованных траекториями диффеоморфизма ${\phi }_t^{\prime }$, асимптотическими (соответственно, при $t\to +\mathrm{\infty }$ для $\beta (m)$ и $t\to -\mathrm{\infty }$ для $\delta (m)$ ) к траектории диффеоморфизма ${\phi }_t^{\prime }$, которая представляет собой пересечение слоев. Эта орбита близка к орбите ${\phi }_{t}m$ (не как пара-

метризованная кривая, а как геометрическая кривая). Для того, чтобы получить гомеоморфизм $k$, необходимо взять точку из $\beta (m)\cap \delta (m)$, например, самую близкую в смысле риманова расстояния.