Лемма А
Пусть $(M, \varphi)$ – У-система. Так как многообразие $M$ компактно, существует число $d>0$, такое, что каким бы ни был шар из $T M_{p}$ с центром $p \in M$ и радиусом $d$ из $T M_{p}$, ограничение на этот шар экспоненциального отображения $\exp _{p}$ в точке $p$ есть диффеоморфизм. Установив это, заметим, что если $\left\{\varphi^{n} m \mid n \in \mathbf{Z}\right\}$ – траектория отображения $\varphi$, то карта окрестности этой траектории есть $\left\{B, \psi^{-1}\right\}$, где $B$ – сумма шаров $B_{n}$ с центрами $\varphi^{n} m$ и радиусом $\bar{d}$ из $T M_{\varphi^{n} m}$, причем ограничение отображения $\psi$ на каждый из шаров $B_{n}$ есть $\exp _{\varphi^{n} m}$. Обозначим через $X_{m}$ растягивающуюся $k$-плоскость $X\left(\varphi^{n} m\right)$ из $T M_{\varphi^{n} m}$ и через $Y_{m}$ сжимающуюся $l$-плоскость $Y\left(\varphi^{n} m\right)$. Инвариантные растягивающиеся расслоения $\mathscr{X}$ и инвариантные сжимающиеся расслоения $\mathscr{Y}$ индуцируют на $B$ расслоения:
\[
\mathscr{X}_{1}=\psi^{-1} \mathscr{X}, \quad \mathscr{Y}_{1}=\psi^{-1} \mathscr{Y} .
\]

Наконец, преобразование $\varphi: M \rightarrow M$ индуцирует преобразование
\[
\varphi_{1}: B \rightarrow B, \quad \varphi_{1}=\psi^{-1} \varphi \psi,
\]

ограничение которого $\left.\varphi_{1}\right|_{B_{n}}$ отображает $B_{n}$ в $B_{n+1}$ при очевидных ограничениях областей определения преобразования $\varphi_{1}$. Положив число $d$ достаточно малым, слои расслоений $\mathscr{X}_{1}$ и $\mathscr{Y}_{1}$ могут быть представлены как слои евклидова пространства $X_{n} \oplus Y_{n}$ с началом $0=\varphi^{n} m$, в котором их уравнения имеют, соответственно, вид
\[
y=y(0)+f_{n}(x, y(0)) \quad \text { и } \quad x=x(0)+g_{n}(x, y(0)),
\]

где $x \in X_{n}, y \in Y_{n}$, а $f_{n}, g_{n}$ и их первые производные можно считать столь малыми, сколь этого можно добиться с помощью подходящего выбора числа $d$.

Рассмотрим слой $\alpha_{n}$ расслоения $\mathscr{Y}_{n}$, содержащий центр $O$ шара $B_{n}$ :
\[
x=g_{n}(y, 0) \text {. }
\]

Отображение $\mathscr{C}:\left\{Y_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow\left\{\alpha_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}$, ограничение которого $\left.\mathscr{C}\right|_{Y_{n}}: Y_{n} \rightarrow \alpha$ определено при $y \in Y_{n} \cap B_{n}$ соотношением
\[
\mathscr{C} y=\left(g_{n}(y, 0), y\right),
\]

есть диффеоморфизм. Следовательно, $y \in Y_{n}$ можно рассматривать как координату на $\alpha_{n}$.
Рис. П25.1
Диффеоморфизм $\varphi_{1}$ преобразует $\alpha_{n}$ в $\alpha_{n+1}$ (см. рис. П25.1). В координатах $y$ это определяет отображение
\[
\varphi_{2}=\mathscr{C}^{-1} \varphi_{1} \mathscr{C}
\]

и
\[
\varphi_{2}:\left\{Y_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow\left\{Y_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\},\left.\quad \varphi_{2}\right|_{Y_{n}}: Y_{n} \rightarrow Y_{n+1} .
\]

Утверждение П25.2. Из определения $У$-систем следует, что ограничение
\[
\left.\varphi_{2}\right|_{Y_{n}}: Y_{n} \rightarrow Y_{n+1}
\]
– сжимаюшееся:
\[
\left\|\varphi_{2} y\right\|<\theta\|y\|, \quad 0<\theta<1 \quad \text { при любых } y \in Y_{n} \cap B_{n} .
\]

