Лемма А
Пусть $(M,\phi )$ — У-система. Так как многообразие $M$ компактно, существует число $d>0$, такое, что каким бы ни был шар из $T{M}_p$ с центром $p\in M$ и радиусом $d$ из $T{M}_p$, ограничение на этот шар экспоненциального отображения ${\exp }_p$ в точке $p$ есть диффеоморфизм. Установив это, заметим, что если $\{{\phi }^{n}m\mid n\in \mathbf{Z}\}$ — траектория отображения $\phi$, то карта окрестности этой траектории есть $\{B,{\psi }^{-1}\}$, где $B$ — сумма шаров $B_n$ с центрами ${\phi }^{n}m$ и радиусом $\overline{d}$ из $T{M}_{{\phi }^{n}m}$, причем ограничение отображения $\psi$ на каждый из шаров $B_n$ есть ${\exp }_{{\phi }^{n}m}$. Обозначим через $X_m$ растягивающуюся $k$-плоскость $X\left({\phi }^{n}m\right)$ из $T{M}_{{\phi }^{n}m}$ и через $Y_m$ сжимающуюся $l$-плоскость $Y\left({\phi }^{n}m\right)$. Инвариантные растягивающиеся расслоения $\mathcal{X}$ и инвариантные сжимающиеся расслоения $\mathcal{Y}$ индуцируют на $B$ расслоения:
$${\mathcal{X}}_1={\psi }^{-1}\mathcal{X},{\mathcal{Y}}_1={\psi }^{-1}\mathcal{Y}.$$

Наконец, преобразование $\phi :M\to M$ индуцирует преобразование
$${\phi }_1:B\to B,{\phi }_1={\psi }^{-1}\phi \psi ,$$

ограничение которого ${{\phi }_1|}_{B_n}$ отображает $B_n$ в $B_{n+1}$ при очевидных ограничениях областей определения преобразования ${\phi }_1$. Положив число $d$ достаточно малым, слои расслоений ${\mathcal{X}}_1$ и ${\mathcal{Y}}_1$ могут быть представлены как слои евклидова пространства $X_n\oplus Y_n$ с началом $0={\phi }^{n}m$, в котором их уравнения имеют, соответственно, вид
$$y=y(0)+f_n(x,y(0))\text{ и }x=x(0)+g_n(x,y(0)),$$

где $x\in X_n,y\in Y_n$, а $f_n,g_n$ и их первые производные можно считать столь малыми, сколь этого можно добиться с помощью подходящего выбора числа $d$.

Рассмотрим слой ${\alpha }_n$ расслоения ${\mathcal{Y}}_n$, содержащий центр $O$ шара $B_n$ :
$$x=g_n(y,0)\text{. }$$

Отображение $\mathcal{C}:\{Y_n\mid n\in \mathbb{Z}\}\to \{{\alpha }_n\mid n\in \mathbb{Z}\}$, ограничение которого ${\mathcal{C}|}_{Y_n}:Y_n\to \alpha$ определено при $y\in Y_n\cap B_n$ соотношением
$$\mathcal{C}y=(g_n(y,0),y),$$

есть диффеоморфизм. Следовательно, $y\in Y_n$ можно рассматривать как координату на ${\alpha }_n$.
Рис. П25.1
Диффеоморфизм ${\phi }_1$ преобразует ${\alpha }_n$ в ${\alpha }_{n+1}$ (см. рис. П25.1). В координатах $y$ это определяет отображение
$${\phi }_2={\mathcal{C}}^{-1}{\phi }_1\mathcal{C}$$

и
$${\phi }_2:\{Y_n\mid n\in \mathbb{Z}\}\to \{Y_n\mid n\in \mathbb{Z}\},{{\phi }_2|}_{Y_n}:Y_n\to Y_{n+1}.$$

Утверждение П25.2. Из определения $У$-систем следует, что ограничение
$${{\phi }_2|}_{Y_n}:Y_n\to Y_{n+1}$$
— сжимаюшееся:
$$\Vert {\phi }_{2}y\Vert <\theta \Vert y\Vert ,0<\theta <1\text{ при любых }y\in Y_n\cap B_n.$$

