Теорема П12.1. Динамическая система $\left(M, \mu, \varphi_{t}\right)$ эргодична в том и только том случае, если время $\tau(T)$ пребывания траектории $\left\{\varphi_{t} x \mid 0 \leqslant t \leqslant T\right\}$, выходящей из точки $x$, в произвольном измеримом множестве $A$ асимптотически пропорционально мере множества $A$ :
\[
\begin{array}{c}
\tau(T)=\operatorname{мера}\left\{t \mid 0 \leqslant t \leqslant T, \varphi_{t} x \in A\right\}, \\
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\tau(T)}{T}=\mu(A) \quad \text { для почти всех } x \in M .
\end{array}
\]

Доказательство.
Предположим, что $(M, \mu, \varphi)$ – эргодическая система, $A$ – измеримое множество. Выберем в соотношении ${ }_{f}^{*}(x)=\bar{f}$ (см. 7.1, гл. 2) $f=\mathscr{X}_{A}\left(\mathscr{X}_{A}\right.$ – характеристическая функция множества $A$ ). Тогда
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\tau(T)}{T}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \mathscr{X}_{A}\left(\varphi_{t} x\right) d t=\int_{M} \mathscr{X}_{A}(x) d \mu=\mu(A)
\]

для почти всех $x$ из $M$.
Наоборот, если соотношение (П12.2) выполняется для всех измеримых множеств $A$, то динамическая система $(M, \mu, \varphi)$ эргодична. Достаточно заметить, что пространство, порожденное характеристическими функциями $\mathscr{X}_{A}$, плотно на $L_{1}(M, \mu)$.
ПРимЕР П12.3. Применим теорему П12.1 к преобразованиям торов.
Пусть $M=\left\{\left(e^{2 \pi i x_{1}}, \ldots, e^{2 \pi i x_{n}}\right) \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}-n$-мерный тор, снабженный обычной мерой $\mu, \varphi$ – преобразование
\[
\varphi: e^{2 \pi i x} \rightarrow e^{2 \pi i(x+\omega)}, \quad \text { где } \omega \in \mathbb{R}^{n} .
\]

Если $\omega$ и 1 несоизмеримы, то система эргодична (приложение 11). Следовательно, при почти всех начальных точках $e^{2 \pi i x}$ соотношение (П12.2) выполняется. Иначе говоря, если $\tau(N, A)$ – число элементов последовательности
\[
e^{2 \pi i x}, e^{2 \pi i(x+\omega)}, \ldots, e^{2 \pi i(x+(N-1) \omega)}
\]

в измеримом множестве $A$, то
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\tau(N, A)}{N}=\mu(A)
\]

при почти всех начальных точках $e^{2 \pi i x}$.

Доказательство.
Действительно, если множество $A$ измеримо в смысле Жордана, т. е. если $\mathscr{X}_{A}$ интегрируема в смысле Римана, то соотношение (П12.4) выполняется при любой начальной точке. Достаточно использовать теорему из приложения 9 , положив $f=\mathscr{X}_{A}$.

Приведенное доказательство допускает непосредственное обобщение на непрерывный случай.

Полученный результат, принадлежащий П. Болю (P.Bohl [1]), В. Серпинскому (W.Sierpinsky) и Г. Вейлю (Н. Weyl) [1], [2], [3], часто называют теоремой о равномерном распределении по модулю 1.1 Это одна из первых эргодических теорем. Исторически она родилась из попыток Лагранжа [1] решить проблему «среднего движения» (см. пример 3.1, гл. 1 , и приложение 13 ).
Переходим к некоторым приложениям ${ }^{2}$.

Приложение П12.5. Распределение первых цифр в десятичной записи числа $2^{n}$. (См. пример 3.2, гл. 1)
В системе счисления с основанием 10 число $2^{n}$ записывается в виде
\[
k \cdot 10^{r}+l \cdot 10^{r-1}+\ldots, \quad 0<k \leqslant 9, \quad 0 \leqslant l, \ldots \leqslant 9 .
\]

Первая цифра в десятичной записи числа $2^{n}$ есть цифра $k$ в том и только том случае, если
\[
k \cdot 10^{r} \leqslant 2^{n}<(k+1) \cdot 10^{r},
\]

или
\[
r+\log _{10} k \leqslant \log _{10} 2 \leqslant r+\log _{10}(k+1) .
\]

Обозначая через $\alpha=\log _{10} 2$ и через ( $n \alpha$ ) разность между числом $n \alpha$ и его целой частью, полученное выше неравенство можно записать в виде
\[
\log _{10} k \leqslant(n \alpha)<\log _{10}(k+1) .
\]

Но $\alpha$ – число иррациональное; следовательно, динамическая система $x \rightarrow x+\alpha(\bmod 1)$ на $S^{1}=\{x(\bmod 1)\}$ эргодична. Следовательно, числа $\{(n \alpha) \mid n \in \mathbb{N}\}$ равномерно распределены. В частности, полагая в (II12.4)
\[
A=\left[\log _{10} k, \log _{10}(k+1)\right],
\]

получаем
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{\tau(N, A)}{N}=\mu(A)=\log _{10}\left(1+\frac{1}{k}\right) .
\]

Но $\tau(N, A)$ есть не что иное, как число целых чисел в последовательности $1,2, \ldots, 2^{N-1}$, десятичная запись которых начинается с цифры $k$. В обозначениях из примера 3.2 (гл. 1) имеем:
\[
p_{7}=\log _{10}\left(1+\frac{1}{7}\right) .
\]

Таким образом, в последовательности первых цифр десятичной записи чисел $\left\{2^{n} \mid n \in \mathbb{Z}^{+}\right\}$вопреки тому, что подсказывает просмотр первых членов последовательности, семерок больше, чем восьмерок. Это связано с тем, что число $\alpha=\log _{10} 2=0,30103 \ldots$ близко к $3 / 10$. ЗАмЕчАНИЕ П12.6. Поскольку та часть времени, которую точка эргодической системы проводит в области $A$, пропорциональна мере этой области, естественно поинтересоваться величиной дисперсии. Некоторые результаты получил Синай [1]. Например, пусть $\left(T_{1} V, \mu, \varphi_{t}\right)$ – геодезический поток на компактной поверхности $V$ отрицательной кривизны, $A$ – область многообразия $T_{1} V$, ограниченная кусочно дифференцируемой поверхностью. Тогда разность между средним временем, которое точка $\varphi_{t} x$ проводит в области $A$, и мерой области $A$ распределена по закону Гаусса и удовлетворяет центральной предельной теореме:
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \mu\left\{x \left\lvert\, \frac{\tau_{T}(x)}{T}-\mu(A)<\frac{\alpha}{\sqrt{T}}\right.\right\}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{C \alpha} e^{-u^{2} / 2} d u,
\]

где $\tau_{T}(x)=$ мера $\left\{t \mid \varphi_{t} x \in A, 0 \leqslant t \leqslant T\right\}, C$ – константа.