Замечание П25.4. Более точно, неравенство (П25.3) выполняется при некоторой итерации $\varphi^{
u}$ диффеоморфизма $\varphi$ (в определении У-систем необходимо «убить» константы). Для упрощения записи мы будем предполагать, что неравенство (П25.3) уже выполняется при $
u=1$. Пусть $\varphi^{\prime}-$ диффеоморфизм, $C^{2}$-близкий к $\varphi$. Расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}=\psi^{-1} \mathscr{X}^{\prime}, \mathscr{Y}_{1}^{\prime}=\psi^{-1} \mathscr{Y}^{\prime}$ и преобразование, индуцированное диффеоморфизмом $\varphi^{\prime}$ :
\[
\varphi_{1}^{\prime}: B \rightarrow B, \quad \varphi_{1}^{\prime}=\psi^{-1} \varphi^{\prime} \psi,\left.\quad \varphi_{1}^{\prime}\right|_{B_{n}}: B_{n} \rightarrow B_{n+1},
\]

определим, как это было сделано выше. Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близок к диффеоморфизму $\varphi$, слои расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$ близки к слоям расслоения $\mathscr{X}_{1}$ и трансверсальны слою $\alpha_{n}$. Следовательно, существует проекция шара $B_{n}$ на $\alpha_{n}$ вдоль слоев расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$ :
\[
\Pi: B \rightarrow\left\{\alpha_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\},\left.\quad \Pi\right|_{B_{n}}: B_{n} \rightarrow \alpha_{n},
\]

которая непрерывна и преобразует каждый слой расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$ в некоторую точку слоя $\alpha_{n}$, а именно – в $\mathscr{X}_{1}^{\prime} \cap \alpha_{n}$.
Рассмотрим теперь отображение (см. рис. П25.5)
\[
\begin{aligned}
& \varphi_{2}^{\prime}: \mathscr{C}^{-1} \Pi \varphi_{1}^{\prime} \mathscr{C}, \\
\varphi_{2}^{\prime}:\left\{Y_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow & \left\{Y_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\},\left.\quad \varphi_{2}^{\prime}\right|_{Y_{n}}: Y_{n} \rightarrow Y_{n+1} .
\end{aligned}
\]

Рис. П25.5

Утверждение П25.6. Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близок $\kappa \varphi$, то отображение $\varphi_{2}^{\prime}$ С-близко $\kappa \varphi_{2}$ : каждому $\varkappa>0$ соответствует число $\delta>0$ такое, что из $\left\|\varphi^{\prime}-\varphi\right\|_{C^{2}}<\delta$ следует неравенство:
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime} y-\varphi_{2} y\right\|<\varkappa \quad \text { при всех } y \in Y_{n} \cap B_{n},
\]

где \|\|$_{C^{2}}-C^{2}$-норма.
Из этого результата непосредственно следует, что отображение $\varphi_{1}^{\prime}$ близко к $\varphi_{1}$ и проекция $\Pi: \varphi_{1}^{\prime} \alpha_{n} \rightarrow \alpha_{n+1}$ мала, так как $\varphi_{1}^{\prime} \alpha_{n} \approx \varphi_{1} \alpha_{n}=\alpha_{n+1}$ и слои расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$ трансверсальны слою $\alpha_{n+1}$. Пусть теперь $\beta-$ слой расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$, содержащий центр $0=m$ шара $B_{0}$.

Лемма А. П25.8. Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близок $\kappa$ диффеоморфизму $\varphi$, то слой $\varphi^{\prime n} \beta$ близок к $\varphi^{\prime} m$ при всех $n \geqslant 0$. Более точно:
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime}{ }^{n} m\right\|<\frac{\varkappa}{1-\theta},
\]

где $\theta$ – то число, которое входит в неравенство (П25.3).
Доказательство.
По утверждению (П25.6), при любом данном $\varkappa>0$ существует $\delta>0$ такое, что при $\left\|\varphi^{\prime}-\varphi\right\|_{C^{2}}<\delta$ имеет место неравенство
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime} y-\varphi_{2} y\right\|<\varkappa .
\]

Таким образом, из (П25.3) и (П25.7) получаем:
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime} y\right\|<\theta\|y\|+\varkappa \text {. }
\]

Положим $\varepsilon=\frac{\varkappa}{1-\theta}$. Тогда, если $\|y\|<\varepsilon$, то $\left\|\varphi_{2}^{\prime} y\right\|<\varepsilon$, следовательно, $\left\|\varphi_{2}^{\prime} y\right\|<\varepsilon, \ldots$ и т. д.
Но $\|m\|<\varepsilon$, поэтому утверждение (П25.9) доказано.