Замечание П25.4. Более точно, неравенство (П25.3) выполняется при некоторой итерации ${\phi }^u$ диффеоморфизма $\phi$ (в определении У-систем необходимо «убить» константы). Для упрощения записи мы будем предполагать, что неравенство (П25.3) уже выполняется при $u=1$. Пусть ${\phi }^{\prime }-$ диффеоморфизм, $C^2$-близкий к $\phi$. Расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }={\psi }^{-1}{\mathcal{X}}^{\prime },{\mathcal{Y}}_1^{\prime }={\psi }^{-1}{\mathcal{Y}}^{\prime }$ и преобразование, индуцированное диффеоморфизмом ${\phi }^{\prime }$ :
$${\phi }_1^{\prime }:B\to B,{\phi }_1^{\prime }={\psi }^{-1}{\phi }^{\prime }\psi ,{{\phi }_1^{\prime }|}_{B_n}:B_n\to B_{n+1},$$

определим, как это было сделано выше. Если диффеоморфизм ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близок к диффеоморфизму $\phi$, слои расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$ близки к слоям расслоения ${\mathcal{X}}_1$ и трансверсальны слою ${\alpha }_n$. Следовательно, существует проекция шара $B_n$ на ${\alpha }_n$ вдоль слоев расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$ :
$$\mathrm{\Pi }:B\to \{{\alpha }_n\mid n\in \mathbb{Z}\},{\mathrm{\Pi }|}_{B_n}:B_n\to {\alpha }_n,$$

которая непрерывна и преобразует каждый слой расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$ в некоторую точку слоя ${\alpha }_n$, а именно — в ${\mathcal{X}}_1^{\prime }\cap {\alpha }_n$.
Рассмотрим теперь отображение (см. рис. П25.5)
$$\begin{array}{rl}& {\phi }_2^{\prime }:{\mathcal{C}}^{-1}\mathrm{\Pi }{\phi }_1^{\prime }\mathcal{C},\\ {\phi }_2^{\prime }:\{Y_n\mid n\in \mathbb{Z}\}\to & \{Y_n\mid n\in \mathbb{Z}\},{{\phi }_2^{\prime }|}_{Y_n}:Y_n\to Y_{n+1}.\end{array}$$

Рис. П25.5

Утверждение П25.6. Если диффеоморфизм ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близок $\kappa \phi$, то отображение ${\phi }_2^{\prime }$ С-близко $\kappa {\phi }_2$ : каждому $\varkappa >0$ соответствует число $\delta >0$ такое, что из ${\Vert {\phi }^{\prime }-\phi \Vert }_{C^2}<\delta$ следует неравенство:
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }y-{\phi }_{2}y\Vert <\varkappa \text{ при всех }y\in Y_n\cap B_n,$$

где \|\|${}_{C^2}-C^2$-норма.
Из этого результата непосредственно следует, что отображение ${\phi }_1^{\prime }$ близко к ${\phi }_1$ и проекция $\mathrm{\Pi }:{\phi }_1^{\prime }{\alpha }_n\to {\alpha }_{n+1}$ мала, так как ${\phi }_1^{\prime }{\alpha }_n\approx {\phi }_1{\alpha }_n={\alpha }_{n+1}$ и слои расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$ трансверсальны слою ${\alpha }_{n+1}$. Пусть теперь $\beta -$ слой расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$, содержащий центр $0=m$ шара $B_0$.

Лемма А. П25.8. Если диффеоморфизм ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близок $\kappa$ диффеоморфизму $\phi$, то слой ${\phi }^{\prime n}\beta$ близок к ${\phi }^{\prime }m$ при всех $n⩾0$. Более точно:
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }{}^{n}m\Vert <\frac{\varkappa }{1-\theta },$$

где $\theta$ — то число, которое входит в неравенство (П25.3).
Доказательство.
По утверждению (П25.6), при любом данном $\varkappa >0$ существует $\delta >0$ такое, что при ${\Vert {\phi }^{\prime }-\phi \Vert }_{C^2}<\delta$ имеет место неравенство
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }y-{\phi }_{2}y\Vert <\varkappa .$$

Таким образом, из (П25.3) и (П25.7) получаем:
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }y\Vert <\theta \Vert y\Vert +\varkappa \text{. }$$

Положим $\epsilon =\frac{\varkappa }{1-\theta }$. Тогда, если $\Vert y\Vert <\epsilon$, то $\Vert {\phi }_2^{\prime }y\Vert <\epsilon$, следовательно, $\Vert {\phi }_2^{\prime }y\Vert <\epsilon ,\dots$ и т. д.
Но $\Vert m\Vert <\epsilon$, поэтому утверждение (П25.9) доказано.

Замечание П25.10. Из (П25.3) и (П25.7) также следует, что при всех $y$ таких, что $\Vert y\Vert <C$ имеет место неравенство
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }{}^{n}y\Vert ⩽c,\text{ если }c⩾\frac{\varkappa }{1-\theta }.$$

Действительно, если $\Vert y\Vert ⩾c$ и $c⩾\frac{\varkappa }{1-\theta }$, то
$$\Vert {\phi }_2^{\prime }y\Vert <\theta \Vert y\Vert +\varkappa <\theta c+\varkappa <c.$$

Лемма В

Рассмотрим теперь слой ${\gamma }_n$ расслоения $\mathcal{X}$, который проходит через ${\phi }^{n}m$. Пусть ${\gamma }_n^1\subset B_n$ — соответствующий слой расслоения ${\mathcal{X}}_1$ :
$${\gamma }_n^1={\psi }^{-1}{\gamma }_n.$$

Уравнение слоя ${\gamma }_n^1$ имеет вид $y=f_n(x,0)$. Отображение
$$\mathcal{D}:\{X_n\mid n\in \mathbb{Z}\}\to \{{\gamma }_n^1\mid n\in \mathbb{Z}\},{\mathcal{D}|}_{X_n}:X_n\to {\gamma }_n^1,$$

определяемое при $x\in X_n\cap B_n$ соотношением $\mathcal{D}x=(x,f_n(x,0))$, есть диффеоморфизм. Следовательно, $x\in X_n$ можно рассматривать как координаты на ${\gamma }_n^1$. Диффеоморфизм ${\phi }_1$ преобразует ${\gamma }_n^1$ в ${\gamma }_{n+1}^1$. В координатах $x$ это определяет отображение
$${\phi }_3={\mathcal{D}}^{-1}{\phi }_1\mathcal{D}:\{X_n\mid n\in \mathbb{Z}\}\to \{X_n\mid n\in \mathbb{Z}\},{{\phi }_3|}_{X_n}:X_n\to X_{n+1}.$$

Ясно, что ${\phi }_3(0)=0$.

Утверждение П25.11. Из определения У-систем следует, что ${{\phi }_3|}_{X_n}:X_n\to X_{n+1}$ — растягивающее отображение
$$\Vert {\phi }_3{x}_1-{\phi }_3{x}_2\Vert >\mathrm{\Theta }\Vert x_1-x_2\Vert ,\text{ где }\mathrm{\Theta }>1,$$

при всех $x_1,x_2\in B_n\cap X_n$.
ЗАМЕчаниЕ П25.13. Более точно, утверждение (П25.12) выполняется при некоторой степени отображения ${\phi }_3$; для упрощения записи будем предполагать, что эта степень равна 1.

Пусть теперь ${\phi }^{\prime }$ — диффеоморфизм, $C^2$-близкий к $\phi$. Рассмотрим ${\beta }_n=$ $={\phi }_1^n\beta -$ слой расслоения ${\mathcal{X}}_1^{\prime }$ в $B_n$, определяемый условием $\mathcal{C}{\phi }_2^n(0)\in {\beta }_n$ $(n⩾0)$ (см. рис. $\mathrm{\Pi }25.14)$.
Рис. П25.14

По лемме А, этот слой есть некоторая окрестность центра $O$ шара $B_n$. Пусть $y=h_n(x)$ ( $x\in X_n$ ) имеет уравнение слоя ${\beta }_n$. Если отображение ${\phi }^{\prime }$ достаточно близко к $\phi$, то $x\in X_n\cap B_n$ можно выбрать в качестве локальных координат на ${\beta }_n$ : отображение
$$E:\{X_n\mid n⩾0\}\to \{{\beta }_n\mid n⩾0\},{E|}_{X_n}:X_n\to {\beta }_n,$$

определяемое соотношением $x\to (x,h_n(x))$ при $x\in X_n\cap B_n$, есть диффеоморфизм.