Замечание П25.10. Из (П25.3) и (П25.7) также следует, что при всех $y$ таких, что $\|y\|<C$ имеет место неравенство
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime}{ }^{n} y\right\| \leqslant c, \quad \text { если } c \geqslant \frac{\varkappa}{1-\theta} .
\]

Действительно, если $\|y\| \geqslant c$ и $c \geqslant \frac{\varkappa}{1-\theta}$, то
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime} y\right\|<\theta\|y\|+\varkappa<\theta c+\varkappa<c .
\]

Лемма В

Рассмотрим теперь слой $\gamma_{n}$ расслоения $\mathscr{X}$, который проходит через $\varphi^{n} m$. Пусть $\gamma_{n}^{1} \subset B_{n}$ – соответствующий слой расслоения $\mathscr{X}_{1}$ :
\[
\gamma_{n}^{1}=\psi^{-1} \gamma_{n} .
\]

Уравнение слоя $\gamma_{n}^{1}$ имеет вид $y=f_{n}(x, 0)$. Отображение
\[
\mathscr{D}:\left\{X_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow\left\{\gamma_{n}^{1} \mid n \in \mathbb{Z}\right\},\left.\quad \mathscr{D}\right|_{X_{n}}: X_{n} \rightarrow \gamma_{n}^{1},
\]

определяемое при $x \in X_{n} \cap B_{n}$ соотношением $\mathscr{D} x=\left(x, f_{n}(x, 0)\right)$, есть диффеоморфизм. Следовательно, $x \in X_{n}$ можно рассматривать как координаты на $\gamma_{n}^{1}$. Диффеоморфизм $\varphi_{1}$ преобразует $\gamma_{n}^{1}$ в $\gamma_{n+1}^{1}$. В координатах $x$ это определяет отображение
\[
\varphi_{3}=\mathscr{D}^{-1} \varphi_{1} \mathscr{D}:\left\{X_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\} \rightarrow\left\{X_{n} \mid n \in \mathbb{Z}\right\},\left.\quad \varphi_{3}\right|_{X_{n}}: X_{n} \rightarrow X_{n+1} .
\]

Ясно, что $\varphi_{3}(0)=0$.

Утверждение П25.11. Из определения У-систем следует, что $\left.\varphi_{3}\right|_{X_{n}}: X_{n} \rightarrow X_{n+1}$ – растягивающее отображение
\[
\left\|\varphi_{3} x_{1}-\varphi_{3} x_{2}\right\|>\Theta\left\|x_{1}-x_{2}\right\|, \quad \text { где } \quad \Theta>1,
\]

при всех $x_{1}, x_{2} \in B_{n} \cap X_{n}$.
ЗАМЕчаниЕ П25.13. Более точно, утверждение (П25.12) выполняется при некоторой степени отображения $\varphi_{3}$; для упрощения записи будем предполагать, что эта степень равна 1.

Пусть теперь $\varphi^{\prime}$ – диффеоморфизм, $C^{2}$-близкий к $\varphi$. Рассмотрим $\beta_{n}=$ $=\varphi_{1}^{n} \beta-$ слой расслоения $\mathscr{X}_{1}^{\prime}$ в $B_{n}$, определяемый условием $\mathscr{C} \varphi_{2}^{n}(0) \in \beta_{n}$ $(n \geqslant 0)$ (см. рис. $\Pi 25.14)$.
Рис. П25.14

По лемме А, этот слой есть некоторая окрестность центра $O$ шара $B_{n}$. Пусть $y=h_{n}(x)$ ( $x \in X_{n}$ ) имеет уравнение слоя $\beta_{n}$. Если отображение $\varphi^{\prime}$ достаточно близко к $\varphi$, то $x \in X_{n} \cap B_{n}$ можно выбрать в качестве локальных координат на $\beta_{n}$ : отображение
\[
E:\left\{X_{n} \mid n \geqslant 0\right\} \rightarrow\left\{\beta_{n} \mid n \geqslant 0\right\},\left.\quad E\right|_{X_{n}}: X_{n} \rightarrow \beta_{n},
\]

определяемое соотношением $x \rightarrow\left(x, h_{n}(x)\right)$ при $x \in X_{n} \cap B_{n}$, есть диффеоморфизм.