Заметим теперь, что по построению ${\beta }_n$ преобразование ${\phi }_1^{\prime }$ отображает ${\beta }_n$ на ${\beta }_{n+1}$. Следовательно, этим определяется диффеоморфизм
$${\phi }_3^{\prime }=E^{-1}{\phi }_1^{\prime }E:\{X_n\mid n⩾0\}\to \{X_n\mid n⩾0\},{{\phi }_3^{\prime }|}_{X_n}:X_n\to X_{n+1}.$$

Утверждение П25.15. Если диффеоморфизмы $\phi$ и ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близки, то диффеоморфизмы ${\phi }_3$ и ${\phi }_3^{\prime }{C}^1$-близки:

для каждого $\varkappa >0$ найдется $\delta >0$ такое, что из ${\Vert \phi -{\phi }^{\prime }\Vert }_{C^2}<\delta$ следует:
$$\begin{array}{c}-{\phi }_3(x)-{\phi }_3^{\prime }(x)\Vert <\varkappa \\ -({\phi }_3-{\phi }_3^{\prime })\left(x_1\right)-({\phi }_3-{\phi }_3^{\prime })\left(x_2\right)\Vert <\varkappa \Vert x_1-x_2\Vert \end{array}$$

при всех $x,x_1,x_2\in X_n\cap B_n,n⩾0$.

Доказательство.
Это непосредственно следует из того, что слои ${\beta }_n,n⩾0$ близки к слоям ${\gamma }_n$ в $C^1$-топологии, а это, в свою очередь, следует из построения ${\gamma }_n,{\beta }_n$, осуществленного в теореме Синая (см. §15).

Лемма В. П25.17. Если диффеоморфизм ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близок $\kappa \phi$, то существует слой $\delta$, причем только один, расслоения ${\mathcal{Y}}^{\prime }$ такой, что ${\phi }^{\prime n}\delta$ близок к ${\phi }^n$ при всех $n⩾0$. Более точно, существует точка $x_0\in X_0$, причем только одна, такал, что $\Vert {\phi }_3^{\prime }{}^n{x}_0\Vert <\epsilon$ при $n⩾0$.
Для доказательства нам необходима следующая лемма.

Лемма П25.18. Пусть $R$ — сумма евклидовых пространств $R_n$, $n⩾0$, одной и той же размерности. Пусть
$$T=K+L:R\to R,{T|}_{R_n}:R_n\to R_{n+1}$$
— диффеоморфизмы такие, что
1) $K(0)=0,\Vert K(x)-K(y)\Vert >\mathrm{\Theta }\Vert x-y\Vert ,\mathrm{\Theta }>1$,

2) $\Vert L\Vert ⩽\epsilon ,\Vert L(x)-L(y)\Vert <\epsilon \Vert x-y\Vert ,\mathrm{\Theta }-\epsilon >1$, при любых $x,y\in R$.

Тогда существует точка $x\in R_0$, причем только одна, такая, что последовательность $T^{n}x$ ограничена и для этой точки $x$
$$\Vert T^{n}x\Vert ⩽\frac{\epsilon }{\mathrm{\Theta }-1}$$

при всех $n⩾0$.
Доказательство.
Ясно, что ${T^{-1}|}_{R_n}:R_n\to R_{n-1}(n=1,2\dots )$ — диффеоморфизм и
$$\Vert T^{-1}y-T^{-1}x\Vert ⩽\frac{1}{\theta -\epsilon }\Vert y-x\Vert .$$

Пусть $b_n(c)$ — шар $\Vert x\Vert <c$ в $R_n$. Тогда в силу 1 и 2 :
$$T{b}_n(c)\supset b_{n+1}(\mathrm{\Theta }c-\epsilon ).$$

Предположим, что $c$ достаточно велико:
$$\mathrm{\Theta }c-\epsilon ⩾c.$$

Тогда из (П25.21) следует, что $T{b}_n(c)\supseteq b_{n+1}(c)$ и поэтому
$$T^{-1}{b}_{n+1}(c)\subset b_n(c),$$

и, таким образом,
$$T^{-1}{b}_1(c)\supset T^{-2}{b}_2(c)\supset \dots \supset T^{-n}{b}_n(c)\supset \dots$$

Но по (П25.20) диаметр множества $T^{-n}{b}_n(c)$ не больше, чем $2c(\mathrm{\Theta }-\epsilon {)}^{-n}$, а последняя величина стремится к 0 , если $n$ стремится к $+\mathrm{\infty }$. Следовательно, пересечение $\bigcap _{n>0}{T}^{-n}{b}_n(c)$ состоит только из точки $x\in b_0(c)$, но именно это и требовалось доказать: величина
$$c=\frac{\epsilon }{\mathrm{\Theta }-1}$$

удовлетворяет неравенству (П25.22).

Доказательство леммы В. П25.23.

Из утверждений (П25.11) и (П25.19) следует, что отображение ${\phi }_3^{\prime }$ удовлетворяет условиям предыдущей леммы. Достаточно положить $K={\phi }_3,L={\phi }_3^{\prime }-{\phi }_3$, заменив $\epsilon$ на $\varkappa$ в неравенстве относительно $L$.

Достаточно положить $\varkappa =\epsilon (\mathrm{\Theta }-1)$, чтобы, исходя из (П25.19), получить неравенство $\Vert {\phi }_3^{\prime }{}^n{x}_0\Vert <\epsilon$. Это доказывает лемму В.

Таким образом, мы получаем сжимающий слой $\delta$ расслоения $Y^{\prime }$, который остается близким к орбите ${\phi }^{n}m$ при $n>0$ в смысле леммы В. Если диффеоморфизм ${\phi }^{\prime }$ достаточно близок к $\phi$, то тот же самый слой остается близким к орбите ${\phi }^{n}m$ при $n>0$. Чтобы убедиться в этом, достаточно применить к ${\phi }^{-1}$ лемму А. Для ${\phi }^{\prime -1}$ расслоение $Y^{\prime }$ растягивающее, и слой $\delta$ близок к $m$. Следовательно, в силу замечания (П25.10) слои ${\phi }^{\prime n}\delta (n<0)$ остаются в окрестности орбиты ${\phi }^{n}m$ в смысле леммы А:
$$\Vert {\phi }_2^{\prime -n}y\Vert ⩽C.$$

Таким образом, из леммы А и В вытекает следующее утверждение.

Утверждение П25.24. Если ${\phi }^{\prime }$ достаточно $C^2$-близок к $\phi$, то существует слой $\tilde{\delta }$ расслоения $Y_1^{\prime }$ в $B_0$ такой, что слои ${\phi }_1^{\prime \ast }\tilde{\delta }(-\mathrm{\infty }<n<$ $<+\mathrm{\infty }$ ) из $B_n$ остаются в в-окрестности центра шара $B_n$.

Так как сказанное выше верно для ${\phi }^{\prime -1}$, найдется слой $\tilde{\beta }$ расслоения $X_1^{\prime }$ в шаре $B_0$, который обладает тем же свойством. Так как слои $\tilde{\delta }$ и $\tilde{\beta }$ трансверсальны в $B_0$, существует точка пересечения $z=\tilde{\delta }\cap \tilde{\beta }$, единственная в $\epsilon$-окрестности центра шара $B_0$. Гомеоморфизм $k$ из теоремы Аносова мы определим, положив $k(m)=\psi z$. Нетрудно доказать, что все конструкции непрерывно зависят от точки т; следовательно, $k$ — гомеоморфизм. Отношение ${\phi }^{\prime }k=k\phi$ очевидно, как и то, что $k\epsilon$-близок к тождественному отображению.