Заметим теперь, что по построению $\beta_{n}$ преобразование $\varphi_{1}^{\prime}$ отображает $\beta_{n}$ на $\beta_{n+1}$. Следовательно, этим определяется диффеоморфизм
\[
\varphi_{3}^{\prime}=E^{-1} \varphi_{1}^{\prime} E:\left\{X_{n} \mid n \geqslant 0\right\} \rightarrow\left\{X_{n} \mid n \geqslant 0\right\},\left.\quad \varphi_{3}^{\prime}\right|_{X_{n}}: X_{n} \rightarrow X_{n+1} .
\]

Утверждение П25.15. Если диффеоморфизмы $\varphi$ и $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близки, то диффеоморфизмы $\varphi_{3}$ и $\varphi_{3}^{\prime} C^{1}$-близки:

для каждого $\varkappa>0$ найдется $\delta>0$ такое, что из $\left\|\varphi-\varphi^{\prime}\right\|_{C^{2}}<\delta$ следует:
\[
\begin{array}{c}
-\varphi_{3}(x)-\varphi_{3}^{\prime}(x) \|<\varkappa \\
-\left(\varphi_{3}-\varphi_{3}^{\prime}\right)\left(x_{1}\right)-\left(\varphi_{3}-\varphi_{3}^{\prime}\right)\left(x_{2}\right)\|<\varkappa\| x_{1}-x_{2} \|
\end{array}
\]

при всех $x, x_{1}, x_{2} \in X_{n} \cap B_{n}, n \geqslant 0$.

Доказательство.
Это непосредственно следует из того, что слои $\beta_{n}, n \geqslant 0$ близки к слоям $\gamma_{n}$ в $C^{1}$-топологии, а это, в свою очередь, следует из построения $\gamma_{n}, \beta_{n}$, осуществленного в теореме Синая (см. §15).

Лемма В. П25.17. Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близок $\kappa \varphi$, то существует слой $\delta$, причем только один, расслоения $\mathscr{Y}^{\prime}$ такой, что $\varphi^{\prime n} \delta$ близок к $\varphi^{n}$ при всех $n \geqslant 0$. Более точно, существует точка $x_{0} \in X_{0}$, причем только одна, такал, что $\left\|\varphi_{3}^{\prime}{ }^{n} x_{0}\right\|<\varepsilon$ при $n \geqslant 0$.
Для доказательства нам необходима следующая лемма.

Лемма П25.18. Пусть $R$ – сумма евклидовых пространств $R_{n}$, $n \geqslant 0$, одной и той же размерности. Пусть
\[
T=K+L: R \rightarrow R,\left.\quad T\right|_{R_{n}}: R_{n} \rightarrow R_{n+1}
\]
– диффеоморфизмы такие, что
1) $K(0)=0, \quad\|K(x)-K(y)\|>\Theta\|x-y\|, \quad \Theta>1$,

2) $\|L\| \leqslant \varepsilon, \quad\|L(x)-L(y)\|<\varepsilon\|x-y\|, \quad \Theta-\varepsilon>1$, при любых $x, y \in R$.

Тогда существует точка $x \in R_{0}$, причем только одна, такая, что последовательность $T^{n} x$ ограничена и для этой точки $x$
\[
\left\|T^{n} x\right\| \leqslant \frac{\varepsilon}{\Theta-1}
\]

при всех $n \geqslant 0$.
Доказательство.
Ясно, что $\left.T^{-1}\right|_{R_{n}}: R_{n} \rightarrow R_{n-1}(n=1,2 \ldots)$ – диффеоморфизм и
\[
\left\|T^{-1} y-T^{-1} x\right\| \leqslant \frac{1}{\theta-\varepsilon}\|y-x\| .
\]

Пусть $b_{n}(c)$ – шар $\|x\|<c$ в $R_{n}$. Тогда в силу 1 и 2 :
\[
T b_{n}(c) \supset b_{n+1}(\Theta c-\varepsilon) .
\]

Предположим, что $c$ достаточно велико:
\[
\Theta c-\varepsilon \geqslant c .
\]

Тогда из (П25.21) следует, что $T b_{n}(c) \supseteq b_{n+1}(c)$ и поэтому
\[
T^{-1} b_{n+1}(c) \subset b_{n}(c),
\]

и, таким образом,
\[
T^{-1} b_{1}(c) \supset T^{-2} b_{2}(c) \supset \ldots \supset T^{-n} b_{n}(c) \supset \ldots
\]

Но по (П25.20) диаметр множества $T^{-n} b_{n}(c)$ не больше, чем $2 c(\Theta-\varepsilon)^{-n}$, а последняя величина стремится к 0 , если $n$ стремится к $+\infty$. Следовательно, пересечение $\bigcap_{n>0} T^{-n} b_{n}(c)$ состоит только из точки $x \in b_{0}(c)$, но именно это и требовалось доказать: величина
\[
c=\frac{\varepsilon}{\Theta-1}
\]

удовлетворяет неравенству (П25.22).

Доказательство леммы В. П25.23.

Из утверждений (П25.11) и (П25.19) следует, что отображение $\varphi_{3}^{\prime}$ удовлетворяет условиям предыдущей леммы. Достаточно положить $K=\varphi_{3}, L=\varphi_{3}^{\prime}-\varphi_{3}$, заменив $\varepsilon$ на $\varkappa$ в неравенстве относительно $L$.

Достаточно положить $\varkappa=\varepsilon(\Theta-1)$, чтобы, исходя из (П25.19), получить неравенство $\left\|\varphi_{3}^{\prime}{ }^{n} x_{0}\right\|<\varepsilon$. Это доказывает лемму В.

Таким образом, мы получаем сжимающий слой $\delta$ расслоения $Y^{\prime}$, который остается близким к орбите $\varphi^{n} m$ при $n>0$ в смысле леммы В. Если диффеоморфизм $\varphi^{\prime}$ достаточно близок к $\varphi$, то тот же самый слой остается близким к орбите $\varphi^{n} m$ при $n>0$. Чтобы убедиться в этом, достаточно применить к $\varphi^{-1}$ лемму А. Для $\varphi^{\prime-1}$ расслоение $Y^{\prime}$ растягивающее, и слой $\delta$ близок к $m$. Следовательно, в силу замечания (П25.10) слои $\varphi^{\prime n} \delta(n<0)$ остаются в окрестности орбиты $\varphi^{n} m$ в смысле леммы А:
\[
\left\|\varphi_{2}^{\prime-n} y\right\| \leqslant C .
\]

Таким образом, из леммы А и В вытекает следующее утверждение.

Утверждение П25.24. Если $\varphi^{\prime}$ достаточно $C^{2}$-близок к $\varphi$, то существует слой $\tilde{\delta}$ расслоения $Y_{1}^{\prime}$ в $B_{0}$ такой, что слои $\varphi_{1}^{\prime *} \widetilde{\delta}(-\infty<n<$ $<+\infty$ ) из $B_{n}$ остаются в в-окрестности центра шара $B_{n}$.

Так как сказанное выше верно для $\varphi^{\prime-1}$, найдется слой $\widetilde{\beta}$ расслоения $X_{1}^{\prime}$ в шаре $B_{0}$, который обладает тем же свойством. Так как слои $\widetilde{\delta}$ и $\widetilde{\beta}$ трансверсальны в $B_{0}$, существует точка пересечения $z=\widetilde{\delta} \cap \widetilde{\beta}$, единственная в $\varepsilon$-окрестности центра шара $B_{0}$. Гомеоморфизм $k$ из теоремы Аносова мы определим, положив $k(m)=\psi z$. Нетрудно доказать, что все конструкции непрерывно зависят от точки т; следовательно, $k$ – гомеоморфизм. Отношение $\varphi^{\prime} k=k \varphi$ очевидно, как и то, что $k \varepsilon$-близок к тождественному отображению.